<strong>Введение</strong>

Статья посвящена применению динамических экономико-математических моделей управления производством продукции предприятия на основе использования принципа обратной связи. Приводится формирование дискретной управляемой динамической системы, описывающей процесс выпуска продукции производственным предприятием при наличии прогнозируемой функции спроса на продукцию. Фазовый вектор динамической системы описывает основные параметры производства продукции, а вектор управляющего воздействия (вектор управления) описывает интенсивность использования технологических способов продукции, имеющихся в распоряжении субъекта управления. Предполагается, что в каждый период времени субъекту управления известна вектор-функция, описывающая объемы спроса на продукцию предприятия в последующие периоды времени, а также известны заданные геометрические ограничения на реализации фазового вектора, вектора управления и вектора спроса. В качестве целевой функции задачи рассматривается значение рассогласования объемов выпуска продукции предприятием относительно заданного прогнозируемо значения функции спроса в последующем периоде управления. Используя сформированную динамическую систему, в работе предлагается экономико-математическая модель исследуемой задачи оптимизации адаптивного управления выпуском продукции предприятия, включающая класс допустимых стратегий адаптивного управления и формулировку задачи. В статье, в рамках описываемой линейной дискретной управляемой динамической экономико-математической модели производства продукции предприятия с выпуклой целевой функцией, в классе введенных допустимых стратегий управления формулируется задача оптимизации адаптивного управления выпуском продукции с целью оптимизации выполнения договорных обязательств предприятием. Предлагается методика решения сформулированной задачи, которая реализуется в виде конечной последовательности одношаговых алгебраических операций над векторами конечномерного векторного пространства, выполнения алгебраических операций, преобразующих описание выпуклых многогранников-компактов в соответствующие конечные системы алгебраических равенств и неравенств и наоборот, а также конечного набора решений задач линейного и выпуклого математического программирования. Полученные результаты могут быть использованы при разработке автоматизированных и интеллектуальных систем поддержки принятия управленческих решений для актуальных задач управления производством продукции на промышленных предприятиях.

<strong>Используемые методы и подходы</strong>

Основу разработки автоматизированных и интеллектуальных систем поддержки принятия управленческих решений для производственных предприятий составляют экономико-математические модели рассматриваемых объектов и процессов. Наиболее общим и интенсивно развивающихся подходом к моделированию социально-экономических процессов является метод мультиагентного или агент-ориентированного моделирования (АОМ). Этот метод позволяет учитывать при моделировании сложных процессов наличие разнородных агентов, их взаимодействие в структурированной среде при достижении поставленных целей. На основе генерируемых с использованием метода АОМ моделей можно разрабатывать эффективный инструментарий для компьютерного моделирования функционирования социально-экономических систем и с его помощью решать сложные практические задачи. Наиболее значимые результаты в этом направлении, учитывающие особенности отечественной экономики и социальных процессов, представлены в работах (Макаров В.Л., 2009; Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., 2013, Бахтизин А.Р., 2008). Необходимо отметить, что в рамках применения метода АОМ возникает необходимость моделировать динамику конкретных агентов с целью прогнозирования допустимых значений основных параметров, описывающих их состояние в конкретный период времени, а также управления рассматриваемыми процессами с целью достижения приемлемых или наилучших (оптимальных) значений выбранных критериев качества их реализации. Динамические экономико-математические модели управления различными социально-экономическими процессами представлены в работах (Клейнер Г.Б., 2016; Клейнер Г.Б., Рыбачук М.А., 2017). При функционировании производственного предприятия одной из основных задач является создание инструментария, позволяющего реализовать управление выпуском продукции в заданных прогнозируемых объемах и в определенный срок, т.е. способствовать эффективному выполнению договорных обязательств. Решение этой задачи требует наличия на предприятии информационной системы, позволяющей прогнозировать состояние основных параметров, характеризующих процессы производства продукции и управлять ими. При этом, в реальных ситуациях производства, возникают непредвиденные априори ситуации или реализуется негативное возмущение (см. рис. 1), которые влияют на объемы производства и система управления должна реагировать на них, т.е. «включать» обратную связь – использовать возможности адаптации к сложившимся условиям. Для этого необходимо иметь соответствующие экономико-математические модели и методики, позволяющие реализовать оптимизацию адаптивного управления выпуском продукции при заданных прогнозируемых ее объемах. Рис. 1. Общая схема системы управления предприятием

В данной работе формируется линейная дискретная управляемая динамическая система, фазовый вектор которой описывает состояние основных параметров процесса производства продукции в конкретный период времени. Вектор управляющего воздействия (управления) характеризует возможности интенсивности использования имеющихся технологических способов производства, а вектор спроса описывает значения прогнозируемых объемов спроса на продукцию предприятия. Ограничения на фазовый вектор динамической системы, вектор управления и вектор спроса описывают имеющиеся технико-экономические условия в процессе производства продукции предприятием. В данной работе они являются геометрическими — в виде ограничивающих выпуклых многогранников-компактов в соответствующих конечномерных (евклидовых) векторных пространствах. Целевая функция является выпуклой и оценивает рассогласование между конкретным допустимым состоянием фазового вектора динамической системы и прогнозируемым значением вектора спроса в выбранный период времени. На основе использования результатов работы (Шориков А.Ф., 1997), в статье вводится специальный класс допустимых стратегий адаптивного управления производством продукции предприятия. В работе приведена экономико-математическая модель, включающая формализацию многошаговой задачи оптимизации адаптивного управления производством продукции предприятия, в рамках выбранного класса стратегий адаптивного управления. В данной работе описывается предлагаемая методика сформулированной задачи, которая основывается на использовании общего рекуррентного алгебраического метода, разработанного Шориковым А.Ф. (Шориков А.Ф., Тюлюкин В.А., 1983; Шориков А.Ф., 1997) для построения прогнозных множеств (областей достижимости) линейных дискретных управляемых динамических систем. На основании предлагаемой методики, решение исходной задачи оптимизации адаптивного управления производством продукции предприятия, сводится к реализации конечной последовательности одношаговых алгебраических операций над векторами конечномерного векторного пространства, выполнения алгебраических операций, преобразующих описание выпуклых многогранников-компактов в соответствующие конечные системы алгебраических равенств и неравенств и наоборот — выполнения операций двойственного описания выпуклых многогранников-компактов, реализации конечного набора решений задач линейного и выпуклого математического программирования, т.е. путем выполнения одношаговых операций, допускающих их алгоритмизацию. Данная работа примыкает к исследованиям (Макаров В.Л., 2009; Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., 2013, Бахтизин А.Р., 2008; Клейнер Г.Б., 2016; Клейнер Г.Б., Рыбачук М.А., 2017; Aksyonov K., Bykov E., Aksyonova O., Goncharova N., Nevolina A., 2015; Astolfi Alessandro, 2006; Astroem K.J., Wittenmark B., 2008; Landau I.D., Lozano R., M'Saad M., Karimi A., 2011) и основывается на результатах работ ((Шориков А.Ф., Тюлюкин В.А., 1983; Шориков А.Ф., 1997; Базара М., Шетти К., 1982; Черников С.Н., 1968).

<strong>Формирование управляемой динамической системы</strong>

Ниже приведем описание динамической экономико-математической модели процесса производства продукции на производственном предприятии, а также формализацию рассматриваемой в статье задачи адаптивного управления выпуском продукции с целью оптимизации выполнения предприятием договорных обязательств. Введем следующие обозначения: — количество основных параметров, описывающих производственный процесс производства продукции на предприятии (хранимых, промежуточных и выпускаемых продуктов, сырья, материалов и др.), (здесь и далее, — множество всех натуральных чисел); — количество технологических способов организации производства продукции на предприятии, ; каждый <em>j</em>-й способ производства продукции () в период времени (; <em>t</em>, например, месяц, квартал, год) характеризуется вектором (здесь и далее, для , — <em>k</em>-мерное векторное пространство векторов-столбцов, даже если из экономии места они записаны в строку): если , то величина определяет объем затрат <em>i</em>-го параметра () при <em>j</em>-м способе производства продукции () в период времени <em>t</em>; если , то величина определяет объем выпуска <em>i</em>-го параметра () при <em>j</em>-м способе () производства продукции в период времени <em>t</em>; если , то величина определяет отсутствие выпуска или затрат <em>i</em>-го параметра () при <em>j</em>-м способе () производства продукции в период времени <em>t</em>; — интенсивность использования <em>j</em>-го технологического способа производства продукции () в период времени <em>t</em>, ; — величину спроса на <em>i</em>-ю продукцию (), выпускаемую в период времени <em>t</em>, . Обозначим через: — количество <em>i</em>-й продукции (), образовавшейся на складе предприятия к концу периода времени (запасы в период ), которое формируется из запасов в количестве предыдущего периода времени <em>t</em><em> </em>и образовавшихся излишков в этот период времени по формуле , (1) или в векторной форме , , (2) где — вектор количества выпуска продукции в период времени <em>t</em><em> </em>или <em>фазовый вектор системы</em>,<em> </em>; — вектор <em>интенсивности использования имеющихся технологий производства продукции на предприятии </em> в период времени <em>t</em> или вектор <em>управляющего воздействия</em> <em>(управления)</em> системы, ; — вектор <em>количества спроса на продукцию предприятия</em> в период времени <em>t</em>, ; — <em>«технологическая матрица»</em> производства продукции на предприятии размерности . Отметим, что если в начале периода времени на складе имелись запасы продукции (хранимых, промежуточных и выпускаемых продуктов, сырья, материалов и др.) в количестве , то к концу этого периода для продажи и производства будет годна только часть, равная , где — есть диагональная матрица размерности , характеризующая <em>«старение»</em> продукции за этот период времени. Тогда векторное уравнение (2), описывающее рассматриваемый производственный процесс выпуска продукции предприятием, будет иметь следующий вид , , (3) где — заданное начальное значение фазового вектора, . Предполагается, что в рассматриваемом процессе управления производством продукции предприятия для каждого периода времени <em>t</em><em> </em> () значения фазового вектора должны удовлетворять следующему заданному геометрическому ограничению , (4) где каждое множество и есть выпуклый многогранник-компакт в пространстве , определяющий имеющиеся в процессе производства технико-экономические ограничения на основные параметры продукции предприятия и может описываться, например, в виде , где . Предполагается также, что в рассматриваемом процессе управления для каждого периода времени <em>t</em> () значения вектора управления , которым распоряжается <em>субъект управления — менеджер</em> <em>P</em>, должны удовлетворять следующему заданному геометрическому ограничению , (5) где каждое множество и есть выпуклый многогранник-компакт в пространстве , определяющий имеющиеся в процессе производства технико-экономические ограничения на ресурсы управления производством продукции предприятия, т.е. определяет ресурс управления и может описываться, например, следующим образом: , , где . Для каждого периода времени <em>t</em> () вектор спроса должен удовлетворять заданному ограничению , (6) где каждое множество и есть выпуклый многогранник-компакт в пространстве , который определяет множество допустимых значений вектора спроса и может описываться, например, следующим образом:

, где . Опишем <em>информационные возможности</em> менеджера <em>P</em><em> </em>в процессе <em>оптимизации адаптивного управления выполнением договорных обязательств производственным предприятием </em>на основе дискретной управляемой динамической системы (3) − (6). Пусть на рассматриваемом промежутке времени для любого и соответствующего промежутка времени в период времени в процессе управления менеджером <em>Р</em> измеряются и запоминаются следующие параметры: — фазовый вектор системы (3) в период времени (); — вектор количества спроса на продукцию предприятия в период времени (); — вектор прогнозируемого количества спроса на продукцию предприятия в период времени , где . Предполагается также, что система уравнений (3), описывающая динамику модели объекта управления, и ограничения (4) – (6), для него также известны.

<strong>Формализация </strong><strong>опти</strong><strong>мизационной задачи</strong>

Назовем набор <em><strong>-</strong></em><em>позицией дискретной управляемой динамической системы </em><em> </em><em> (3) − (6)</em>. Для каждого периода времени определим также множество ( <em>всех допустимых </em><em>-позиций рассматриваемой динамической системы</em>. Тогда для каждого фиксированного периода времени (), допустимых вариантов реализации пар , где () — -позиция дискретной управляемой динамической системы (3) − (6), — допустимое в этот период времени управление менеджера <em>Р</em>, и известного менеджеру <em>Р</em> прогнозируемого вектора спроса , для определения качества рассматриваемого процесса оптимизации выполнения договорных обязательств производственным предприятием введем в рассмотрение целевую функцию , значения которой определяются по формуле

, (7) где — фазовый вектор системы (3) в период времени , , соответствующий набору ; — оператор правой части векторного рекуррентного уравнения (3), действующий на промежутке времени , который каждому набору ставит в соответствие фазовый вектор , удовлетворяющий этому уравнению; — выпуклый функционал, имеющий непрерывные частные производные по переменной ; здесь и далее, для символом обозначается евклидова норма в векторном пространстве . Отметим, что целевая функция , значения которой определяются по формуле (7), оценивает рассогласование реализации фазового вектора системы от значения прогнозируемого вектора спроса на продукцию предприятия, которую необходимо произвести в соответствии с имеющимися договорными обязательствами, т.е. <em>оценивает качество рассматриваемого процесса выполнения договорных обязательств производственным предприя</em><em>тием</em> в период времени , т.е. в конце промежутка времени . Тогда <em>целью менеджера</em> <em>Р </em>в процессе управления на промежутке времени является <em>минимизация значения целевой функции</em> . Далее, <em>допустимой стратегией адаптивного управления</em> <em>менеджера</em> <em>Р</em> для дискретной управляемой динамической модели (3) – (7) на промежутке времени будем называть отображение , которое <em>каждому периоду времени </em><em> (</em><em>) и возможной реализации </em><em>пары </em>, где () — -позиция дискретной управляемой динамической системы (3) − (6), — допустимый в этот период времени фазовый вектор системы, — допустимый в этот период времени вектор спроса, — заданный прогнозируемый вектор спроса, отвечающий периоду времени , <em>ставит в соответствие множество </em><em> </em><em>допустимых управлений </em><em> </em><em>менеджера Р в период времени </em><em>.</em><em> </em> Обозначим через <em>множество всех допустимых стратегий адаптивного управления менеджера</em> <em>Р</em> для рассматриваемого процесса выполнения договорных обязательств производственным предприятием на промежутке времени . Тогда можно сформулировать следующую <em>нелинейную многошаговую задачу оптим</em><em>изации</em><em> адаптивного управления</em> <em>выполнением договорных обязательств производственным предприятием</em> в рамках <em>дискретной управляемой динамической экономико-математической модели</em> <em>(3) − (7)</em>. <strong>Задача.</strong> Для рассматриваемого промежутка времени и дискретной управляемой динамической экономико-математической модели (3) − (7), требуется найти стратегию <em>оптимального адаптивного управления</em> <em>выполнени</em><em>ем договорных обязательств производственным предприятием </em>, , <em>менеджера</em> <em>Р</em>, где () — -позиция дискретной управляемой динамической системы (3) − (6), — допустимый в этот период времени фазовый вектор системы, — допустимый в этот период времени вектор спроса, — заданный прогнозируемый вектор спроса, отвечающий периоду времени , которая определяется следующим образом:<ol> <li>, полагается</li></ol> , где множество определяется из решения следующей оптимизационной задачи

, (8) где — фазовый вектор системы в период времени , соответствующий набору , ;<ol> <li> согласно (5), полагается</li></ol> , (9) путем реализации <em>конечной последовательности только одношаговых операций, </em><em>допускающих их алгоритмизацию</em>. Набор образует <em>множество оптимальных значений целевой функции</em>, соответствующее реализации оптимальной стратегии . Пусть фазовая траектория динамической системы (3) – (6) порождена реализацией стратегии на промежутке времени , которой соответствует реализация набора , т.е. , , . Тогда траекторию будем называть <em>оптимальной фазовой траекторией</em>, соответствующей реализации стратегии оптимального адаптивного управления . Отметим, что на основе результатов, изложенных в работе (Шориков А.Ф., 1997), можно показать, что решение сформулированной оптимизационной задачи существует и ниже будет описана предлагаемая методика ее решения.

<strong>Методика решения оптимизационной задачи</strong>

Отметим, что сформулированная оптимизационная задача не может быть решена перебором допустимых вариантов управляющего воздействия, т.к. в каждый период времени множество — допустимых значений управления в ограничении (5) является бесконечным. Предлагаемую методику решения рассматриваемой многошаговой оптимизационной задачи можно представить в виде реализации нижеследующей последовательности одношаговых действий. 1. Полагается: . 2. Для периода времени и рассматриваемого многошагового процесса адаптивного управления производством продукции предприятия с целью оптимизации выполнения договорных обязательств, формируются исходные данные, полностью описывающие экономико-математическую модель (3) – (7) в этот период времени, а именно: 2.1) конечное множество V-rep — всех вершин, однозначно описывающих многогранник-компакт , соответствующий периоду времени ; 2.2) конечная система линейных алгебраических равенств и неравенств , множество решений которой H-rep, т.е. однозначно описывает многогранник-компакт , соответствующий периоду времени ; 2.3) конечное множество V-rep — всех вершин, однозначно описывающих многогранник-компакт , соответствующий периоду времени ; 2.4) конечная система линейных алгебраических равенств и неравенств , множество решений которой H-rep, т.е. однозначно описывает многогранник-компакт , соответствующий периоду времени ; 2.5) конечное множество V-rep — всех вершин, описывающих многогранник-компакт , соответствующий периоду времени ; 2.6) конечное множество V-rep — всех вершин, однозначно описывающих многогранник-компакт , соответствующий периоду времени ; 2.7) конечная система линейных алгебраических равенств и неравенств , множество решений которой H-rep, т.е. однозначно описывает многогранник-компакт , соответствующий периоду времени ; 2.8) измеряется реализация фазового вектора системы и если , т.е. этот вектор является решением системы , то выполняется пункт 2.9 этого действия, в противном случае, полагается: и осуществляется переход на действие 10; 2.9) измеряется реализация фазового вектора спроса и если , т.е. этот вектор <em>не является решением системы</em> , то полагается: , где вектор уже <em>является решением системы</em> ; 2.10) формируется прогнозируемый вектор спроса , т.е. являющийся решением системы ; 2.11) формируется -позиция системы (), причем выполняется условие: . 3. Для сформированной <strong>-</strong>позиции системы (), на основании рекуррентной системы уравнений (3) и используя сформированное множество V-rep, <em>формируется </em><em>прогнозное множество (область достижимости) </em><em> </em> системы (3) на шаг вперед (Шориков А.Ф., 1997), т.е. соответствующее периоду времени , в виде V-rep – конечного множества крайних вершин выпуклого многогранника-компакта пространства , которое содержит множество всех возможных фазовых векторов , при реализациях допустимых управлений менеджера <em>P</em> (осуществляется путем применения <em>общего рекуррентного алгебраического метода </em>(Шориков А.Ф., 1997)<em> </em>построения областей достижимости линейных многошаговых дискретных управляемых динамических систем, и сводится <em>к реализации конечной последовательности решений одношаговых задач линейного математического </em><em>программирования</em><em> и</em><em> алгебраических операций над векторами в пространствах </em><em>и</em> ). 4. На основании сформированного множества V-rep формируется конечная система линейных алгебраических равенств и неравенств , множество решений которой H-rep , т.е. однозначно описывает многогранник-компакт . 5. На основании сформированных конечных систем линейных алгебраических равенств и неравенств и формируется система . 6. Множество решений конечной системы линейных алгебраических равенств и неравенств вычисляется в виде H-rep, т.е. в виде конечной системы линейных алгебраических равенств и неравенств, описывающей множество – всех допустимых фазовых векторов , системы рекуррентных уравнений (3), удовлетворяющих заданному ограничению (4). 7. Для сформированного прогнозируемого в период времени значения вектора спроса , <em>из решения задачи выпуклого математического программирования</em>, определяемой согласно (7) выпуклой целевой функцией и конечной системой линейных алгебраических равенств и неравенств , формируются множество ,

(10) и число где — фазовый вектор системы в период времени , соответствующий набору , (находятся <em>из решения задачи выпуклого математического программирования</em>, например, с помощью <em>градиентного метода Зойтендейка</em> (см., например, Базара М.С., Шетти С.М., 1982), т.е. <em>путем реализации конечной последовательности алгебраических операций над векторами</em> <em>в</em> ). 8. Формируется конечное множество — всех вершин, однозначно описывающих многогранник-компакт , являющийся решением оптимизационной задачи (10). 9. Для полагается: . 10. Полагается: ; тогда, если , то осуществляется переход на действие 2; в противном случае, т.е. при , выполняется следующее действие. 11. Для всех периодов времени <em>формирование стратегии</em> , , менеджера <em>Р</em>, где () — -позиция дискретной управляемой динамической системы (3) − (6), определяется следующим образом: 11.1) , полагается , (11) где множество <em>определяется из решения оптимизационной задачи (10)</em>; 11.2) согласно (5), полагается (12) (осуществляется <em>путем реализации конечной последовательности алгебраических операций над векторами в</em> ). 12. Пусть фазовая траектория динамической системы (3) – (6) <em>порождена реализацией стратегии</em> на промежутке времени , <em>которой соответствует реализация набора</em> , т.е. , , . Аналогично доказательству результатов, приведенных в монографии [1], можно показать, что <em>справедливы следующие равенства</em>:

т.е. сформированные стратегия адаптивного управления и набор <em>образуют решение задачи оптим</em><em>изации</em><em> адаптивного управления выполнением договорных обязательств производственным предприятием</em>. Из описания предлагаемой методики решения рассматриваемой оптимизационной задачи следует, что формирование стратегии оптимального адаптивного управления менеджера <em>P</em> осуществляется путем реализации решения конечной рекуррентной последовательности алгебраических операций над векторами в пространствах и , конечных последовательностей алгебраических операций преобразования описания многогранников-компактов в виде конечных систем линейных алгебраических равенств и неравенств в их описание в виде конечных наборов крайних вершин и наоборот (т.е. использования двойственных операций описания многогранников-компактов), а также решений задач линейного и выпуклого математического программирования. Это означает, что предложенная методика решения рассматриваемой оптимизационной задачи может служить основой для разработки соответствующих численных алгоритмов.

<strong>Заключение</strong>

Для решения сформулированной задачи оптимизации адаптивного управления выполнением договорных обязательств производственным предприятием в данной статье предлагается методика ее решения, основывающаяся на <em>общем рекуррентном алгебраическом методе</em><em> </em>(Шориков А.Ф., 1986) построения областей достижимости линейных дискретных управляемых динамических систем. Формирование решения исследуемой задачи осуществляется путем реализации конечной рекуррентной последовательности решений задач линейного и выпуклого математического программирования, конечной последовательности одношаговых операций над выпуклыми многогранниками-компактами (с конечным числом вершин) и алгебраических операций над векторами в пространствах и , т.е. <em>путем формирования решений только одношаговых задач, допускающих их алгоритмизацию</em>. Полученные в данной статье результаты могут быть использованы для разработки компьютерных информационных систем поддержки принятия управленческих решений на производственных предприятиях, экономико-математические модели которых представлены, например, в исследованиях (Макаров В.Л., 2009; Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., 2013, Бахтизин А.Р., 2008; Клейнер Г.Б., 2016; Клейнер Г.Б., Рыбачук М.А., 2017; Aksyonov K., Bykov E., Aksyonova O., Goncharova N., Nevolina A., 2015; Astolfi Alessandro, 2006; Astroem K.J., Wittenmark B., 2008; Landau I.D., Lozano R., M'Saad M., Karimi A., 2011).