1. Постановка задачи. Основные понятия

В этой статье предлагается новая математическая модель для оценки <em>рыночной стоимости</em> (РС) активов, учитывающая важные особенности процесса их продажи. Приведем некоторые основные определения.

Согласно Международным стандартам оценки (МСО, 2020, МСО 104, п. 30.1, 30.2), рыночная стоимость объекта на дату оценки представляет собой расчетную денежную сумму, за которую состоялся бы обмен объекта на эту дату между <em>типичными</em> покупателями и продавцами в результате (реальной или гипотетической) <em>стандартной</em> сделки. При этом:

<em>типичными</em><em><strong> </strong></em>считаются участники рынка, проводящие надлежащий маркетинг, ведущие себя расчетливо и хорошо осведомленные о характере, свойствах и способах использования актива, а также о состоянии рынка на дату оценки; <em>стандартной</em> считается коммерческая сделка на открытом и конкурентном рынке между сторонами, не связанными между собой какими-либо отношениями и действующими независимо.

Для того чтобы стандартная сделка между типичными покупателями и продавцами совершалась, необходимо, чтобы цена сделки была «наилучшей из достижимых, по разумным соображениям, для продавца и наиболее выгодной из достижимых, по разумным соображениям, для покупателя» (МСО, 2020, МСО 104, п. 30.2a). Это означает, что в такой сделке:

продать объект по РС было бы для продавца не менее выгодно, чем оставить его у себя и использовать наиболее эффективным способом; купить объект по рыночной стоимости и наиболее эффективно его использовать не менее выгодно, чем вложить те же средства в альтернативные и доступные для всех участников рынка направления инвестирования.

Отсюда следует, что рыночная стоимость объекта должна оцениваться при предпосылке о наиболее эффективном способе использования имущества, и потому, как отмечено в МСО (МСО 104, п. 30.4), «будет отражать его наиболее эффективное использование».

Из определения понятия стандартной сделки вытекает, что от ее участников требуется предварительное проведение должного маркетинга. Как отмечено в (МСО, 2020, МСО 104, п. 30.2g), это означает, «что актив был выставлен на рынке наиболее подходящим образом, чтобы обеспечить его реализацию по наилучшей из достижимых по разумным соображениям цене в соответствии с определением рыночной стоимости. Продолжительность периода выставления на рынке может быть разной в зависимости от типа актива и рыночных условий. Единственное условие состоит в том, что она должна быть достаточной для того, чтобы актив привлек к себе внимание достаточного числа участников рынка». Таким образом, оценка рыночной стоимости актива подразумевает «наиболее подходящий», обеспечивающий «наилучшую цену», срок экспозиции (выставления на рынке). Такое время, позволяющее осуществить «надлежащий маркетинг» актива и достаточное для совершения купли-продажи актива по рыночной стоимости, в (МСО, 2020, МСО 104, п. 170.1, МСО 410, п. 90.26) называют «нормальным», или «типичным».

Ряд методов оценки рыночной стоимости активов основаны на упоминаемом в МСО <em>принципе ожидания выгод</em>, суть которого состоит в том, что рыночная стоимость актива на дату оценки определяется ожидаемыми выгодами (доходами, денежными потоками) от его последующего (и, как говорилось выше, наиболее эффективного) использования. Срок, в течение которого актив может быть (наиболее эффективно) использован, мы будем именовать <em>сроком службы</em> (в литературе в такой ситуации говорят об <em>экономическом</em> сроке службы).

При использовании упоминаемого в МСО метода дисконтирования денежных потоков (ДДП) рыночную стоимость актива рассчитывают как ожидаемую сумму дисконтированных к дате оценки выгод от наиболее эффективного его последующего использования. При этом риски, связанные с использованием актива, учитываются либо при исчислении ожидаемых выгод, либо в ставке дисконтирования.

Основным предметом нашего рассмотрения будет некоторый обращающийся на рынке <em>нефинансовый</em><em> материальный</em> актив. Будем считать, что на рынке одновременно обращаются и его аналоги — (реальные или виртуальные) активы, имеющие то же назначение и наиболее эффективно используемые по этому назначению, но, возможно, отличающиеся некоторыми характеристиками. Чтобы не смешивать рассматриваемый актив и его аналоги с другими упоминаемыми в тексте активами, мы будем именовать их Активами. Собственника рассматриваемого Актива будем считать типичным участником рынка и назовем Владельцем. Рынок, на котором обращаются находившиеся ранее в эксплуатации Активы, назовем Рынком.

Изменение состояния и стоимости Активов мы рассматриваем в непрерывном времени. При этом вплоть до разд. 6, мы будем предполагать <em>отсутствие инфляции</em>.

Под (доналоговыми) <em>выгодами</em> от использования Актива мы будем понимать рыночную стоимость производимого им продукта (работ, услуг) за вычетом операционных затрат на его использование. Как и при обычном описании метода дисконтированных денежных потоков (ДДП) в детерминированной ситуации, мы будем предполагать, что для любого периода времени (например, года) после даты оценки известно, какие выгоды принесет Актив в этом периоде, если он будет использоваться по назначению. Под <em>интенсивностью</em> выгод, приносимых Активом в определенный момент времени, мы понимаем выгоды его использования в следующую малую единицу времени.

В процессе работы <em>поддержание</em> состояния активов обеспечивается за счет их технического обслуживания и текущего ремонта. Затраты на такие мероприятия мы включаем в состав операционных затрат.

На практике состояние некоторых активов можно существенно улучшить за счет <em>капитальн</em><em>ого</em> ремонта зданий и оборудования, затрат на коренное улучшение земель и иных <em>улучшающих воздействий</em>. Такие ситуации мы исключаем и считаем, что состояние Активов в процессе эксплуатации <em>не улучшается</em>.

Далее будем считать, что рассматриваемые Активы относятся к одному из трех классов.

Активы <strong>класс</strong><strong>а</strong><strong> 1</strong> имеют конечный срок службы. Жизненный цикл такого Актива начинается с момента его приобретения на (первичном) рынке и ввода в эксплуатацию в <em>новом</em> состоянии. Далее его состояние ухудшается, а интенсивность приносимых им выгод уменьшается. Окончание жизненного цикла завершается <em>утилизацией</em>, при которой Актив демонтируется, т.е. разбирается на отдельные элементы, которые могут применяться для других целей (например, в качестве металлолома или запасных частей для других машин) или захораниваться на спецполигонах. Обычно утилизация актива (или его «продажа в лом» на специальном, достаточно развитом,<em> </em><em>скраповом</em> рынке,) требует небольшого времени, и для наших целей ее можно считать мгновенной. Выгоды от утилизации актива (они, по сути, являются его рыночной стоимостью) именуются <em>утилизационной стоимостью</em> (УС). Отметим, что утилизационная стоимость обычно относительно невелика; будем считать, что у Активов класса 1 она неотрицательная¹.

К <strong>классу 2</strong> отнесем вводимые в эксплуатацию Активы с достаточно большим сроком службы, состояние которых с течением времени ухудшается. В этот класс можно включить, с некоторой долей условности, ювелирные изделия из золота (которые со временем истираются), отдельные месторождения полезных ископаемых, некоторые каменные здания и сооружения². Для упрощения модели мы будем считать, что такие Активы имеют нулевую утилизационную стоимость, а интенсивность приносимых ими выгод со временем снижается, оставаясь положительной. Заметим, что каждый Актив класса 2 можно рассматривать как предел последовательности Активов класса 1, у которых срок службы неограниченно растет.

К <strong>классу 3</strong> отнесем Активы с бесконечным сроком службы, у которых ни состояние, ни интенсивность приносимых выгод со временем не меняются. Таковыми практически можно считать только земельные участки. Их можно рассматривать как предел последовательности Активов класса 2, у которых состояние все меньше зависит от возраста.

Состояние каждого Актива классов 1 или 2 будем характеризовать его <em>возрастом</em>, отсчитываемым от момента ввода в эксплуатацию.

Такое допущение может вызвать возражения. В технической литературе состояние и характеристики машин и оборудования связываются с их наработкой (пробегом). Однако проведенный в (Смоляк, 2022, разд. 12.6) анализ показывает, что рыночные цены машин зависят, в основном, от их возраста, причем дополнительный учет наработки (пробега) почти не снижает наблюдаемого разброса этих цен.

Рыночная стоимость такого Актива в возрасте <em>t</em> обозначим через <em>V</em>(<em>t</em>), а интенсивность приносимых им выгод — <em>B</em>(<em>t</em>). Тогда сумма этих выгод за малый период времени <em>dt</em> составит <em>B</em>(<em>t</em>)<em>dt</em>. В силу принятых ранее допущений функции <em>B</em>(<em>t</em>) и <em>V</em>(<em>t</em>) считаем убывающими. Для Активов класса 3 будут применяться те же обозначения, но без указания возраста.

Выясним, как зависит РС Активов от приносимых ими выгод.

<strong>Активы класса </strong><strong>1</strong><strong>.</strong> Имеют конечный срок службы <em>N</em>, отвечающий их наиболее эффективному использованию. Актив в возрасте <em>N</em> должен выбывать из эксплуатации и утилизироваться, принося выгоды в размере своей утилизационной стоимости <em>U</em>. Поэтому его рыночная и утилизационная стоимости совпадают: <em>V</em>(<em>N</em>) = <em>U</em>.

РС Актива любого возраста можно оценить методом дисконтированного денежного потока (метод ДДП): <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></msup><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mrow><mo>+</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>r</mi><mo>(</mo><mi>N</mi><mo>-</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mi>U</mi><mo>,</mo></math> (1)

где <em>r</em> — ставка дисконтирования, которая в силу (МСО, 2020, МСО 105, п. 50.5b, 50.5c) должна быть безрисковой, доналоговой и номинальной³. Обычно ее принимают на уровне доходности государственных обязательств, которая учитывает инфляцию.

Учтем теперь, что типичный Владелец, намеревающийся использовать Актив до конца срока его службы, будет так выбирать срок службы <em>N</em>, чтобы ему отвечала наибольшая сумма ожидаемых дисконтированных выгод от использования Актива. Задача отыскания оптимального такого срока в данном случае сводится к максимизации правой части (1). Если приравнять нулю ее производную по <em>N</em>, то можно получить необходимое условие оптимальности

<em>B</em>(<em>N</em>)=<em>rU</em>.(2)

<strong>Актив класса 2</strong><strong>.</strong> Его можно рассматривать как предельный случай Активов класса 1 при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>→</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> . Поэтому РС такого Актива возраста <em>t</em> составит

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></msup><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mrow><mo>.</mo></math> (3)

Поскольку <em>B</em>(<em>t</em>) > 0 при любом <em>t</em> использовать такой Актив по назначению в течение неограниченного срока будет эффективно.

Рассмотрим частный случай, когда интенсивность приносимых активом выгод с возрастом экспоненциально убывает, т.е. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></msup></math> . Здесь из формулы (3) вытекает, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>ω</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>ω</mi></mrow></mfenced></math> . Поэтому здесь коэффициент капитализации, т.е. отношение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> , будет постоянным, а стоимость актива с возрастом будет убывать экспоненциально с тем же темпом <span style="font-family:Symbol;"></span>. Аналогичная формула Гордона давно используется оценщиками для капитализации доходов, растущих или убывающих в геометрической прогрессии. Отметим, что в (Лейфер, 2019, разд. 6) даются таблицы значений <span style="font-family:Symbol;"></span> для машин различных видов. Тем самым, допущения о постоянном темпе снижения интенсивности выгод и неограниченном сроке службы рассматриваются как приемлемые для выработки суждения о стоимости машин.

При <span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span>= 0 из полученных формул вытекает известное выражение <em>V</em><em> </em><em>=</em><em> </em><em>B</em>/<em>r</em> для стоимости Активов класса 3.

При практической оценке жизненный цикл актива, начинающийся с даты оценки, делят на два периода — <em>прогнозный</em>, охватывающий время от даты оценки до некоторой <em>терминальной</em> даты, и оставшийся <em>постпрогнозный</em>. Соответственно делится и ожидаемая сумма выгод от использования актива, дисконтированная к дате оценки.

Но ожидаемая сумма выгод, приносимых активом в постпрогнозном периоде, дисконтированная к <em>терминальной дате</em>, согласно методу дисконтированного денежного потока, равна рыночной стоимости актива на терминальную дату (в МСО ее именуют <em>терминальной стоимостью</em> актива). Это позволяет описать метод дисконтированного денежного потока иначе: рыночная стоимость актива равна ожидаемой сумме дисконтированных к <em>дате оценки</em> выгод от наиболее эффективного использования этого актива в прогнозном периоде и его терминальной стоимости.

При этом нередко терминальную стоимость актива часто трактуют и как <em>выгоду от</em><em> его</em><em> продажи по </em><em>рыночной стоимости</em> в конце прогнозного периода. Поэтому на практике рыночная стоимость актива оценивают суммой дисконтированных к дате оценки ожидаемых выгод от его использования в каком-либо прогнозном периоде и выгоды от его (реальной или виртуальной) продажи в конце этого периода.

Казалось бы, такая («практическая») версия метода дисконтированного денежного потока достаточно обоснована и не должна приводить к методическим ошибкам при оценке любых активов. Между тем, для многих нефинансовых активов это не так. Дело в том, что участники рынка, владеющие активами и использующие их по назначению, нередко решают их продать <em>до истечения срока службы</em>. Такие продажи мы называем <em>досрочными</em> (в МСО, 2020 досрочная продажа <em>группы</em> активов именуется <em>упорядоченной ликвидацией</em>, но мы рассматриваем <em>только один</em> Актив, а его ликвидацию понимаем как утилизацию).

Некоторые досрочные продажи бывают <em>вынужденны</em><em>ми</em> (например, продажа активов за долги), однако не случайно на (вторичном) рынке предлагается огромное число подержанных машин разного возраста и земельных участков на условиях стандартной сделки, а их цены используются в качестве базы для оценки рыночной стоимости таких объектов. <em>С</em><em>рок владения</em> досрочно продаваемым активом меньше срока его <em>службы</em>. Не случайно в ряде стран оценщики ориентируются на типичные (средние) сроки владения нефинансовыми активами. Для разных видов активов, разных стран и регионов страны такие сроки различаются. Так, для недвижимого имущества в некоторых странах они составляют обычно 5–15 лет (см., например, краткий обзор в (Сэйс и др., 2009, разд. 7.6.2)).

Таким образом, досрочную продажу активов следует рассматривать как типичное явление, а не как что-то необычное (и, наоборот, нетипичным может оказаться использование актива по назначению в течение всего срока его службы). Заметим, что обычно владелец актива принимает решение о его досрочной продаже на основе анализа рынка, текущего состояния предприятия и его окружения. Поэтому для внешних наблюдателей и оценщиков имущества досрочная продажа актива будет случайным событием. Вероятностный характер досрочных продаж проявляется и в наблюдаемом разбросе сроков владения аналогичными активами.

Чтобы продать актив по определенной цене, владелец должен сначала разместить сообщение (объявление) об этом в каких-то информационных источниках⁴ (ИИ), а когда актив будет продан, — снять его. Длительность соответствующего периода <em>экспозиции</em> может быть разной (от нескольких дней до 10–20 месяцев). Поэтому, чтобы продать актив в точно определенный момент времени (в конце прогнозного периода), необходимо, чтобы решение о продаже актива было принято заранее, пока актив еще используется по назначению. Для этого продавец должен заранее назначить момент окончания прогнозного периода и заблаговременно выставить актив на продажу, чтобы он был продан точно в назначенный момент. Между тем, подобное поведение продавца никак нельзя назвать <em>типичным</em>. И, даже если продавец поступит именно так, нельзя гарантировать, что актив будет продан точно в назначенный момент, поскольку предсказать реакцию покупателей на сообщение о продаже актива невозможно. К тому же, обычно участники рынка не приобретают активов с целью использования их в течение какого-то заранее заданного срока (такое поведение свойственно скорее арендаторам, а не продавцам).

Поэтому считаем, что досрочно продаваемый актив будет продан через некоторое, вообще говоря, <em>случайное</em> время после выставления его на продажу, а не в конце заданного прогнозного периода. При этом дисконтированные к началу экспозиции выгоды от продажи актива оказываются меньше его рыночной стоимости, что в практической версии метода дисконтированного денежного потока не учитывается.

Заметим, что информацию о сроках экспозиции активов участники рынка могут получить, осуществляя мониторинг информационных источников, а также из публикуемых результатов опросов риелторов и дилеров. Сведения о средних сроках экспозиции активов содержатся также в отдельных нормативно-методических документах (например, «ТКП 52.0.03-2020»⁵, (Ковалев, Подколзин, 2014; Лейфер, 2019, разд. 3.2.1)) и постоянно обновляемом обзоре «Исследование рынка недвижимости применительно к анализу ликвидности (сроков экспозиции объектов)»⁶, где приводятся сведения о средних сроках экспозиции объектов недвижимости в России.

Изложенные соображения показывают, что при стоимостной оценке нефинансовых активов необходимо учитывать возможность их досрочной продажи, требующей определенного и, вообще говоря, случайного времени. Соответственно, придется скорректировать и формулы (1)–(3). Этой проблеме, практически не исследованной в оценочной литературе, и посвящена данная статья.

2. Вероятностный характер досрочных продаж

Досрочная продажа актива в определенный момент времени может быть вызвана разными причинами. По нашему мнению, все они связаны с выявленной именно в этот момент (или немного раньше) <em>угрозой</em> возникновения каких-то ситуаций, не позволяющих продолжать использование актива. Действительно, в противном случае владелец смог бы заранее подготовиться и принять меры для защиты актива. Важно, что выявленная угроза имеет локальный характер, т.е. затрагивает только конкретного владельца, но не других типичных владельцев аналогичных активов (в противном случае все они одновременно выставили бы свои активы на продажу). Так, владелец может опасаться разрыва налаженных связей с крупными потребителями продукции, производимой с помощью актива, или поставщиками ресурсов, необходимых для его использования, либо неправомерного постоянного или временного запрета использования актива (или всей своей деятельности) властями.

Итак, внезапное желание владельца продать актив обусловливается выявлением некоторой <em>локальной</em> (относящейся только к активу и его владельцу) угрозы, не устранимой никакими иными мерами, кроме продажи актива. При этом угрожающая ситуация не обязательно должна быть <em>неблагоприятн</em><em>ой</em>. Так, необходимость продать актив может возникнуть при подготовке и реализации программы отчуждения непрофильных активов или при выявлении необходимости внедрять более совершенные технологии, исключающие применение данного актива. Обратим внимание, что в момент принятия решения о досрочной продаже актива никто не мешает владельцу продолжать использовать актив дальше, причем угрожающей ситуации может вообще не наступить. Поэтому досрочная продажа не является <em>вынужденной</em> и совершается на условиях стандартной сделки, т.е. по рыночной стоимости.

Заметим, что в момент, когда владелец покупал Актив, он не мог не предполагать, что может возникнуть какая-то связанная с Активом локальная угроза (при этом он не знал, какой именно будет эта угроза и когда она будет выявлена). Это позволяет считать момент выявления угрозы случайным. Однако, анализируя рынок, поведение его участников и сроки владения аналогичными активами, владелец может оценить, как часто возникают подобные угрозы.

Для описания подобной ситуации примем, что участники Рынка могут оценить и спрогнозировать <em>опасность угроз</em>, связанных с отдельными их активами, т.е. вероятность возникновения угроз в малую единицу времени. Если обозначить ее через <span style="font-family:Symbol;"></span>, то вероятность возникновения угрозы в малом интервале времени <em>dt</em> будет составлять <span style="font-family:Symbol;"></span><em>dt</em>. При этом время использования Актива до момента выявления угрозы (срок владения Активом) будет случайным, имеющим экспоненциальное распределение со средним значением 1/<span style="font-family:Symbol;"></span>.

Выявив угрозу, Владелец Актива принимает решение о его продаже. По существу, он перестает быть владельцем актива (срок владения активом заканчивается), а становится одним из обычных продавцов аналогичных Активов и должен вести себя так же, стремясь продать Актив подороже. Для этого он размещает объявление в каких-то информационных источниках и ожидает подходящего покупателя. Естественно считать, что у Активов имеется определенный круг потенциальных покупателей. Время от времени они анализируют состояние Рынка, знакомятся с размещенными в информационных источниках объявлениями и выбирают подходящее предложение. Причем потенциальный покупатель при очередном просмотре информационных источников может пропустить объявление о продаже именно данного Актива. Очевидно, такой процесс имеет вероятностный характер, так что и сроки экспозиции Активов окажутся случайными. Это заставляет усомниться в неявно принимаемом в МСО (и в российских стандартах оценки) допущении, что для каждого вида активов существует некоторый «нормальный», или «типичный», срок, в течение которого каждый актив этого вида <em>обязательно</em> будет продан по рыночной стоимости.

Предлагаемая модель процесса досрочной продажи основана на допущениях, сходных с принятыми в (Смоляк, 2022).

<ol> <li>Данный Актив является массовым товаром, т.е. на рынке представлено достаточное число его копий, т.е. других Активов с теми же характеристиками. В частности, копиями Актива класса 1 или 2 будут аналогичные Активы <em>того же возраста</em>, а копиями Актива класса 3 — идентичные Активы. Все копии Актива имеют одну и ту же РС <em>V</em> и одну и ту же утилизационную стоимость <em>U</em>, по которой они могут быть проданы практически мгновенно.</li> <li>Актив и его копии пользуются спросом. Это значит, что для любой предлагаемой их цены <em>x</em><em> </em>> <em>U</em> имеется определенное число <em>D</em>(<em>x</em>) потенциальных типичных покупателей Актива.</li> <li>Спрос на Актив и его копии зависит от предлагаемой цены <em>x</em>, точнее — от превышения этой цены над утилизационной стоимостью. Принимается, что такая зависимость является степенной функцией, поэтому для Активов класса 1 она имеет вид <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi></mrow></msup></math> , где <em>D</em>₀(<em>t</em>) — спрос на продаваемые по рыночной стоимости Активы возраста <em>t</em>;  — коэффициент, отражающий эластичность спроса. Мы считаем, что  > 1 (спрос эластичен по цене).</li> <li>За малую единицу времени каждый заинтересованный потенциальный типичный покупатель просматривает содержание информационных источников с вероятностью ₁, а, просмотрев информационные источники с вероятностью ₂, ознакомится с офертой о продаже Актива, и с вероятностью ₃ примет решение о его покупке⁷. Принимается, что сделка «купли-продажи Актива на месте» совершается в тот же момент времени. Это подразумевает, что Актив выведен из эксплуатации, полностью подготовлен к немедленной продаже, а время на коммуникацию сторон сделки и на оформление сделки не учитывается. Такое допущение, с одной стороны, позволяет отождествлять сроки продажи и экспозиции Актива, а с другой — предполагает, что в процессе экспозиции Актив не используется по назначению и (для машин и оборудования) подготовлен к перемещению на новое место. Тогда <em>интенсивность п</em><em>родаж</em>, т.е. вероятность продажи Актива возраста <em>t</em> по цене <em>x</em> за малую единицу времени, составит </li></ol>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>α</mi></mrow></msup><mo>,</mo></math> (4)

где <span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>t</em>) = <em>D</em>₀(<em>t</em>)<span style="font-family:Symbol;"></span>₁<span style="font-family:Symbol;"></span>₂<span style="font-family:Symbol;"></span>₃ — интенсивность продаж Актива возраста <em>t</em> по рыночной стоимости.

Для Активов класса 2 и 3 в формуле (4) достаточно положить <em>U</em><em> </em>= 0, а для Активов класса 3 — опустить указание возраста.

Далее мы будем искать оптимальную политику досрочной продажи Актива каждого класса и отвечающую ей интенсивность продаж.

<strong>Активы класса 1</strong>. Рассмотрим на дату оценки Актив возраста <em>t</em><em><em>U</em> (по УС <em>U</em> Актив можно продать мгновенно). Интенсивность продаж этого Актива <span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>x</em>, <em>t</em>), определяемая формулой (4), и зависит от его рыночной стоимости <em>V</em>(<em>t</em>). Обозначим через <em>Z</em>(<em>x</em>, <em>t</em>) ожидаемые дисконтированные к дате оценки выгоды от продажи этого Актива по цене <em>x</em> при условии, что он еще не продан на дату оценки. Аналогичные выгоды, возникающие при продаже по <em>оптимальной</em> цене, обозначим через <em>Z</em>(<em>t</em>). Очевидно, что чем старше Актив, тем меньшие выгоды можно получить от его продажи, так что функция <em>Z</em>(<em>t</em>) убывающая и <em>Z</em><em>′</em>(<em>t</em>) < 0.

В малом периоде времени <em>dt</em> после даты оценки возможны две ситуации.

<ol> <li>С вероятностью (<em>x</em><em>,</em><em> </em><em>t</em>)<em>dt</em> Актив будет продан, а Владелец получит выгоду <em>x</em>.</li> <li>С дополнительной вероятностью Актив не будет продан, и в конце периода будет иметь возраст <em>t</em><em> </em>+ <em>dt</em>. Если далее Актив будет продаваться по <em>оптимальной</em> цене, то (при отсутствии инфляции) ожидаемые дисконтированные <em>к концу периода</em> выгоды от последующей продажи Актива составят <em>Z</em>(<em>t</em><em> </em>+ <em>dt</em>).</li></ol>

Учитывая вероятности обеих ситуаций, ожидаемые дисконтированные к дате оценки выгоды от продажи Актива по цене <em>x</em> и ее последующего оптимального изменения определятся формулой:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>r</mi><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>,</mo></math> (5)

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>Z</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>r</mi><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>

Конечно, типичный Владелец, ведущий себя расчетливо, назначит такую цену <em>x</em>, которой отвечали бы наибольшие ожидаемые выгоды <em>Z</em>(<em>x</em>, <em>t</em>). Но эти выгоды, соответствующие оптимальной цене, мы обозначили через <em>Z</em>(<em>t</em>). Отсюда следует, что при оптимальном <em>x</em> достигается наибольшее значение функции <em>f</em>(<em>x</em>, <em>t</em>) и выполняется равенство <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>.</mo></math> А это возможно только если наибольшее значение <em>f</em>(<em>x</em>,<em> </em><em>t</em>) равно нулю.

Поэтому оптимальное значение <em>x</em> должно превышать <em>Z</em>(<em>t</em>), иначе значение <em>f</em>(<em>x</em>, <em>t</em>) было бы отрицательным. Но в области <em>x</em><em> </em>> <em>Z</em>(<em>t</em>) функция <em>f</em>(<em>x</em>, <em>t</em>) строго выпукла вверх. Следовательно, существует единственная точка, где она достигает максимума, а ее производная обращается в нуль. Поэтому при оптимальном <em>x</em> функция <em>f</em>(<em>x</em>,<em> </em><em>t</em>) и ее производная по <em>x</em> должны обращаться в нуль, что приводит к равенствам:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>Z</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>r</mi><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> (6)

Такую оптимальную цену <em>x</em> выберет <em>любой</em> типичный владелец Актива возраста <em>t</em>, если решит выставить его на продажу досрочно. Это значит, что цена любого Актива возраста <em>t</em>, проданного на дату оценки в стандартной сделке, будет равна <em>x</em>. Но тогда, по определению рыночной стоимости, эта цена <em>x</em> будет совпадать с рыночной стоимостью Актива: <em>x</em><em> </em>= <em>V</em>(<em>t</em>). Поэтому наиболее эффективным для Владельца вариантом досрочной продажи Актива будет продажа по рыночной стоимости. Для этого, в частности, ему придется время от времени корректировать цену предложения Актива (поскольку на протяжении срока экспозиции возраст Актива меняется).

Подставив в (6) <em>x</em><em> </em>= <em>V</em>(<em>t</em>) и вытекающие из (4) равенства <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mrow><mrow><mi>α</mi><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow><mo>/</mo><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfenced></mrow></mrow></math> , получим уравнения для <em>Z</em>(<em>t</em>) и <span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>t</em>):

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>Z</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>r</mi><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>α</mi><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>

Отсюда найдем:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>U</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>α</mi><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo><mi>r</mi><mo>.</mo></math> (7)

Из формул (7) вытекают два важных следствия:

ожидаемые дисконтированные выгоды от продажи Актива <em>Z</em>(<em>t</em>) являются взвешенным средним его утилизационной и рыночной стоимости, так что досрочная продажа Актива возраста <em>t</em><em> </em><em>

Для Актива класса 2 соответствующие формулы получаются из (7), если подставить туда <em>U</em><em> </em>= 0.

Для Актива класса 3 формулы (7) упрощаются. Здесь ни РС Актива <em>V</em>, ни выгоды <em>Z</em> от его досрочной продажи, ни интенсивность его продаж <span style="font-family:Symbol;"></span> от возраста не зависят, так что

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Z</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>V</mi><mo>/</mo><mi>α</mi><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>μ</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></math> (8)

Как видим, ожидаемые выгоды от досрочной продажи Актива составляют лишь долю <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>α</mi></math> его рыночной стоимости. Таким образом, чем выше эластичность спроса от цены актива, тем большие ожидаемые выгоды от его досрочной продажи можно получить, хотя они никогда не превысят рыночной стоимости актива.

3. Модель оценки рыночной стоимости Активов

Оценим теперь рыночную стоимость Активов, учитывая вероятностный характер их досрочной продажи.

<strong>Актив</strong><strong>ы</strong> <strong>класса 1</strong>. Рассмотрим Актив, имеющий возраст <em>t</em><em> </em>

<ol> <li>За период <em>dt</em> с вероятностью (1 – <em>dt</em>) угроз не будет выявлено. Тогда Актив принесет выгоды в сумме <em>B</em>(<em>t</em>)<em>dt</em>, а к концу периода будет иметь возраст (<em>t</em><em> </em>+ <em>dt</em>). Поскольку инфляция отсутствует, то в конце периода его рыночная стоимость будет такой же, как у Актива в возрасте (<em>t</em><em> </em>+ <em>dt</em>) на дату оценки, т.е. <em>V</em>(<em>t</em><em> </em>+ <em>dt</em>). Такой же будет и сумма дисконтированных к концу периода выгод от последующего использования Актива.</li> <li>В периоде <em>dt</em> с вероятностью <em>dt</em> будет выявлена некоторая угроза. Как показано в разд. 2, здесь выгоднее выставить Актив на продажу, а не утилизировать. При этом ожидаемая сумма дисконтированных к дате оценки выгод от продажи Актива <em>Z</em>(<em>t</em>) определится формулой (7).</li></ol>

Рыночная стоимость Актива на дату оценки <em>V</em>(<em>t</em>) найдем методом дисконтированных денежных потоков, учитывая вероятности обеих ситуаций и соответствующие суммы ожидаемых дисконтированных выгод:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>λ</mi><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>r</mi><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>d</mi><mi>t</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo></math> (9)

Если заменить здесь <em>V</em>(<em>t</em><em> </em>+ <em>dt</em>) на <em>V</em>(<em>t</em>) + <em>V</em>′(<em>t</em>)<em>dt</em>, то с точностью до малых более высокого порядка это равенство можно записать в виде

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>λ</mi></mrow></mfenced><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>Z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>.</mo></math>

Отсюда и из (7) вытекает уравнение для <em>V</em>(<em>t</em>):

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>λ</mi><mo>/</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>U</mi><mo>/</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>N</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>U</mi><mo>.</mo></math> (10)

Решением этого уравнения будет

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>U</mi><mo>/</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>λ</mi><mo>/</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mrow><mo>+</mo><mi>U</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>λ</mi><mo>/</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>(</mo><mi>N</mi><mo>-</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>.</mo></math> (11)

Оптимальный срок службы (<em>N</em>) здесь, как и в разд. 2, должен обеспечивать максимальную стоимость Активов. Приравнивая производную правой части полученного равенства по <em>N</em> к нулю, получим условие оптимальности (2), т.е. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>N</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>U</mi></math> . Таким образом, возможность досрочных продаж не изменяет оптимального срока службы Актива.

Заметим, что полученная формула дает, казалось бы, известный результат: рыночная стоимость Актива равна сумме дисконтированных к дате оценки ожидаемых выгод от его использования по назначению за срок службы, включая ожидаемые выгоды от утилизации как при выявлении некоторой угрозы, так и в конце срока службы. Здесь дисконтирование производится по ставке <em>r</em><em> </em>+ <span style="font-family:Symbol;"></span>/<span style="font-family:Symbol;"></span>, учитывающей риск угроз, но с понижающим коэффициентом. Это объясняется тем, что реальные потери Владельца связаны не только с выявлением угрозы, но и с длительностью периода экспозиции. А эта длительность с увеличением эластичности <span style="font-family:Symbol;"></span> сокращается, так что при больших <span style="font-family:Symbol;"></span> потери становятся незначительными.

<strong>Актив</strong><strong>ы</strong> <strong>класса 2</strong><strong>.</strong> РС можно оценить по той же формуле при <em>U</em><em> </em>= 0, <em>N</em><em> </em>= ∞.

<strong>Активы</strong> <strong>класса 3.</strong> Если к тому же принять интенсивность выгод постоянной, мы получим оценку РС: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>B</mi><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mi>α</mi></mrow></mrow></mrow></mfenced></math> . Тем самым рыночная стоимость Актива этого класса можно оценить, капитализируя выгоды его использования. Ставка капитализации при этом равна сумме безрисковой ставки и премии за риск угрозы, зависящей не только от опасности угроз, но и от эластичности спроса от цены Активов. Тем самым учет влияния угроз приводит к снижению РС Актива в (1 + <span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span><em>r</em><span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span><em> </em>раз. Например, при <em>r</em> = 0,1, <span style="font-family:Symbol;"></span> = 10, <span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span>= 0,2 (средний срок владения Активом — 5 лет) рыночная стоимость Актива снижается на 20%.

4. Средний срок экспозиции АКТИВОВ

До сих пор значение параметра (эластичности спроса) <span style="font-family:Symbol;"></span> предполагалось известным, хотя напрямую оценить его по рыночным данным затруднительно. Оказывается, что это можно сделать, используя сведения о средних сроках экспозиции активов. Для объектов недвижимости такие сведения имеются, например, в «Исследование рынка недвижимости …», а для машин и оборудования — в (Ковалев, Подколзин, 2014; Лейфер, 2019).

Определить средний срок экспозиции Активов (<em>S</em>) в нашей модели можно используя полученные выше результаты.

<strong>Средний срок экспозиции </strong><strong>Активов класса </strong><strong>3</strong><strong>.</strong> В процессе экспозиции состояние не меняется, остается неизменной и интенсивность продаж по рыночной стоимости <span style="font-family:Symbol;"></span>. Поэтому, если Актив все время будет предлагаться по этой стоимости, срок его продажи будет случайным, имеющим экспоненциальное распределение⁸ с параметром <span style="font-family:Symbol;"></span> и средним значением 1/<span style="font-family:Symbol;"></span>. Но <span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span>= <em>r</em>(<span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span>– 1) в силу (8), поэтому

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>S</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>μ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>.</mo></math> (12)

При известном <em>S</em> эта формула позволяет оценить параметр (эластичность спроса) <span style="font-family:Symbol;"></span>: <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>r</mi><mi>S</mi></math> .

Например, по данным «Исследование рынка недвижимости …» средний срок экспозиции земельных участков сельскохозяйственного назначения составляет от 10 до 14 месяцев (0,8–1,2 года). При <em>r</em><em> </em>= 0,1 этому отвечают значения <span style="font-family:Symbol;"></span> от 13,5 до 9,5.

<strong>Средний срок экспозиции </strong><strong>Активов класса 1</strong><strong>.</strong> Пусть средний срок экспозиции для Актива возраста <em>t</em> равен <em>S</em>(<em>t</em>). Если на дату оценки выставить такой Актив на продажу по РС <em>V</em>(<em>t</em>), то в малом периоде времени <em>dt</em> возможны две ситуации:

актив продадут с вероятностью <span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>t</em>)<em>dt</em>. Тогда срок его экспозиции будет практически нулевым; актив не продадут, и в конце периода его возраст составит (<em>t</em><em> </em>+ <em>dt</em>). Но тогда его продадут в среднем через время <em>S</em>(<em>t</em><em> </em>+ <em>dt</em>) после этого момента, т.е. через время <em>S</em>(<em>t</em><em> </em>+ <em>dt</em>) + <em>dt</em> после даты оценки.

Это позволяет рассчитать среднее время продажи Актива:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>×</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>t</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math>

Отсюда вытекает, что функция <em>S</em>(<em>t</em>) является решением уравнения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></math> с краевым условием <em>S</em>(<em>N</em>) = 0 и, следовательно,

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></munderover><mrow><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>y</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow></mrow></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mrow><mo>.</mo></math> (13)

При этом функция <span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>t</em>) вычисляется с помощью формул (7) и (12):

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>r</mi><mi>U</mi></mrow><mrow><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>U</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo></math> (14)

В частном случае, когда функция <span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>t</em>) является обратной к линейной функции, т.е. <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>A</mi><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>N</mi><mo>-</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> , интегралы в (13) вычисляются и оказывается, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>N</mi><mo>-</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>A</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> . Это, во-первых, дает представление о том, как ведет себя функция <em>S</em>(<em>t</em>) в общем случае, а во-вторых, оказывается полезным при вычислении соответствующих интегралов численными методами.

Поскольку <span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>t</em>)∞ при <em>t</em><em>N</em>, то численное решение системы (11), (13) и (14) представляло некоторые трудности. Мы вычисляли значения функций <em>V</em>(<em>t</em>), <span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>t</em>) и <em>S</em>(<em>t</em>) в равноотстоящих точках <em>t</em>_<em>i</em>_{<em> </em>}= <em>i</em><em>N</em>/<em>M</em> (<em>i</em><em> </em>= 0, … , <em>M</em>). Значения <em>V</em>(<em>t</em>_<em>i</em>) находились по формуле (11) с помощью известных методов численного интегрирования, <span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>t</em>_<em>i</em>) рассчитывались по формуле (14), а значения <em>S</em>(<em>t</em>_<em>i</em>) — по рекуррентной формуле

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>y</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></munderover><mrow><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>y</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow></mrow></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mrow><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>

При этом на отрезке [<em>t</em>_<em>i</em>,<em> </em><em>t</em>_<em>i</em>_<em>+</em>₁] функция 1/<span style="font-family:Symbol;"></span>(<em>t</em>) заменялась линейной функцией

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>t</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math> ,

после чего все входящие в рекуррентную формулу интегралы выражались в элементарных функциях.

<strong>Средний срок экспозиции </strong><strong>Активов</strong> <strong>класса 2</strong><strong>.</strong> Формулы для него получаются из (11), (13) и (14) при <em>U</em><em> </em>= 0, <em>N</em><em> </em>= ∞. В частности, если <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></msup></math> , то из (11) вытекает, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mo>/</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>ω</mi><mo>+</mo><mi>λ</mi><mo>/</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> . При этом ни интенсивность покупок, ни средний срок продажи от возраста Актива и опасности угроз не зависят:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>ω</mi></mrow></mfenced><mo>;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>μ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>ω</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>.</mo></math>

Легко убедиться, что при <span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span>= 0 отсюда вытекает формула (12) для <strong>среднего срока экспозиции </strong><strong>Активов</strong> <strong>класса 3</strong>.

Ряд существенных факторов в построенной модели не был учтен. В следующих разделах мы постараемся исправить этот недостаток.

5. Учет рисков

В отличие от рассмотренных выше локальных угроз, которые можно заблаговременно выявлять, использование Актива может быть сопряжено с непредсказуемыми рисками его утраты (далее — Катастрофа), например, авариями на производстве, приводящими к разрушению Актива, стихийными бедствиями, банкротством Владельца, существенными изменениями обязательных технических норм. Важно, что с подобными рисками сопряжено использование не только рассматриваемого Актива, но и всех его аналогов. Поэтому участники Рынка, анализируя происходящие и происходившие на Рынке события, могут оценить опасность таких рисков, а типичные участники, «действуя в соответствии с реалиями и ожиданиями рынка» (МСО 2020, МСО 104, п. 30.2d), должны ее оценивать и учитывать.

Будем считать, что в результате Катастрофы Актив приносит Владельцу нулевые выгоды. Пусть <span style="font-family:Symbol;"></span> — опасность Катастроф, так что ее вероятность за малое время <em>dt</em> будет равна <span style="font-family:Symbol;"></span><em>dt</em>. Повторим теперь рассуждения, приведенные в начале разд. 3, дополнив их учетом возможности Катастроф. В результате мы получим то же уравнение (9), в котором ставка дисконтирования <em>r</em> увеличится на премию за риск <span style="font-family:Symbol;"></span>. Такую же корректировку придется ввести и в формулу (14), что повлияет на динамику среднего срока продажи <em>S</em>(<em>t</em>).

6. Учет инфляции

Начнем с того, что в условиях инфляции Владельцу, выставившему Актив на продажу, необходимо будет с течением времени изменять предлагаемую цену (к примеру, в 1923 г. темпы инфляции в Германии были настолько высокими, что стоимость обеда в ресторане существенно менялась за то время, пока клиент сидел за столиком). Однако для этого надо знать, как со временем будет меняться рыночная стоимость этого Актива. Она зависит от динамики приносимых им выгод, а эти выгоды, в свою очередь, — от динамики цен на производимый Активом продукт (работу, услугу) и на потребляемые при этом ресурсы. Поэтому, строго говоря, учесть предстоящие изменения цен различных товаров, работ и услуг при оценке конкретного Актива практически невозможно. Обычно в подобных расчетах для этой цели делаются различные упрощающие допущения, и хотелось бы, чтобы такие допущения были достаточно реалистичными.

В практике оценки машин, оборудования и зданий изменения цен на <em>новые</em> активы обычно не вызывают трудностей. Так, влияние инфляции на сметную стоимость зданий и сооружений учитывается с помощью индексов, которые регулярно рассчитываются и публикуются. Анализ первичного рынка позволяет установить и динамику цен на новые машины той или иной марки (модели, модификации). Все это позволяет рассчитать фактические темпы роста рыночных стоимостей новых активов в ретроспективном (отчетном) периоде и дать их прогноз на ближайшую перспективу, в том числе — на дату оценки. Однако узнать рост цен на <em>подержанные</em> активы невозможно (поскольку каждый из них подержан по-своему), и оценщики принимают темпы роста рыночной стоимости на вторичном рынке машин теми же, что и на первичном. Примерно такая же ситуация имеет место для зданий и сооружений.

Инфляция такого типа в (Смоляк, 2016) была названа <em>групповой</em>. Важно, что в условиях групповой инфляции отношение рыночных стоимостей актива и его нового аналога (коэффициент или процент годности, Percent Good Factor) зависит только от технического состояния объекта, но не от той даты, на которую он оценивается. На этом основании рыночную стоимость подержанного актива оценщики часто находят, применяя к РС нового аналога процент (или дополняющий его до 100% процент обесценения/износа), рассчитываемый по данным вторичного рынка за более ранний период.

Изложенные соображения позволяют принять допущение, что на Рынке Активов имеет место групповая инфляция и оценщику известен ее темп <em>i</em> (темп роста рыночной стоимости новых Активов) на небольшой период, начинающийся с даты оценки. В таком случае, если Актив в некотором возрасте <em>t</em> на дату оценки имеет рыночную стоимость <em>V</em>(<em>t</em>), то при групповой инфляции через время <em>s</em> (другой) Актив того же возраста будет иметь такую стоимость в e^<em>is</em> раз большую, т.е. e^<em>is</em><em>V</em>(<em>t</em>).

Если теперь повторить вывод основных формул в разд. 2–3, учитывая групповую инфляцию, мы увидим, что в них доналоговая безрисковая <em>номинальная</em> ставка дисконтирования <em>r</em> заменится на (<em>r</em><em> – </em><em>i</em>). Такая (скорректированная с учетом групповой инфляции) ставка по экономическому содержанию близка к аналогичной <em>реальной</em> ставке. Различие возникает только в том, что при расчете реальной ставки номинальная уменьшается на средний темп роста цен в стране, а не на темп роста цен на конкретные Активы. Таким образом, мы получаем, что построенная модель останется справедливой в условиях групповой инфляции, если во всех полученных выше формулах заменить ставку дисконтирования <em>r</em> на (<em>r</em><em> – </em><em>i</em>).

<strong>Пример</strong><strong> 1</strong><strong>.</strong> В этом примере за единицу времени принят 1 год, а единица стоимости выбрана так, чтобы интенсивность выгод от использования нового Актива по назначению составляла единицу. Безрисковая доналоговая номинальная ставка дисконтирования, уменьшенная на темп групповой инфляции, принята на уровне <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>–</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn></math> , средний срок владения Активом — пять лет (что отвечает опасности угроз <span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span>= 0,2), утилизационная стоимость Актива <em>U</em><em> </em>= 0,28. Считаем, что с возрастом интенсивность выгод от использования Актива уменьшается линейно со скоростью <em>w</em><em> </em>= 0,8, так что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>B</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>–</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>w</mi><mi>t</mi><mo>.</mo></math> Заметим, что подобные характеристики имеют, например, строительные машины или промышленное оборудование.

Оптимальный срок службы Актива определится из условия (2), которое в данном случае имеет вид <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>w</mi><mi>N</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>U</mi></math> , поэтому <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>–</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi><mi>U</mi><mo>)</mo><mo>/</mo><mi>w</mi><mo>=</mo><mn>12,15</mn><mo>.</mo></math>

Полученные численными методами графики функций <em>V</em>(<em>t</em>) и <em>S</em>(<em>t</em>) при разных значениях <span style="font-family:Symbol;"></span> представлены на рис. 1–2. С ростом <span style="font-family:Symbol;"></span> рыночная стоимость Актива незначительно растет, а средний срок продажи быстро снижается. Можно показать, что изменение опасности угроз <span style="font-family:Symbol;"></span> в разумных пределах на средний срок продажи не влияет, хотя стоимость Актива с ростом <span style="font-family:Symbol;"></span> немного уменьшается.

Результаты расчетов позволяют оценивать параметр <span style="font-family:Symbol;"></span> по данным о среднем сроке экспозиции (продажи) не слишком старых по возрасту Активов. Так, средним срокам экспозиции 3, 5, 9 и 12 месяцев отвечают значения <span style="font-family:Symbol;"></span>, примерно равные 13, 11, 6 и 5.

<strong>Рис. 1.</strong> Зависимости стоимости Актива от возраста при разных <span style="font-family:Symbol;"></span>

<strong>Рис. 2.</strong> Зависимости среднего срока досрочной продажи Актива (в годах) от возраста при разных <span style="font-family:Symbol;"></span>

Средний срок продажи Актива существенно зависит от его возраста: недавно выпущенные машины продаются (на вторичном рынке) сравнительно долго, тогда как машины, почти исчерпавшие свой ресурс, быстро продаются на запчасти по цене, близкой к утилизационной стоимости. В (Ковалев, Подколзин, 2014; Лейфер, 2019) это обстоятельство не учитывается, поэтому приводимые там данные относятся, строго говоря, к машинам и оборудованию некоторого среднего возраста.

<strong>Пример 2</strong><strong>.</strong> Как и в примере 1, будем выяснять, как зависят от возраста Актива его рыночная стоимость и средний срок его досрочной продажи. Однако здесь Активом будет здание или сооружение, которое можно сдавать в аренду. Утилизационную стоимость Актива мы считаем нулевой, а срок его службы <em>N</em><em> </em>= 60 лет. Известный немецкий оценщик Мартин Тиманн в статье (Tiemann, 1970) предложил оригинальную модель для оценки стоимости зданий. Он установил, что доходы от такого актива по мере его старения снижаются к концу срока службы до нуля и размер снижения пропорционален квадрату возраста. Основанная на этом методика оценки зданий применялась на практике, а ее описание излагалось в ряде методических материалов, например в огромном (свыше 3 тыс. страниц) справочнике (Kleiber et al., 2007). В данном примере мы используем модель Тиманна (Tiemann, 1970) и принимаем зависимость интенсивности приносимых Активом выгод от возраста в виде <em>B</em>(<em>t</em>) = 1 – (<em>t</em>/<em>N</em>)².

Зависимости рыночной стоимости Актива и среднего срока продажи (в годах) для <span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span>= 0,2 и различных значений <span style="font-family:Symbol;"></span> приводятся на рис. 34.

<strong>Рис. 3.</strong> Зависимости стоимости Актива от возраста при разных <span style="font-family:Symbol;"></span>

<strong>Рис. 4.</strong> Зависимости среднего срока досрочной продажи Актива (в годах) от возраста при разных <span style="font-family:Symbol;"></span>

Здесь для не слишком старых по возрасту Активов средние сроки продажи слабо зависят от возраста. Это позволяет оценить значения <span style="font-family:Symbol;"></span> по имеющимся данным о средних сроках экспозиции объектов недвижимости. Например по данным «Исследование рынка недвижимости …» такие сроки для торговых центров в промышленных зонах и на окраинах крупных городов России составляют от 9 до 15 месяцев (0,75–1,25 года). Этому отвечают значения <span style="font-family:Symbol;"></span> от 13,5 до 8,5.

Как и в примере 1, усиление опасности угроз (<span style="font-family:Symbol;"></span>) почти не влияет на средние сроки продаж, но ведет к уменьшению рыночной стоимости Активов. Так, что при отсутствии угроз (т.е. при <span style="font-family:Symbol;"></span><span style="font-family:Symbol;"></span>= 0) рыночная стоимость нового Актива была бы на 10–20% выше, чем показано на рис. 3.

7. Выводы

Согласно стандартам оценки, рыночная стоимость актива должна определяться как его цена в сделке между типичными независимыми участниками рынка. Анализ рынка показывает, что типичные владельцы нефинансовых активов обычно продают их до окончания срока службы, так что средние сроки владения активами оказываются существенно меньше средних сроков их службы. Подобные — досрочные — продажи обычно обусловлены выявлением (реальных или предполагаемых) угроз локального характера, т.е. относящихся только к конкретному активу и его владельцу. При выявлении такой угрозы актив выставляется на продажу, но продается не сразу. Между тем, оценка актива методом дисконтированных денежных потоков обычно подразумевает его мгновенную (реальную или виртуальную) продажу в определенный момент времени, например в конце прогнозного периода.

Существенно, что процессы выявления локальных угроз и экспозиции выставленного на продажу актива имеют вероятностный характер, что необходимо учитывать при оценке рыночной стоимости активов. Для решения этой задачи предложена новая модель, позволяющая учесть и влияние инфляции, и рисков утраты актива.

Выясняется, что при любой назначенной за актив цене, превышающей его утилизационную стоимость, продать его в течение любого заранее назначенного срока можно только с определенной вероятностью, а средние сроки продажи активов (кроме земельных участков) по рыночной стоимости зависят от их возраста. Мы показываем, что на среднее время продажи актива существенно влияет эластичность спроса на активы от цены, а рыночная стоимость не слишком старых по возрасту активов заметно снижается с усилением опасности угроз и немного растет при увеличении эластичности спроса на активы от цены.

В статье рассмотрена только ситуация, когда при использовании актива по назначению зависимость приносимых им выгод от возраста детерминированная. Учет влияния досрочных продаж на стоимость актива в условиях вероятностного характера процесса его использования требует дополнительных исследований.