Optimization of behaviour strategies within the simulation model of a multi-agent  socio-economic system

Akopov, Andranick; Beklaryan, Armen

doi:10.31857/S042473880027006-5

1

ВВЕДЕНИЕ

2

Первая экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике, была разработана В.В. Леонтьевым ( Леонтьев , 1925, 1936). Модель межотраслевого баланса (МОБ) описывает соотношения между выпуском продукции в одной отрасли и использованием продукции других отраслей экономики для технологического обеспечения этого выпуска. В дальнейшем в СССР были разработаны динамические модели межотраслевого баланса (МОБ) (Шатилов, 1967; Аганбегян, Вальтух, 1974), с использованием которых можно изучать взаимовлияние динамики конечного спроса и характеристик производителей (основных фондов, трудовых ресурсов и т.д.), в том числе с учетом влияния рыночных факторов на плановую социально-экономическую систему (Ведута, 1999).

3

В настоящее время актуально построение агент-ориентированных имитационных моделей (АОМ) (Makarov, Bakhtizin, Epstein, 2022). Методы АОМ применятся для изучения поведения взаимодействующих агентов с индивидуальными системами принятия решений, (например, для исследования популяционной динамики мигрантов и коренных жителей (Макаров и др., 2019, 2020, 2022), изучения эффектов сегрегации и десегрегации населения в моделях ограниченного соседства (Акопов, Бекларян Л., Бекларян А., 2021), оптимизации характеристик интеллектуальных транспортных систем (Akopov, Beklaryan, Thakur, 2022) и др.). Важным преимуществом АОМ является возможность учета влияния индивидуального поведения каждого агента и процессов их взаимодействия на систему в целом, что обеспечивает существенно большую реалистичность и управляемость моделируемой системы.

4

Предпринимаются усилия по созданию агент-ориентированных МОБ (Суслов и др., 2016), в том числе с использованием оптимизационных алгоритмов для формирования сбалансированных межотраслевых и межрегиональных связей (см. оптимизационные межотраслевые межрегиональные модели (ОМММ) в (Ершов, Мельникова, Суслов, 2009).

5

Комбинированное применение АОМ и МОБ представляет собой нетривиальную задачу, так как включение в модель агентов со своими индивидуальными системами принятия решений, реализующих стохастические процессы межотраслевого и межпродуктового взаимодействия, приводит к принципиальному усложнению изучаемой системы. В этом случае традиционные методы линейного программирования и векторной оптимизации практически не применимы для поиска наилучших траекторий развития многоагентной социально-экономической системы (МСЭС). Поэтому для оптимизации характеристик крупномасштабной МСЭС целесообразно использовать эвристические методы оптимизации, в частности генетические (Holland, 1992; Akopov et al., 2019) и роевые алгоритмы (Kennedy, 1997; Xiaohui, Eberhart, 2002).

6

Актуальность развития методов моделирования и оптимизации характеристик МСЭС обусловлена прежде всего потребностью в улучшении динамики макроэкономических характеристик системы за счет оптимального управления индивидуальными стратегиями межотраслевого и межпродуктового взаимодействия. Здесь под стратегией взаимодействия понимается выбор моментов времени, обеспечивающих максимизацию интегрального выпуска и минимизацию совокупных производственных издержек со стороны агентов–предприятий различных отраслей экономики. При этом на поведение агентов-производителей и агентов-потребителей оказывают влияние множество факторов, в частности — их пространственные распределение, радиус торгового взаимодействия, вероятность заключения продуктовых сделок и др. Подобные стохастические модели, предложенные впервые в работах (Поспелов, 2018; Поспелов, Жукова, 2012), применяются, в частности, для поиска оптимальных торговых стратегий.

7

Улучшение характеристик МСЭС может быть реализовано в результате постановки и решения задач многокритериальной оптимизации для формирования и аппроксимации фронтов Парето (Lotov, Bushenkov, Kamenev, 2004; Lovot, Miettinen, 2008) с использованием предложенных эвристических алгоритмов.

8

Цель данной статьи состоит в разработке подхода к моделированию стохастических продуктовых взаимодействий между агентами-потребителями (индивидуумами) и агентами-производителями (предприятиями различных отраслей промышленности), управляющими динамикой ввода новых производственных ресурсов. Для поиска наилучших компромиссных (Парето-оптимальных) решений в подобной крупномасштабной МСЭС разработан новый двухкритериальный генетический алгоритм MORCGA-MOPSO (Multi-objective real-coded genetic algorithm aggregated with particle swarm optimization).

9

ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ МСЭС

10

Концепция модели

11

Рассматривается закрытая МСЭС, состоящая из территориально распределенных промышленных агентов-производителей (предприятий) и агентов-потребителей (индивидуумов), в которой в каждый момент модельного времени между каждой парой агентов, находящихся в диапазоне видимости, может быть осуществлен товарообмен или монетарная сделка (т.е. покупка продукта за деньги) для обеспечения производственного процесса и получения прибыли агентами-предприятиями либо удовлетворения потребительского спроса со стороны домохозяйств.

12

Производственные возможности предприятий зависят от числа задействованных в них работников и динамики основных фондов, определяемой интенсивностью инвестиционных вложений. Для расчета объемов выпускаемой предприятиями продукции в натуральном выражении используются производственные функции Кобба–Дугласа с заданными параметрами. Для упрощения модели будем считать, что каждое предприятие имеет однозначную отраслевую классификацию и выпускает только один тип продукта (например, нефть, продукцию черной металлургии и т.д.). Темпы изменения цен на продукцию считаются эндогенными и зависят от соотношения объема продукции, имеющейся у агентов-производителей (данного продукта), и совокупного спроса на эту продукцию со стороны агентов-потребителей. Таким образом, имитируется формирование равновесных цен на локальных рынках, которые используются при расчете прибыли производителей и расходов потребителей. Аналогично, увеличение прибыли агентов-предприятий изменяет темпы роста заработной платы, что приводит к периодическому перераспределению рабочей силы между предприятиями в пределах отрасли.

13

Агенты-потребители сами ничего не производят, но участвуют в монетарных и бартерных сделках, взаимодействуя друг с другом и производителями с целью личного потребления готовой продукции. При этом потребление носит инерционный характер, т.е. в течение некоторого периода времени приобретенный или обмененный продукт сохраняется за агентом (т.е. рассматриваются потребительские товары долговременного пользования). Также, работники могут участвовать в производственных процессах агентов-производителей для получения денежных средств (формирования накоплений для будущего потребления), могут менять место работы в случае существенной асимметрии в уровнях заработной платы между предприятиями своей отрасли и при наличии свободных рабочих мест в территориальной доступности.

14

Конфигурация пространственного размещения агентов-производителей и связанных с ними индивидуумов задается централизованно (рис. 1). На нем показана ситуация потенциальной конкуренции двух агентов-предприятий (выделенных светло-серым цветом) за трудовые ресурсы (выделенных темно-серым цветом), находящихся в зоне территориальной доступности (рабочих мест) заданной размерности, а также конечных потребителей, в том числе предприятий-потребителей, находящихся в зоне торгового взаимодействия.

15

16

Рис. 1. Конфигурация пространственного размещения агентов-предприятий и связанных с ними трудовых ресурсов

17

Стратегия принятия индивидуальных решений агентов-производителей состоит в формировании оптимальных состояний (готовности) ввода новых основных фондов и трудовых ресурсов, влияющих на объемы выпуска соответствующей продукции. Стратегия для агентов-потребителей — в формировании оптимальных состояний (готовности) заключения торговых сделок для каждого момента времени.

18

В рамках изучаемой МСЭС рассматривается пара концептуально связанных двухкритериальных оптимизационных задач. В первой задаче целевыми функционалами являются средняя (по ансамблю агентов) накопленная прибыль агентов-производителей и среднее число покупателей, которые должны быть максимизированы. Во второй задаче целевые функционалы — средняя (по ансамблю агентов) полезность от потребления конечной продукции для агентов-потребителей и сформированные накопления, которые также должны быть максимизированы. Для каждой подобной задачи требуется сформировать подмножества решений оптимальных по Парето, среди которых экономические агенты могут выбрать наиболее предпочтительные субоптимальные решения. При этом необходимо учитывать ограничения на значения соответствующих целевых функций и искомых переменных. Далее приведем краткое формальное описание разработанной модели МСЭС.

19

Пусть

T = {t_{0}, t_{1} . . ., |T|}

— набор моментов времени (по месяцам),

|T|

— общее число моментов времени;

t_{0} \in T

и

t_{|T|} \in T

— начальный и конечный моменты модели;

P = {p_{1}, . . ., p_{|P|}}

— набор индексов отраслей промышленности и выпускаемых ими продуктов (упорядоченных по уровню отраслевой схожести продуктов), где

|P|

— общее число отраслей (видов продукции);

J_{p} = {j_{p 1}, . . ., {j_{p}}_{|J_{p}|}}, p \in P

— набор индексов агентов-производителей (предприятий отраслей промышленности), где

|J_{p}|

— общее число агентов-производителей в отрасли промышленности

p

;

I = {i_{1}, . . ., i_{|I|}}

— набор индексов агентов-потребителей (домохозяйств), где

|I|

— общее число агентов-потребителей.

Пусть 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>T</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced><mo>}</mo></math>
 — набор моментов времени (по месяцам), 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></math>
 — общее число моментов времени; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi></math>
 — начальный и конечный моменты модели; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>P</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>}</mo></math>
 — набор индексов отраслей промышленности и выпускаемых ими продуктов (упорядоченных по уровню отраслевой схожести продуктов), где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>P</mi></mrow></mfenced></math>
 — общее число отраслей (видов продукции); 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>{</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>}</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math>
 — набор индексов агентов-производителей (предприятий отраслей промышленности), где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 — общее число агентов-производителей в отрасли промышленности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>}</mo></math>
 — набор индексов агентов-потребителей (домохозяйств), где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced></math>
 — общее число агентов-потребителей.

Пусть <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>T</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced><mo>}</mo></math> — набор моментов времени (по месяцам), <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> — общее число моментов времени; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi></math> — начальный и конечный моменты модели; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>P</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>P</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>}</mo></math> — набор индексов отраслей промышленности и выпускаемых ими продуктов (упорядоченных по уровню отраслевой схожести продуктов), где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>P</mi></mrow></mfenced></math> — общее число отраслей (видов продукции); <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>{</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>}</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math> — набор индексов агентов-производителей (предприятий отраслей промышленности), где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> — общее число агентов-производителей в отрасли промышленности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>}</mo></math> — набор индексов агентов-потребителей (домохозяйств), где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced></math> — общее число агентов-потребителей.

20

Модель поведения агентов-производителей

21

Агенты-производители реализуют собственную производственную стратегию посредством выбора моментов времени для ввода новых основных фондов и трудовых ресурсов. Подобный подход впервые предложен в работах, посвященных изучению динамических МОБ (Шатилов, 1967; Аганбегян, Вальтух, 1974).

22

Основные фонды агента-производителя

j_{p}

, зависящие от интенсивности инвестиций в момент

t_{k}

(t_{k} \in T),

равны

23

K_{j_{p}} (t_{k}) = K_{j_{p}} (t_{k - 1}) + a_{j_{p}} (t_{k}) Δ K_{p} (t_{k}),

(1)

24

где

Δ K_{p} (t_{k}), j_{p} \in J_{p}, p \in P

— заданный темп ввода новых основных фондов агента-производителя

j_{p}

в момент

t_{k}

(t_{k} \in T)

;

a_{j_{p}} (t_{k}) \in {0,1}, j_{p} \in J_{p}, p \in P

— состояние готовности агента-производителя

j_{p}

(j_{p} \in J_{p}, p \in P)

к вводу новых основных фондов в момент

t_{k}

(t_{k} \in T)

.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math>
 — заданный темп ввода новых основных фондов агента-производителя 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math>
 в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>{</mo><mn>0,1</mn><mo>}</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math>
 — состояние готовности агента-производителя 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math>
 к вводу новых основных фондов в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math>
.

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math> — заданный темп ввода новых основных фондов агента-производителя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>{</mo><mn>0,1</mn><mo>}</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math> — состояние готовности агента-производителя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math> к вводу новых основных фондов в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math> .

25

Количество трудовых ресурсов (из числа агентов-потребителей), задействованных агентом-производителем

j_{p}

в момент

t_{k}

(t_{k} \in T),

равно

26

L_{j_{p}} (t_{k}) = L_{j_{p}} (t_{k - 1}) + c_{j_{p}} (t_{k}) Δ L_{j_{p}} (t_{k}),

(2)

27

где

Δ L_{j_{p}} (t_{k}), j_{p} \in J_{p}, p \in P

— темп формирования новых рабочих мест, занятых агентами-потребителями, входящими в зону территориальной доступности соответствующего агента-производителя в момент

t_{k}

(t_{k} \in T)

;

c_{j_{p}} (t_{k}) \in {0,1}, j_{p} \in J_{p}, p \in P

— состояние готовности агента-производителя

j_{p}

(j_{p} \in J_{p}, p \in P)

к вводу новых основных фондов и трудовых ресурсов в момент

t_{k}

(t_{k} \in T)

.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math>
 — темп формирования новых рабочих мест, занятых агентами-потребителями, входящими в зону территориальной доступности соответствующего агента-производителя в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>{</mo><mn>0,1</mn><mo>}</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math>
 — состояние готовности агента-производителя 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math>
 к вводу новых основных фондов и трудовых ресурсов в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math>
.

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math> — темп формирования новых рабочих мест, занятых агентами-потребителями, входящими в зону территориальной доступности соответствующего агента-производителя в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>{</mo><mn>0,1</mn><mo>}</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math> — состояние готовности агента-производителя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math> к вводу новых основных фондов и трудовых ресурсов в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>)</mo></math> .

28

Состояния готовности агента-производителя

j_{p}

(j_{p} \in J_{p}, p \in P)

к вводу новых основных фондов и трудовых ресурсов задаются для каждого момента времени

t_{k}

с помощью логнормальных распределений с заданными характеристиками:

29

a_{j_{p}} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} ⌊l n N (μ_{a}, σ_{a}^{2})⌋ / ⌊l n N (μ_{a}, σ_{a}^{2})⌋, е с л и l n N (μ_{a}, σ_{a}^{2}) > 0, \\ 0, е с л и ⌊l n N (μ_{a}, σ_{a}^{2})⌋ = 0, \end{array}

(3)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(3)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (3)

30

с_{j_{p}} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} ⌊l n N (μ_{с}, σ_{с}^{2})⌋ / ⌊l n N (μ_{с}, σ_{с}^{2})⌋, е с л и l n N (μ_{с}, σ_{с}^{2}) > 0, \\ 0, е с л и ⌊l n N (μ_{с}, σ_{с}^{2})⌋ = 0, \end{array}

(4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 (4)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (4)

31

где

{l n N (μ_{a}, σ_{a}^{2}), l n N (μ_{c}, σ_{c}^{2})}

— случайные величины, имеющие логнормальные распределения с параметрами

{μ_{a}, σ_{a}^{2}, μ_{c}, σ_{c}^{2}}

.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>}</mo></math>
 — случайные величины, имеющие логнормальные распределения с параметрами 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>}</mo></math>
.

32

Объем продукции, выпускаемой производителем

j_{p}

в отрасли

p

, вычисляемый с использованием производственной функции Кобба–Дугласа в момент

t_{k},

равен

33

{\hat{v}}_{j_{p}} (t_{k}) = A_{p} K_{j_{p}}^{γ_{p}} (t_{k}) L_{j_{p}}^{1 - γ_{p}} (t_{k}),

(5)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msubsup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo></math>
(5)

34

где

A_{p}

,

γ_{p}

— параметры производственной функции в отрасли

p

. Производственные расходы производителя

j_{p}

в момент

t_{k}

—

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math>
 — параметры производственной функции в отрасли 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi></math>
. Производственные расходы производителя 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math>
 в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 —

35

{\tilde{z}}_{j_{p}} (t_{k}) = \sum_{p}^{|P|} (π_{p} (t_{k}) g_{p j_{p}} {\hat{v}}_{j_{p}} (t_{k})),

(6)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>z</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>P</mi></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>,</mo></math>
(6)

36

где

g_{p j_{p}} \in [0,1], p \in P, j_{p} \in J_{p}

— коэффициент прямых затрат, характеризующий количество продукции отрасли

p

, которое расходуется при производстве одной единицы продукции производителя

j_{p}

.

37

Уровень заработной платы, выплачиваемой агентом-производителем

j_{p}

, зависящий от темпов роста прибыли в момент

t_{k}

:

38

w_{j_{p}} (t_{k}) = w_{j_{p}} (t_{k - 1}) {\tilde{r}}_{j_{p}} (t_{k - 1}) / {\tilde{r}}_{j_{p}} (t_{k - 2}) .

(7)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>/</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></math>
 (7)

39

Стоимость единицы продукции в отрасли

p

(зависит от соотношения объемов продукции, имеющихся у продавцов, и спроса со стороны покупателей) в момент

t_{k}

может быть определена как

40

π_{p} (t_{k}) = π_{p} (t_{k - 1}) \sum_{j_{p} = 1}^{|J_{p}|} {\hat{v}}_{j_{p}} (t_{k}) / \sum_{i = 1}^{|I| + |J_{p}|} {\hat{v}}_{d_{i}} (t_{k}),

(8)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>/</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo></math>
(8)

41

где

{\hat{v}}_{d_{i}} (t_{k}), d_{i} \in P, i \in J_{b} \cup I

— количество продукта

d_{i}

, востребованного агентами

i

(спрос со стороны предприятий и домохозяйств) в момент

t_{k}

.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>∪</mo><mi>I</mi></math>
 — количество продукта 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, востребованного агентами 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math>
 (спрос со стороны предприятий и домохозяйств) в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
.

42

Валовая прибыль агента-производителя

j_{p}

в момент

t_{k}

:

43

{\tilde{r}}_{j_{p}} (t_{k}) = π_{p} (t_{k}) {\tilde{v}}_{j_{p}} (t_{k}) - {\tilde{z}}_{j_{p}} (t_{k}) - L_{j_{p}} (t_{k}) w_{j_{p}} (t_{k}),

(9)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>z</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo></math>
(9)

44

где

{\tilde{v}}_{j_{p}} (t_{k}), j_{p} \in J_{p}, p \in P, t_{k} \in T

— объем продукции, реализованной агентом-производителем

j_{p}

в результате монетарных сделок в момент

t_{k}

.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi></math>
  — объем продукции, реализованной агентом-производителем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math>
 в результате монетарных сделок в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
.

45

Средняя прибыль агентов-производителей равна

46

R = \frac{1}{|J_{p}|} \sum_{t_{k = 0}}^{|T|} \sum_{j_{p} = 1}^{|J_{p}|} {\tilde{r}}_{j_{p}} (t_{k}) .

(10)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>R</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>.</mo></math>
(10)

47

Среднее число покупателей продукции агентов-производителей —

48

С = \frac{1}{|J_{p}|} \sum_{t_{k = 0}}^{|T|} \sum_{j_{p} = 1}^{|J_{p}|} \sum_{i}^{|I| + |J_{p}|} {\tilde{n}}_{i j_{p}} (t_{k}),

(11)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">С</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>,</mo></math>
(11)

49

Где

50

{\tilde{n}}_{i j_{p}} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} 1, е с л и {\tilde{v}}_{i j_{p}} (t_{k}) > 0, \\ 0, е с л и {\tilde{v}}_{i j_{p}} (t_{k}) = 0 . \end{array}

51

Здесь

{\tilde{v}}_{i j_{p}} (t_{k})

— объем продукции, проданной или переданной по бартеру агенту

i

(i \in I \cup J_{p}, p \in P)

агентом-производителем

j_{p}

(j_{p} \in J_{p}, p \in P)

в момент

t_{k}

.

Здесь 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
 — объем продукции, проданной или переданной по бартеру агенту 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>∪</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math>
 агентом-производителем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math>
 в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
.

52

Тогда можно сформулировать первую задачу формирования оптимальных стратегий поведения агентов-производителей в следующем виде.

53

Задача A. Требуется максимизировать среднюю прибыль и среднее число покупателей для ансамбля агентов-производителей по набору управляющих параметров, определяющих состояния агентов

{μ_{a}, σ_{a}^{2}, μ_{c}, σ_{c}^{2}}

54

\{\begin{array}{l} \underset{{μ_{a}, σ_{a}^{2}, μ_{c}, σ_{c}^{2}}}{m a x} R; \\ \underset{{μ_{a}, σ_{a}^{2}, μ_{c}, σ_{c}^{2}}}{m a x} C \end{array}

(12)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mo>{</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>}</mo></mrow></munder><mi>R</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mo>{</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>}</mo></mrow></munder><mi>C</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 (12)

55

при ограничениях

\underline{R} \leq R \leq \bar{R}

,

\underline{C} \leq C \leq \bar{C}

,

μ_{a}, μ_{c} \in [- 1,1]

,

σ_{a}^{2}, σ_{c}^{2} \in (0,1],

где

\underline{U}, \underline{N}

,

\bar{U}, \bar{N}

— нижние и верхние граничные значения целевых функций агентов-потребителей.

при ограничениях 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>≤</mo><mi>R</mi><mo>≤</mo><mover accent="true"><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>≤</mo><mi>C</mi><mo>≤</mo><mover accent="true"><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mo>[</mo><mo>-</mo><mn>1,1</mn><mo>]</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>(</mo><mn>0,1</mn><mo>]</mo><mo>,</mo></math>
 где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>,</mo><munder underaccent="false"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>_</mo></munder></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
 — нижние и верхние граничные значения целевых функций агентов-потребителей.

при ограничениях <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>≤</mo><mi>R</mi><mo>≤</mo><mover accent="true"><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>≤</mo><mi>C</mi><mo>≤</mo><mover accent="true"><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mo>[</mo><mo>-</mo><mn>1,1</mn><mo>]</mo></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>(</mo><mn>0,1</mn><mo>]</mo><mo>,</mo></math> где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>,</mo><munder underaccent="false"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>_</mo></munder></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> — нижние и верхние граничные значения целевых функций агентов-потребителей.

56

В рамках предложенного подхода для ансамбля агентов-производителей могут быть выбраны и другие целевые функционалы, например объем выпуска (5), производственные расходы (6) и др.

57

Модель поведения агентов-потребителей

58

Агенты-потребители участвуют в бартерных и монетарных сделках, взаимодействуя с другими агентами-потребителями и агентами-производителями. Подобный подход впервые был предложен для построения и изучения моделей случайных продаж (Kiyotaki, Wright, 1989; Поспелов, Жукова, 2012; Akopov et al., 2023).

59

В такой системе расстояние между продуктом

p_{\tilde{i}} (t_{k})

(p_{\tilde{i}} (t_{k}) \in P)

, имеющимся у продавца

\tilde{i},

и продуктом

d_{\hat{i}} (t_{k})

(d_{\hat{i}} (t_{k}) \in P),

который необходим агенту-потребителю

\hat{i}

, измеренное по длине дуги числовой окружности с равномерно распределенными числами

1, . . ., |P|

в момент

t_{k}

:

В такой системе расстояние между продуктом 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math>
, имеющимся у продавца 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>,</mo></math>
 и продуктом 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></math>
 который необходим агенту-потребителю 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math>
, измеренное по длине дуги числовой окружности с равномерно распределенными числами 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>P</mi></mrow></mfenced></math>
 в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
:

В такой системе расстояние между продуктом <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math> , имеющимся у продавца <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>,</mo></math> и продуктом <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></math> который необходим агенту-потребителю <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> , измеренное по длине дуги числовой окружности с равномерно распределенными числами <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>P</mi></mrow></mfenced></math> в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> :

60

δ_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) = {(|P - 1|)}^{- 1} m i n \{|p_{\tilde{i}} (t_{k}) - d_{\hat{i}} (t_{k})|, |P| - |p_{\tilde{i}} (t_{k}) - d_{\hat{i}} (t_{k})|\} .

(13)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>P</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>P</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
(13)

61

Здесь

p_{\tilde{i}} (t_{k}) \in P, \tilde{i} \in J_{p} \cup I, p \in P

— индекс продукта, имеющегося у агента-продавца

\tilde{i}

в момент

t_{k}

;

d_{\hat{i}} (t_{k}) \in P, \hat{i} \in I

— индекс продукта, который необходим агенту-потребителю

i

в момент

t_{k}

.

Здесь 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∪</mo><mi>I</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math>
 — индекс продукта, имеющегося у агента-продавца 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math>
 в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>∈</mo><mi>I</mi></math>
 — индекс продукта, который необходим агенту-потребителю 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math>
 в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
.

Здесь <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∪</mo><mi>I</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></math> — индекс продукта, имеющегося у агента-продавца <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math> в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> ; <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>∈</mo><mi>I</mi></math> — индекс продукта, который необходим агенту-потребителю <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math> в момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> .

62

Оценка уровня соответствия продукта продавца

\tilde{i}

(\tilde{i} \in J_{p} \cup I, p \in P)

интересам агента-потребителя

\hat{i}

(\hat{i} \in I)

в момент

t_{k}

может быть задана как:

Оценка уровня соответствия продукта продавца 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∪</mo><mi>I</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math>
 интересам агента-потребителя 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>)</mo></math>
 в момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 может быть задана как:

63

β_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} 1, е с л и δ_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) \leq α, \\ 0, е с л и δ_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) > α, \end{array}

(14)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>α</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mi>α</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(14)

64

где

α \geq 0

— коэффициент контрактности (т.е. порогового соответствия) продукта агента-продавца интересам агента-покупателя. Поскольку

α \in [0,1],

этот коэффициент может интерпретироваться как вероятность сделки.

65

Состояния готовности агента-потребителя

i

к заключению бартерных и монетарных сделок задаются для каждого момента времени

t_{k}

с помощью логнормальных распределений с заданными характеристиками:

66

b_{i} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} ⌊l n N (μ_{b}, σ_{b}^{2})⌋ / ⌊l n N (μ_{b}, σ_{b}^{2})⌋, е с л и l n N (μ_{b}, σ_{b}^{2}) > 0; \\ 0, е с л и ⌊l n N (μ_{b}, σ_{b}^{2})⌋ = 0, \end{array}

(15)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(15)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (15)

67

m_{i} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} ⌊l n N (μ_{m}, σ_{m}^{2})⌋ / ⌊l n N (μ_{m}, σ_{m}^{2})⌋, е с л и l n N (μ_{m}, σ_{m}^{2}) > 0; \\ 0, е с л и ⌊l n N (μ_{b}, σ_{b}^{2})⌋ = 0, \end{array}

(16)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(16)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mfenced open="⌊" close="⌋" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (16)

68

где

{l n N (μ_{b}, σ_{b}^{2}), l n N (μ_{m}, σ_{m}^{2})}

— случайные величины, имеющие логнормальные распределения с параметрами

{μ_{b}, σ_{b}^{2}, μ_{m}, σ_{m}^{2}}

.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>}</mo></math>
 — случайные величины, имеющие логнормальные распределения с параметрами 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>}</mo></math>
.

69

В каждый момент

t_{k}

между агентом

\tilde{i}

(\tilde{i} \in J_{p} \cup I, p \in P)

и агентом-потребителем

\hat{i}

может осуществляться монетарная или бартерная сделка, результатом которой является симметричное изменение количества денежных средств при монетарном взаимодействии:

В каждый момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 между агентом 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>∪</mo><mi>I</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>p</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi><mo>)</mo></math>
 и агентом-потребителем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math>
 может осуществляться монетарная или бартерная сделка, результатом которой является симметричное изменение количества денежных средств при монетарном взаимодействии:

70

q_{\tilde{i}} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} q_{\tilde{i}} (t_{k - 1}) + π_{p} (t_{k}), е с л и в ы п о л н я е т с я I; \\ q_{\tilde{i}} (t_{k - 1}), е с л и в ы п о л н я е т с я I I I, \end{array}

(17)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(17)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (17)

71

q_{\hat{i}} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} q_{\hat{i}} (t_{k - 1}) - π_{p} (t_{k}), е с л и в ы п о л н я е т с я I; \\ q_{\hat{i}} (t_{k - 1}), е с л и в ы п о л н я е т с я I I I, - \end{array}

(18)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(18)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>-</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (18)

72

и продуктов у агентов при монетарном или бартерном взаимодействии:

73

v_{p_{\tilde{i}}} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} v_{p_{\tilde{i}}} (t_{k - 1}) - 1, е с л и в ы п о л н я е т с я I и л и I I; \\ v_{p_{\tilde{i}}} (t_{k - 1}), е с л и в ы п о л н я е т с я I I I, \end{array}

(19)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(19)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (19)

74

v_{p_{\hat{i}}} (t_{k}) = \{\begin{array}{l} v_{p_{\hat{i}}} (t_{k - 1}) + 1, е с л и в ы п о л н я е т с я I и л и I I; \\ v_{p_{\hat{i}}} (t_{k - 1}), е с л и в ы п о л н я е т с я I I I, \end{array}

(20)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
(20)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">и</mi><mi mathvariant="normal">в</mi><mi mathvariant="normal">ы</mi><mi mathvariant="normal">п</mi><mi mathvariant="normal">о</mi><mi mathvariant="normal">л</mi><mi mathvariant="normal">н</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">е</mi><mi mathvariant="normal">т</mi><mi mathvariant="normal">с</mi><mi mathvariant="normal">я</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> (20)

75

Где

76

I:

\{π_{\tilde{i}} (t_{k - 1}) = 0 & π_{\hat{i}} (t_{k - 1}) > 0 & β_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) = 1 & m_{\tilde{i}} (t_{k}) m_{\hat{i}} (t_{k}) = 1\}

и агенты расположены в пределах зоны торгового взаимодействия, что означает отсутствие денег у продавца, наличие денег у покупателя, наличие продукта у продавца, пороговое соответствие продукта агента-продавца интересу агента-покупателя и обоюдная готовность агентов к монетарным сделкам;

I: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>
 и агенты расположены в пределах зоны торгового взаимодействия, что означает отсутствие денег у продавца, наличие денег у покупателя, наличие продукта у продавца, пороговое соответствие продукта агента-продавца интересу агента-покупателя и обоюдная готовность агентов к монетарным сделкам;

77

II:

\{π_{\tilde{i}} (t_{k - 1}) = 0 & π_{\hat{i}} (t_{k - 1}) = 0 & β_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) = 1 & b_{\tilde{i}} (t_{k}) b_{\hat{i}} (t_{k}) = 1\}

и агенты расположены в пределах зоны торгового взаимодействия, что означает отсутствие денег у продавца и покупателя, пороговое соответствие продукта агента-продавца интересу агента-покупателя и обоюдная готовность агентов к бартерным сделкам;

II: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>
 и агенты расположены в пределах зоны торгового взаимодействия, что означает отсутствие денег у продавца и покупателя, пороговое соответствие продукта агента-продавца интересу агента-покупателя и обоюдная готовность агентов к бартерным сделкам;

78

III:

\{π_{\tilde{i}} (t_{k - 1}) > 0 & π_{\hat{i}} (t_{k - 1}) > 0\},

или

{π_{\tilde{i}} (t_{k - 1}) = 0 & π_{\hat{i}} (t_{k - 1}) > 0 &

p_{\tilde{i}} (t_{k}) = d_{\hat{i}} (t_{k}) & m_{\tilde{i}} (t_{k}) m_{\hat{i}} (t_{k}) = 0},

или

{π_{\tilde{i}} (t_{k - 1}) = 0 & π_{\hat{i}} (t_{k - 1}) = 0 & p_{\tilde{i}} (t_{k}) = d_{\hat{i}} (t_{k}) & b_{\tilde{i}} (t_{k}) b_{\hat{i}} (t_{k}) = 0),

или

β_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) = 0,

или агенты не расположены в зоне торгового взаимодействия, что означает встречу двух агентов с деньгами, или неготовность агентов к сделке, или пороговое несоответствие продукта агента-продавца интересу агента-покупателя.

III: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>&amp;</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>}</mo><mo>,</mo></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&amp;</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math>
 или агенты не расположены в зоне торгового взаимодействия, что означает встречу двух агентов с деньгами, или неготовность агентов к сделке, или пороговое несоответствие продукта агента-продавца интересу агента-покупателя.

III: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn><mo>&</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>&</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>&</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>}</mo><mo>,</mo></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>&</mo><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>&</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>,</mo></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math> или агенты не расположены в зоне торгового взаимодействия, что означает встречу двух агентов с деньгами, или неготовность агентов к сделке, или пороговое несоответствие продукта агента-продавца интересу агента-покупателя.

79

Прирост денежных средств у агентов-потребителей также обеспечивается получением заработной платы от агентов-производителей в случае занятости.

80

Средняя полезность для агентов-потребителей может быть определена как

81

U = \frac{1}{|I|} \sum_{t_{k = 0}}^{|T|} \sum_{i = 1}^{|I|} β_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) ((δ_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) + 1)^{- ν} - λ r), i \in {\tilde{i} : \hat{i} \in I, β_{\tilde{i} \hat{i}} (t_{k}) = 1};

(21)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>U</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mfenced separators="|"><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>ν</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>λ</mi><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>∈</mo><mo>{</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>:</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>}</mo><mo>;</mo></math>
 (21)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>U</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>I</mi></mrow></mfenced></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mfenced separators="|"><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>ν</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>λ</mi><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></mrow></mrow></mrow><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>∈</mo><mo>{</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mo>:</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>~</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>}</mo><mo>;</mo></math> (21)

82

средние денежные накопления агентов-потребителей —

83

N = \frac{1}{|I|} \sum_{t_{k = 0}}^{|T|} \sum_{i = 1}^{|I|} q_{i} (t_{k}) .

(22)

84

Здесь

r \in [1, \bar{r}]

— радиус торгового взаимодействия, т.е. диапазон ячеек дискретного пространства размещения агентов, считающихся соседними,

\bar{r}

— максимально допустимое расстояние между взаимодействующими агентами;

{v, λ}

— коэффициенты, определяющие влияние издержек расстояния между целевым и приобретаемым продуктом, а также между покупателем и продавцом соответственно.

85

Тогда можно сформулировать вторую задачу формирования оптимальных стратегий поведения агентов-потребителей в следующем виде.

86

Задача B. Требуется максимизировать среднюю полезностью от потребления и средние денежные накопления для ансамбля агентов-потребителей по наборам управляющих параметров, определяющих состояния агентов

{μ_{b}, σ_{b}^{2}, μ_{m}, σ_{m}^{2}}

87

\{\begin{array}{l} \underset{{μ_{b}, σ_{b}^{2}, μ_{m}, σ_{m}^{2}}}{m a x} U; \\ \underset{{μ_{b}, σ_{b}^{2}, μ_{m}, σ_{m}^{2}}}{m a x} N \end{array}

(23)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mo>{</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>}</mo></mrow></munder><mi>U</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mo>{</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>}</mo></mrow></munder><mi>N</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 (23)

88

при ограничениях:

\underline{U} \leq U \leq \bar{U}

,

\underline{N} \leq N \leq \bar{N}

,

μ_{b}, μ_{m} \in [- 1,1]

,

σ_{b}^{2}, σ_{m}^{2} \in (0,1]

. Здесь,

\underline{U}, \underline{N}

,

\bar{U}, \bar{N}

— нижние и верхние граничные значения целевых функций агентов-потребителей.

при ограничениях: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>≤</mo><mi>U</mi><mo>≤</mo><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>≤</mo><mi>N</mi><mo>≤</mo><mover accent="true"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mo>[</mo><mo>-</mo><mn>1,1</mn><mo>]</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>(</mo><mn>0,1</mn><mo>]</mo></math>
. Здесь, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>,</mo><munder underaccent="false"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>_</mo></munder></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math>
 — нижние и верхние граничные значения целевых функций агентов-потребителей.

при ограничениях: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>≤</mo><mi>U</mi><mo>≤</mo><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>≤</mo><mi>N</mi><mo>≤</mo><mover accent="true"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mo>[</mo><mo>-</mo><mn>1,1</mn><mo>]</mo></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mo>(</mo><mn>0,1</mn><mo>]</mo></math> . Здесь, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><munder underaccent="false"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>_</mo></munder><mo>,</mo><munder underaccent="false"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>_</mo></munder></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>-</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>-</mo></mover></math> — нижние и верхние граничные значения целевых функций агентов-потребителей.

89

ГЕНЕТИЧЕСКИЙ ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ

90

Алгоритм MORCGA-MOPSO

91

Далее, был разработан генетический оптимизационный алгоритм (MORCGA-MOPSO), агрегированный по целевым функционалам с предложенной МСЭС (рис. 2), реализованными с использованием FLAME GPU (Richmond et al., 2010). Особенностью MORCGA-MOPSO является применение методов машинного обучения, в частности искусственных нейронных сетей (ИНС), для аппроксимации фитнес-функции, компоненты которой (т.е. целевые функционалы) вычисляются в результате имитационного моделирования. Подобный подход позволяет существенно сократить временные затраты, обусловленные необходимостью множественных пересчетов агентной модели для каждого варианта потенциальных решений (Jin, 2005).

92

93

Рис. 2. Блок-схема генетического алгоритма (MORCGA-MOPSO) (

t = {t_{0}, . . ., |T|}

— набор итераций MORCGA-MOPSO,

|T|

— общее число итераций,

t_{0} \in T

,

t_{|T|} \in T

— начальный и конечный моменты MORCGA-MOPSO;

w

— частота чередования использования алгоритмов MORCGA и MOPSO и взаимного обновления полученными недоминируемыми решениями в рамках единой процедуры эволюционного поиска)

Рис. 2. Блок-схема генетического алгоритма (MORCGA-MOPSO) (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced><mo>}</mo></math>
 — набор итераций MORCGA-MOPSO, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></math>
 — общее число итераций, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>T</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>T</mi></math>
 — начальный и конечный моменты MORCGA-MOPSO; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>w</mi></math>
 — частота чередования использования алгоритмов MORCGA и MOPSO и взаимного обновления полученными недоминируемыми решениями в рамках единой процедуры эволюционного поиска)

94

Важным отличием MORCGA-MOPSO (см. рис. 2) от других известных алгоритмов многокритериальной оптимизации (например, SPEA (Zitzler, Thiele, 1999), SPEA2 (Zitzler, Laumanns, Thiele, 2001), NSGA-II (Deb et al., 2002a) MOPSO (Xiaohui, Eberhart, 2002) и FCGA (Akopov et al., 2022)) является комбинирование различных эвристических методов в рамках единой процедуры эволюционного поиска Парето-оптимальных решений. В частности, выполнена интеграция многокритериального генетического алгоритма вещественного кодирования MORCGA (multi-objective real-coded genetic algorithm) и многокритериального роевого алгоритма MOPSO (multi-objective particle swarm optimization). В результате обеспечивается существенно большее быстродействие вычислительной процедуры при сохранении достаточно высокого качества получаемых решений (в сравнении с автономным использованием генетических и роевых алгоритмов).

95

Результаты тестирования и верификации MORCGA-MOPSO

96

Для апробации и верификации разработанного алгоритма MORCGA-MOPSO были привлечены известные тестовые функции (табл. 1).

97

Таблица 1. Тестовые функции для RCGA-PSO

98

Тестовая функция	Постановка задачи (минимизируемые целевые функции)	Диапазоны поиска решений
FT1 — функция Бина – Корна (Binh, Korn, 1997)	$\{\begin{array}{l} f_{1} = 4 x^{2} + 4 y^{2} \\ f_{2} = (x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} \end{array}$ при условии $\{\begin{array}{l} g_{1} = (x - 5)^{2} + y^{2} \leq 25; \\ g_{2} = (x - 8)^{2} + (y + 3)^{2} \geq 7,7 \end{array}$	$0 \leq x \leq 5;$ $0 \leq y \leq 3$
FT2 — функция Фонсеки–Флеминга (Fonseca, Fleming, 1995)	$\{\begin{array}{l} f_{1} = 1 - e x p (- \sum_{j = 1}^{n} {(x_{j} - n^{- 1 / 2})}^{2}); \\ f_{2} = 1 - e x p (- \sum_{j = 1}^{n} {(x_{j} + n^{- 1 / 2})}^{2}) \end{array}$	$- 4 \leq x_{j} \leq 4$ , $1 \leq j \leq n$
FT3 — функция Курсаве (Kursawe, 1991)	$\{\begin{array}{l} f_{1} = \sum_{j = 1}^{2} (- 10 e x p (- 0,2 \sqrt{x_{j}^{2} + x_{j + 1}^{2}})); \\ f_{2} = \sum_{j = 1}^{3} ({\|x_{j}\|}^{0,8} + 5 x_{j}^{3}) \end{array}$	$- 5 \leq x_{j} \leq 5$ , $1 \leq j \leq 3$
FT4 — функция Полони 2 для задач двухкритериальной оптимизации (Po-loni, et al., 2000)	$\{\begin{array}{l} f_{1} = 1 + {(A_{1} - B_{1})}^{2} + {(A_{2} - B_{2})}^{2}; \\ f_{2} = (x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} \end{array}$ где $\{\begin{array}{l} A_{1} = 0,5 s i n 1 - 2 c o s 1 + s i n 2 - 1,5 c o s 2; \\ \begin{array}{l} A_{2} = 1,5 s i n 1 - c o s 1 + 2 s i n 2 - 0,5 c o s 2; \\ B_{1} = 0,5 s i n x - 2 c o s x + s i n y - 1,5 c o s y; \\ B_{2} = 1,5 s i n x - c o s x + 2 s i n y - 0,5 c o s y \end{array} \end{array}$	$- π \leq x \leq π - π \leq y \leq π$
FT5 — функция Зистера–Дьеба–Тери N.3 (Deb, et al., 2002b)	$\{\begin{array}{l} f_{1} = x_{1}; \\ f_{2} = g h, \end{array}$ где $\{\begin{array}{l} g = 1 + \frac{9}{29} \sum_{j = 2}^{30} x_{j}; \\ h = 1 - \sqrt{f_{1} / g} - (f_{1} / g) s i n (10 π f_{1}) \end{array}$	$0 \leq x_{j} \leq 1$ , $1 \leq j \leq 30$
FT6 — функция Зистера–Дьеба–Тери N.4 (Deb, et al., 2002b)	$\{\begin{array}{l} f_{1} = x_{1}; \\ f_{2} = g h, \end{array}$ где $\{\begin{array}{l} g = 91 + \sum_{j = 2}^{10} (x_{j}^{2} - 10 c o s (4 π x_{j})); \\ h = 1 - \sqrt{f_{1} / g} \end{array}$	$0 \leq x_{1} \leq 1$ , $- 5 \leq x_{j} \leq 5$ , $2 \leq j \leq 10$

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Тестовая функция</td><td class="docx-publication-cell"> Постановка задачи (минимизируемые целевые функции)</td><td class="docx-publication-cell"> Диапазоны поиска решений</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT1 — функция Бина – Корна (Binh, Korn, 1997)</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 при условии <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><mn>25</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>8</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><mn>7,7</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>5</mn><mo>;</mo></math>
 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>≤</mo><mn>3</mn></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT2 — функция Фонсеки–Флеминга (Fonseca, Fleming, 1995) </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>4</mn></math>
,<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT3 — функция Курсаве (Kursawe, 1991)</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>0,2</mn><msqrt><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>;</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0,8</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>5</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>5</mn></math>
,<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mn>3</mn></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT4 — функция Полони 2 для задач двухкритериальной оптимизации (Po-loni, et al., 2000) </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn>1</mn><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1,5</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn>2</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1,5</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn>1</mn><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn>2</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>1,5</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>y</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1,5</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>y</mi></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mi>π</mi><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>π</mi><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>≤</mo><mi>π</mi></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT5 — функция Зистера–Дьеба–Тери N.3 (Deb, et al., 2002b)</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>g</mi><mi>h</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>g</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn></mrow><mrow><mn>29</mn></mrow></mfrac><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>30</mn></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>g</mi></msqrt><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>g</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><mn>10</mn><mi>π</mi><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mn>30</mn></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT6 — функция Зистера–Дьеба–Тери N.4 (Deb, et al., 2002b)</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>g</mi><mi>h</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>g</mi><mo>=</mo><mn>91</mn><mo>+</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow></msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><mn>10</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>π</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>g</mi></msqrt></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>5</mn></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>2</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mn>10</mn></math>
</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Тестовая функция</td><td class="docx-publication-cell"> Постановка задачи (минимизируемые целевые функции)</td><td class="docx-publication-cell"> Диапазоны поиска решений</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT1 — функция Бина – Корна (Binh, Korn, 1997)</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> при условии <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><mn>25</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>8</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><mn>7,7</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>5</mn><mo>;</mo></math> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>≤</mo><mn>3</mn></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT2 — функция Фонсеки–Флеминга (Fonseca, Fleming, 1995) </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>4</mn></math> ,<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT3 — функция Курсаве (Kursawe, 1991)</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn>0,2</mn><msqrt><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></msqrt></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>;</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>0,8</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>5</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>5</mn></math> ,<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mn>3</mn></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT4 — функция Полони 2 для задач двухкритериальной оптимизации (Po-loni, et al., 2000) </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn>1</mn><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>1,5</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn>2</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1,5</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn>1</mn><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn>2</mn><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn>2</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>1,5</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>y</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1,5</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>y</mi></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mi>π</mi><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>π</mi><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>≤</mo><mi>π</mi></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT5 — функция Зистера–Дьеба–Тери N.3 (Deb, et al., 2002b)</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>g</mi><mi>h</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>g</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn></mrow><mrow><mn>29</mn></mrow></mfrac><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>30</mn></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>g</mi></msqrt><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>g</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>(</mo><mn>10</mn><mi>π</mi><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mn>30</mn></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT6 — функция Зистера–Дьеба–Тери N.4 (Deb, et al., 2002b)</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>g</mi><mi>h</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>g</mi><mo>=</mo><mn>91</mn><mo>+</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow></msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><mn>10</mn><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>π</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>g</mi></msqrt></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>5</mn></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>2</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mn>10</mn></math> </td></tr></table>

99

Затем была выполнена оценка производительности алгоритма MORCGA-MOPSO в сравнении с другими известными параллельными алгоритмами многокритериальной оптимизации, также реализованными с использованием FLAME GPU по наиболее важным критериям:

100

LHV — максимизируемый показатель, характеризующий логарифмический гиперообъем, определяющий суммарную площадь пространства, покрываемого фронтом Парето;

101

IGD — максимизируемая метрика, характеризующая расстояние между фронтом Парето, полученным с помощью эвристического алгоритма, и эталонным фронтом Парето;

102

CPF — максимизируемая мощность фронта Парето, характеризующая число найденных недоминируемых решений, принадлежащих фронту Парето (при условии равномерного распределения решений по фронту Парето);

103

PT, секунд — минимизируемое время, затрачиваемое на формирование Парето-оптимальных решений;

104

CPF / PT — соотношение числа полученных недоминируемых решений к затраченному процессному времени.

105

В табл. 2 представлены средние значения показателей производительности MORCGA-MOPSO в сравнении с другими известными параллельными алгоритмами многокритериальной оптимизации. Оптимизационные эксперименты были проведены на суперкомпьютере ЦЭМИ РАН DSWS PRO (2x Intel Xeon Silver 4114, 1x NVIDIA QUADRO RTX) при использовании 100 агентов-процессов и агентов-частиц, общем числе итераций

|T| = 100

и

w = 5

. Таблица 2. Оценка эффективности MORCGA-MOPSO

106

Показатель эффективности	MORCGA-MOPSO	Алгоритмы MORCGA и PSO
		SPEA	SPEA2	NSGA-II	FCGA	MOPSO
FT1 — Функция Бина и Корна
LHV	3,841	3,824	3,829	3,840	3,843	3,807
IGD	0,0759	0,0224	0,0761	0,1323	0,2795	0,0223
CPF	1712	996	1052	2587	2760	835
PT, с	54	52	63	103	147	21
CPF/PT	31,7	19,2	16,8	25,0	18,8	39,1
FT2 — Функция Фонсеки и Флеминга
LHV	–0,0014	–0,0038	–0,0034	–0,0013	–0,0019	–0,0019
IGD	0,0002	0,0004	0,0002	0,0001	0,0001	0,0009
CPF	1330	379	519	2826	2825	308
PT, с	41	27	32	165	257	21
CPF/PT	32,2	14,2	16,2	17,2	11,0	14,9
FT3 — Функция Курсаве
LHV	1,9016	1,8895	1,8923	1,8996	1,9035	1,8664
IGD	0,0439	0,0493	0,1489	0,0608	0,0618	0,1166
CPF	117	29	24	357	335	36
PT, с	31	21	14	44	45	21
CPF/PT	3,8	1,4	1,7	8,1	7,4	1,7
FT4 — Функция Полони
LHV	2,7065	2,6815	2,7055	2,6933	2,6925	2,7061
IGD	0,1606	0,2787	0,2002	0,3737	0,3362	0,1298
CPF	112	53	84	54	67	94
PT, с	25	17	18	31	35	21
CPF/PT	4,5	3,2	4,7	1,8	1,9	4,5
FT5 — Функция Зистера–Дьеба–Тери N.3
LHV	0,2021	0,2011	0,2021	0,2014	0,2021	0,2017
IGD	0,0023	0,0023	0,0023	0,0023	0,0024	0,0024
CPF	259	259	259	258	260	258
PT, с	22	17	23	35	43	11
CPF/PT	11,8	15,5	11,4	7,4	6,0	24,2
FT6 — Функция Зистера–Дьеба–Тери N.4
LHV	0,0678	0,0561	0,0614	0,0758	0,0743	0,0630
IGD	0,0096	0,0153	0,0151	0,0111	0,0104	0,0103
CPF	1106	144	116	3588	3480	123
PT, с	37	15	13	121	185	11
CPF/PT	29,6	9,4	9,2	29,6	18,8	11,5

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Показатель эффективности</td><td class="docx-publication-cell"> MORCGA-MOPSO</td><td class="docx-publication-cell"> Алгоритмы MORCGA и PSO</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> SPEA</td><td class="docx-publication-cell"> SPEA2</td><td class="docx-publication-cell"> NSGA-II</td><td class="docx-publication-cell"> FCGA</td><td class="docx-publication-cell"> MOPSO</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT1 — Функция Бина и Корна</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 3,841</td><td class="docx-publication-cell"> 3,824</td><td class="docx-publication-cell"> 3,829</td><td class="docx-publication-cell"> 3,840</td><td class="docx-publication-cell"> 3,843</td><td class="docx-publication-cell"> 3,807</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0759</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0224</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0761</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1323</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2795</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0223</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 1712</td><td class="docx-publication-cell"> 996</td><td class="docx-publication-cell"> 1052</td><td class="docx-publication-cell"> 2587</td><td class="docx-publication-cell"> 2760</td><td class="docx-publication-cell"> 835</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 54</td><td class="docx-publication-cell"> 52</td><td class="docx-publication-cell"> 63</td><td class="docx-publication-cell"> 103</td><td class="docx-publication-cell"> 147</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 31,7</td><td class="docx-publication-cell"> 19,2</td><td class="docx-publication-cell"> 16,8</td><td class="docx-publication-cell"> 25,0</td><td class="docx-publication-cell"> 18,8</td><td class="docx-publication-cell"> 39,1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT2 — Функция Фонсеки и Флеминга</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0014</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0038</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0034</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0013</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0019</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0019</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0002</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0004</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0002</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0001</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0001</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0009</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 1330</td><td class="docx-publication-cell"> 379</td><td class="docx-publication-cell"> 519</td><td class="docx-publication-cell"> 2826</td><td class="docx-publication-cell"> 2825</td><td class="docx-publication-cell"> 308</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 41</td><td class="docx-publication-cell"> 27</td><td class="docx-publication-cell"> 32</td><td class="docx-publication-cell"> 165</td><td class="docx-publication-cell"> 257</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 32,2</td><td class="docx-publication-cell"> 14,2</td><td class="docx-publication-cell"> 16,2</td><td class="docx-publication-cell"> 17,2</td><td class="docx-publication-cell"> 11,0</td><td class="docx-publication-cell"> 14,9</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT3 — Функция Курсаве</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 1,9016</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8895</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8923</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8996</td><td class="docx-publication-cell"> 1,9035</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8664</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0439</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0493</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1489</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0608</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0618</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1166</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 117</td><td class="docx-publication-cell"> 29</td><td class="docx-publication-cell"> 24</td><td class="docx-publication-cell"> 357</td><td class="docx-publication-cell"> 335</td><td class="docx-publication-cell"> 36</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 31</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td><td class="docx-publication-cell"> 14</td><td class="docx-publication-cell"> 44</td><td class="docx-publication-cell"> 45</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 3,8</td><td class="docx-publication-cell"> 1,4</td><td class="docx-publication-cell"> 1,7</td><td class="docx-publication-cell"> 8,1</td><td class="docx-publication-cell"> 7,4</td><td class="docx-publication-cell"> 1,7</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT4 — Функция Полони</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 2,7065</td><td class="docx-publication-cell"> 2,6815</td><td class="docx-publication-cell"> 2,7055</td><td class="docx-publication-cell"> 2,6933</td><td class="docx-publication-cell"> 2,6925</td><td class="docx-publication-cell"> 2,7061</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1606</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2787</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2002</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3737</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3362</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1298</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 112</td><td class="docx-publication-cell"> 53</td><td class="docx-publication-cell"> 84</td><td class="docx-publication-cell"> 54</td><td class="docx-publication-cell"> 67</td><td class="docx-publication-cell"> 94</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 25</td><td class="docx-publication-cell"> 17</td><td class="docx-publication-cell"> 18</td><td class="docx-publication-cell"> 31</td><td class="docx-publication-cell"> 35</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 4,5</td><td class="docx-publication-cell"> 3,2</td><td class="docx-publication-cell"> 4,7</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8</td><td class="docx-publication-cell"> 1,9</td><td class="docx-publication-cell"> 4,5</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT5 — Функция Зистера–Дьеба–Тери N.3</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2021</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2011</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2021</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2014</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2021</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2017</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0023</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0023</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0023</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0023</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0024</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0024</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 259</td><td class="docx-publication-cell"> 259</td><td class="docx-publication-cell"> 259</td><td class="docx-publication-cell"> 258</td><td class="docx-publication-cell"> 260</td><td class="docx-publication-cell"> 258</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 22</td><td class="docx-publication-cell"> 17</td><td class="docx-publication-cell"> 23</td><td class="docx-publication-cell"> 35</td><td class="docx-publication-cell"> 43</td><td class="docx-publication-cell"> 11</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 11,8</td><td class="docx-publication-cell"> 15,5</td><td class="docx-publication-cell"> 11,4</td><td class="docx-publication-cell"> 7,4</td><td class="docx-publication-cell"> 6,0</td><td class="docx-publication-cell"> 24,2</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT6 — Функция Зистера–Дьеба–Тери N.4</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0678</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0561</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0614</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0758</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0743</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0630</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0096</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0153</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0151</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0111</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0104</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0103</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 1106</td><td class="docx-publication-cell"> 144</td><td class="docx-publication-cell"> 116</td><td class="docx-publication-cell"> 3588</td><td class="docx-publication-cell"> 3480</td><td class="docx-publication-cell"> 123</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 37</td><td class="docx-publication-cell"> 15</td><td class="docx-publication-cell"> 13</td><td class="docx-publication-cell"> 121</td><td class="docx-publication-cell"> 185</td><td class="docx-publication-cell"> 11</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 29,6</td><td class="docx-publication-cell"> 9,4</td><td class="docx-publication-cell"> 9,2</td><td class="docx-publication-cell"> 29,6</td><td class="docx-publication-cell"> 18,8</td><td class="docx-publication-cell"> 11,5</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Показатель эффективности</td><td class="docx-publication-cell"> MORCGA-MOPSO</td><td class="docx-publication-cell"> Алгоритмы MORCGA и PSO</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> SPEA</td><td class="docx-publication-cell"> SPEA2</td><td class="docx-publication-cell"> NSGA-II</td><td class="docx-publication-cell"> FCGA</td><td class="docx-publication-cell"> MOPSO</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT1 — Функция Бина и Корна</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 3,841</td><td class="docx-publication-cell"> 3,824</td><td class="docx-publication-cell"> 3,829</td><td class="docx-publication-cell"> 3,840</td><td class="docx-publication-cell"> 3,843</td><td class="docx-publication-cell"> 3,807</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0759</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0224</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0761</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1323</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2795</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0223</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 1712</td><td class="docx-publication-cell"> 996</td><td class="docx-publication-cell"> 1052</td><td class="docx-publication-cell"> 2587</td><td class="docx-publication-cell"> 2760</td><td class="docx-publication-cell"> 835</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 54</td><td class="docx-publication-cell"> 52</td><td class="docx-publication-cell"> 63</td><td class="docx-publication-cell"> 103</td><td class="docx-publication-cell"> 147</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 31,7</td><td class="docx-publication-cell"> 19,2</td><td class="docx-publication-cell"> 16,8</td><td class="docx-publication-cell"> 25,0</td><td class="docx-publication-cell"> 18,8</td><td class="docx-publication-cell"> 39,1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT2 — Функция Фонсеки и Флеминга</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0014</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0038</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0034</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0013</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0019</td><td class="docx-publication-cell"> –0,0019</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0002</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0004</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0002</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0001</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0001</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0009</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 1330</td><td class="docx-publication-cell"> 379</td><td class="docx-publication-cell"> 519</td><td class="docx-publication-cell"> 2826</td><td class="docx-publication-cell"> 2825</td><td class="docx-publication-cell"> 308</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 41</td><td class="docx-publication-cell"> 27</td><td class="docx-publication-cell"> 32</td><td class="docx-publication-cell"> 165</td><td class="docx-publication-cell"> 257</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 32,2</td><td class="docx-publication-cell"> 14,2</td><td class="docx-publication-cell"> 16,2</td><td class="docx-publication-cell"> 17,2</td><td class="docx-publication-cell"> 11,0</td><td class="docx-publication-cell"> 14,9</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT3 — Функция Курсаве</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 1,9016</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8895</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8923</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8996</td><td class="docx-publication-cell"> 1,9035</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8664</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0439</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0493</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1489</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0608</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0618</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1166</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 117</td><td class="docx-publication-cell"> 29</td><td class="docx-publication-cell"> 24</td><td class="docx-publication-cell"> 357</td><td class="docx-publication-cell"> 335</td><td class="docx-publication-cell"> 36</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 31</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td><td class="docx-publication-cell"> 14</td><td class="docx-publication-cell"> 44</td><td class="docx-publication-cell"> 45</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 3,8</td><td class="docx-publication-cell"> 1,4</td><td class="docx-publication-cell"> 1,7</td><td class="docx-publication-cell"> 8,1</td><td class="docx-publication-cell"> 7,4</td><td class="docx-publication-cell"> 1,7</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT4 — Функция Полони</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 2,7065</td><td class="docx-publication-cell"> 2,6815</td><td class="docx-publication-cell"> 2,7055</td><td class="docx-publication-cell"> 2,6933</td><td class="docx-publication-cell"> 2,6925</td><td class="docx-publication-cell"> 2,7061</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1606</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2787</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2002</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3737</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3362</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1298</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 112</td><td class="docx-publication-cell"> 53</td><td class="docx-publication-cell"> 84</td><td class="docx-publication-cell"> 54</td><td class="docx-publication-cell"> 67</td><td class="docx-publication-cell"> 94</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 25</td><td class="docx-publication-cell"> 17</td><td class="docx-publication-cell"> 18</td><td class="docx-publication-cell"> 31</td><td class="docx-publication-cell"> 35</td><td class="docx-publication-cell"> 21</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 4,5</td><td class="docx-publication-cell"> 3,2</td><td class="docx-publication-cell"> 4,7</td><td class="docx-publication-cell"> 1,8</td><td class="docx-publication-cell"> 1,9</td><td class="docx-publication-cell"> 4,5</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT5 — Функция Зистера–Дьеба–Тери N.3</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2021</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2011</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2021</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2014</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2021</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2017</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0023</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0023</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0023</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0023</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0024</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0024</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 259</td><td class="docx-publication-cell"> 259</td><td class="docx-publication-cell"> 259</td><td class="docx-publication-cell"> 258</td><td class="docx-publication-cell"> 260</td><td class="docx-publication-cell"> 258</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 22</td><td class="docx-publication-cell"> 17</td><td class="docx-publication-cell"> 23</td><td class="docx-publication-cell"> 35</td><td class="docx-publication-cell"> 43</td><td class="docx-publication-cell"> 11</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 11,8</td><td class="docx-publication-cell"> 15,5</td><td class="docx-publication-cell"> 11,4</td><td class="docx-publication-cell"> 7,4</td><td class="docx-publication-cell"> 6,0</td><td class="docx-publication-cell"> 24,2</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> FT6 — Функция Зистера–Дьеба–Тери N.4</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> LHV</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0678</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0561</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0614</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0758</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0743</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0630</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> IGD</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0096</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0153</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0151</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0111</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0104</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0103</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF</td><td class="docx-publication-cell"> 1106</td><td class="docx-publication-cell"> 144</td><td class="docx-publication-cell"> 116</td><td class="docx-publication-cell"> 3588</td><td class="docx-publication-cell"> 3480</td><td class="docx-publication-cell"> 123</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> PT, с</td><td class="docx-publication-cell"> 37</td><td class="docx-publication-cell"> 15</td><td class="docx-publication-cell"> 13</td><td class="docx-publication-cell"> 121</td><td class="docx-publication-cell"> 185</td><td class="docx-publication-cell"> 11</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> CPF/PT</td><td class="docx-publication-cell"> 29,6</td><td class="docx-publication-cell"> 9,4</td><td class="docx-publication-cell"> 9,2</td><td class="docx-publication-cell"> 29,6</td><td class="docx-publication-cell"> 18,8</td><td class="docx-publication-cell"> 11,5</td></tr></table>

107

Примечание. Темно-серым цветом выделены ячейки с показателями эффективности эвристических алгоритмов, значения которых являются наилучшими для соответствующей тестовой функции (т.е. максимальными для LHV, CPF, CPF/PT и минимальными для IGD и PT).; светло-серым — показатели, значения которых можно оценить как относительно благоприятные.

108

Анализ показал, что предложенный гибридный генетический алгоритм MORCGA-MOPSO по критерию временной эффективности (PT) сопоставим c методами быстрой многокритериальной эвристической оптимизации MOPSO (Xiaohui, Eberhart, 2002) и SPEA (Zitzler, Thiele, 1999), а по мощности фронта Парето (CPF) и логарифмическому гиперобъему (LHV) — с ресурсозатратными алгоритмами NSGA-II (Deb et al., 2002) и FCGA (Akopov et al., 2022).

109

На рис. 3 представлена визуализация аппроксимируемых фронтов Парето, полученных с использованием исследуемых алгоритмов для выбранного набора тестовых функций. Результатом решения двухкритериальных задач A и B являются множества субоптимальных решений. Из них на рис. 3 приведены 8 наиболее различающихся решений (А.1–А.8 и В.1–В.8).

110

111

Рис. 3. Аппроксимируемые фронты Парето для набора тестовых функций

112

Как следует из графиков на рис. 3 и данных в табл. 2 (см. показатель IGD), алгоритм MORCGA-MOPSO обеспечивает достаточное приближение аппроксимируемых фронтов Парето к соответствующим истинным фронтам, количественные характеристики которых являются известными.

113

РЕЗУЛЬТАТЫ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

114

Далее, были проведены оптимизационные эксперименты с использованием разработанного гибридного генетического алгоритма MORCGA-MOPSO, агрегированного по целевым функционалам с предложенной имитационной моделью МСЭС. При этом были приняты следующие наиболее важные допущения.

115

Период моделирования

|T| = 12

(мес.).

116

Общее число отраслей промышленности —

|P| = 15

, отрасли характеризуются эластичностью выпуска по основным фондам

γ_{p} \in [0.3,0.98], p \in P

(нижняя граница соответствует «производству резиновых и пластмассовых изделий», верхняя — «производству машин и оборудования»).

117

Общее число агентов-производителей, т.е. промышленных предприятий,

|J_{p}| = 150

(соотношение с реальным числом предприятий 1 : 2000) и агентов-потребителей, т.е. занятых и незанятых индивидуумов,

|I| = 3000

(соотношение с реальным числом людей 1 : 5000).

118

Радиус торгового взаимодействия:

r = 10

(ячеек дискретного пространства).

119

Коэффициенты, определяющие влияние издержек расстояний:

v = 1,5

,

λ = 0,01

.

120

На рис. 4 показаны фронты Парето и выделены частные наиболее отличающиеся субоптимальные альтернативы, полученные в результате решения задач A и B с использованием MORCGA-MOPSO.

121

122

Рис. 4. Аппроксимируемые фронты Парето, вычисленные для задач A и B с использованием MORCGA-MOPSO

123

В табл. 3 представлены субоптимальные решения, принадлежащие фронтам Парето (см. рис. 4), вычисленным с использованием MORCGA-MOPSO для задач A и B.

124

Таблица 3. Субоптимальные решения, принадлежащие фронтам Парето

125

Субоптимальные решения для задачи A	Параметры логнормальных распределений агентов-производителей	Преимущественные состояния агентов
	$μ_{a}$	$σ_{a}^{2}$	$μ_{c}$	$σ_{c}^{2}$	$a_{j_{p}} (t_{k})$	$с_{j_{p}} (t_{k})$
Решение A.1	–0,4450	0,4620	–0,1010	0,8190	0	0
Решение A.2	–0,6500	0,0540	–0,2730	0,3440	0	0
Решение A.3	0,1530	0,6810	0,1930	0,4850	0	0
Решение A.4	0,1720	0,5360	0,2680	0,3020	0	1
Решение A.5	0,3890	0,6700	0,6480	0,6690	1	1
Решение A.6	0,6730	0,4850	0,9740	0,5540	1	1
Решение A.7	0,7250	0,4700	0,8230	0,5350	1	1
Решение A.8	0,8050	0,7740	0,9840	0,6190	1	1
Субоптимальные решения для задачи B	Параметры логнормальных распределений агентов-потребителей	Преимущественные состояния агентов
	$μ_{b}$	$σ_{b}^{2}$	$μ_{m}$	$σ_{m}^{2}$	$b_{i} (t_{k})$	$m_{i} (t_{k})$
Решение B.1	0,9710	0,3500	0,9520	0,0200	1	1
Решение B.2	0,9340	0,0230	0,8570	0,8240	1	1
Решение B.3	0,7850	0,3220	0,9200	0,7360	1	1
Решение B.4	0,9670	0,7690	0,8970	0,5790	1	1
Решение B.5	0,7350	0,1520	0,1170	0,9010	1	0
Решение B.6	0,1620	0,7910	0,1470	0,6610	0	0
Решение B.7	– 0,1220	0,8260	–0,1490	0,5720	0	0
Решение B.8	– 0,5510	0,2320	–0,2870	0,7650	0	0

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Субоптимальные решения для задачи A</td><td class="docx-publication-cell"> Параметры логнормальных распределений агентов-производителей</td><td class="docx-publication-cell"> Преимущественные состояния агентов</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.1</td><td class="docx-publication-cell"> –0,4450</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4620</td><td class="docx-publication-cell"> –0,1010</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8190</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.2</td><td class="docx-publication-cell"> –0,6500</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0540</td><td class="docx-publication-cell"> –0,2730</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3440</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.3</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1530</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6810</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1930</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4850</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.4</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1720</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5360</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2680</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3020</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.5</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3890</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6700</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6480</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6690</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.6</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6730</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4850</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9740</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5540</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.7</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7250</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4700</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8230</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5350</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.8</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8050</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7740</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9840</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6190</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Субоптимальные решения для задачи B</td><td class="docx-publication-cell"> Параметры логнормальных распределений агентов-потребителей</td><td class="docx-publication-cell"> Преимущественные состояния агентов</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.1</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9710</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3500</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9520</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0200</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9340</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0230</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8570</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8240</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.3</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7850</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3220</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9200</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7360</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.4</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9670</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7690</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8970</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5790</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.5</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7350</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1520</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1170</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9010</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.6</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1620</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7910</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1470</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6610</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.7</td><td class="docx-publication-cell"> – 0,1220</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8260</td><td class="docx-publication-cell"> –0,1490</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5720</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.8</td><td class="docx-publication-cell"> – 0,5510</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2320</td><td class="docx-publication-cell"> –0,2870</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7650</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Субоптимальные решения для задачи A</td><td class="docx-publication-cell"> Параметры логнормальных распределений агентов-производителей</td><td class="docx-publication-cell"> Преимущественные состояния агентов</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.1</td><td class="docx-publication-cell"> –0,4450</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4620</td><td class="docx-publication-cell"> –0,1010</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8190</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.2</td><td class="docx-publication-cell"> –0,6500</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0540</td><td class="docx-publication-cell"> –0,2730</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3440</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.3</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1530</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6810</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1930</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4850</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.4</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1720</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5360</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2680</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3020</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.5</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3890</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6700</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6480</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6690</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.6</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6730</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4850</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9740</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5540</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.7</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7250</td><td class="docx-publication-cell"> 0,4700</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8230</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5350</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение A.8</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8050</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7740</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9840</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6190</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Субоптимальные решения для задачи B</td><td class="docx-publication-cell"> Параметры логнормальных распределений агентов-потребителей</td><td class="docx-publication-cell"> Преимущественные состояния агентов</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.1</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9710</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3500</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9520</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0200</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.2</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9340</td><td class="docx-publication-cell"> 0,0230</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8570</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8240</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.3</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7850</td><td class="docx-publication-cell"> 0,3220</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9200</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7360</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.4</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9670</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7690</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8970</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5790</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.5</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7350</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1520</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1170</td><td class="docx-publication-cell"> 0,9010</td><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.6</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1620</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7910</td><td class="docx-publication-cell"> 0,1470</td><td class="docx-publication-cell"> 0,6610</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.7</td><td class="docx-publication-cell"> – 0,1220</td><td class="docx-publication-cell"> 0,8260</td><td class="docx-publication-cell"> –0,1490</td><td class="docx-publication-cell"> 0,5720</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Решение B.8</td><td class="docx-publication-cell"> – 0,5510</td><td class="docx-publication-cell"> 0,2320</td><td class="docx-publication-cell"> –0,2870</td><td class="docx-publication-cell"> 0,7650</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td><td class="docx-publication-cell"> 0</td></tr></table>

126

Стратегия поведения агентов-производителей, направленная на максимизацию собственной прибыли (решения A.1–A.4) в основном реализуется за счет ограничения темпов ввода новых основных фондов и трудовых ресурсов (см. табл. 3). Увеличение клиентской базы, наоборот, обусловливает необходимость наращивания производственных ресурсов (решения A.5–A.8). Стратегия поведения агентов-потребителей, направленная на максимизацию средней полезности от потребления, как правило, предполагает реализацию всех типов сделок (решения B.1–B4). Максимизация денежных накоплений сопровождается отказом от монетарных сделок в пользу бартерного обмена (решения B.5–B.8).

127

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

128

В данной работе представлен подход к имитационному моделированию продуктовых взаимодействий и оптимизации стратегий поведения экономических агентов в рамках МСЭС. Сформулированы важные двухкритериальные оптимизационные задачи для ансамблей агентов-производителей и агентов-потребителей. Разработан новый параллельный гибридный генетический алгоритм (MORCGA-MOPSO), в рамках которого реализуется комбинированное использование генетического алгоритма вещественного кодирования (класса RCGA) и метода роевой оптимизации (PSO) для достижения максимальной временной эффективности. Выполнена программная реализация разработанной имитационной модели МСЭС, агрегированной по целевым функционалам с предложенным генетическим алгоритмом в системе крупномасштабного агентного моделирования FLAME GPU.

129

Дальнейшие исследования будут направлены на детализацию МСЭС, увеличение типов и общего количества взаимодействующих экономических агентов, а также развитие методов оптимального управления их поведением с использованием генетических алгоритмов и машинного обучения.

GOST	Akopov A., Beklaryan A. Optimization of behaviour strategies within the simulation model of a multi-agent socio-economic system // Economics and the Mathematical Methods. – 2023. – V. 59. – No. 3 C. 117-131 . URL: https://emm.jes.su/s042473880027006-5-1/. DOI: 10.31857/S042473880027006-5
MLA	Akopov, Andranick, Beklaryan, Armen "Optimization of behaviour strategies within the simulation model of a multi-agent socio-economic system." Economics and the Mathematical Methods. 59.3 (2023).:117-131. DOI: 10.31857/S042473880027006-5
APA	Akopov A., Beklaryan A. (2023). Optimization of behaviour strategies within the simulation model of a multi-agent socio-economic system. Economics and the Mathematical Methods. vol. 59, no. 3, pp.117-131 DOI: 10.31857/S042473880027006-5

References

Comments

References

Comments

Via social network