On simplification of the transport problem solution with ecological criterion

Assaul, V.; Pogodin, I.

doi:10.31857/S042473880025864-9

1

Введение

2

В отличие от классической транспортной задачи (ТЗ) с экологическим критерием, или задача с фиксированными доплатами (Ассаул, Погодин, 2019, 2022; Balinski, 1961; Бирман, 1968; Корбут, Финкельштейн, 1969; Поляк, 1966; Седова, Лебедев, 1999, 2001; Сигал, Иванова, 2007; Фролькис, 2002; Хоанг, 1964), предусматривает дополнительные платежи

d_{i, j}

(штрафы), которые не зависят от объемов перевозок

х_{i, j}

и назначаются только за использование конкретных перевозок от поставщика i потребителю j, где 1≤i≤n, 1≤j≤m, n и m — число поставщиков и заказчиков соответственно. Эти задачи актуальны как для теории оптимизации, так и для оптимального планирования.

В отличие от классической транспортной задачи (ТЗ) с экологическим критерием, или задача с фиксированными доплатами (Ассаул, Погодин, 2019, 2022; Balinski, 1961; Бирман, 1968; Корбут, Финкельштейн, 1969; Поляк, 1966; Седова, Лебедев, 1999, 2001; Сигал, Иванова, 2007; Фролькис, 2002; Хоанг, 1964), предусматривает дополнительные платежи 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 (штрафы), которые не зависят от объемов перевозок 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 и назначаются только за использование конкретных перевозок от поставщика i потребителю j, где 1≤i≤n, 1≤j≤m, n и m — число поставщиков и заказчиков соответственно. Эти задачи актуальны как для теории оптимизации, так и для оптимального планирования.

3

Поскольку решение ТЗ с экологическим критерием порождает много проблем и точный путь их преодоления в общем случае до сих пор неизвестен, то высок интерес к исследованию исключения влияния штрафной компоненты

d_{i, j}

при выборе оптимального плана полной задачи с заданными штрафами.

4

Очевидно, что средние (по ансамблю перевозок) значения как тарифов

c_{i, j}

, так и штрафов

d_{i, j}

должны влиять только на подсчитываемые в конце решения экономические показатели суммарных затрат при выбранных оптимальных планах ТЗ. Выбор планов задачи связан с переменными по ансамблю частями тарифов

(c_{i, j} - p r i c e s)

и штрафов

(d_{i, j} - p e n a l t y),

которые будем характеризовать, например, их средними квадратичными отклонениями (СКО), точнее, соотношениями между ними (

σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e}

). В частности, можно надеяться, что эти соотношения позволят выделить ситуации, в которых удается элементарными способами строить оптимальные планы ТЗ без учета штрафов

d_{i, j}

.

Очевидно, что средние (по ансамблю перевозок) значения как тарифов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, так и штрафов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 должны влиять только на подсчитываемые в конце решения экономические показатели суммарных затрат при выбранных оптимальных планах ТЗ. Выбор планов задачи связан с переменными по ансамблю частями тарифов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi><mi>s</mi></mrow></mfenced></math>
 и штрафов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>
 которые будем характеризовать, например, их средними квадратичными отклонениями (СКО), точнее, соотношениями между ними (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub></math>
). В частности, можно надеяться, что эти соотношения позволят выделить ситуации, в которых удается элементарными способами строить оптимальные планы ТЗ без учета штрафов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
.

Очевидно, что средние (по ансамблю перевозок) значения как тарифов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> , так и штрафов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> должны влиять только на подсчитываемые в конце решения экономические показатели суммарных затрат при выбранных оптимальных планах ТЗ. Выбор планов задачи связан с переменными по ансамблю частями тарифов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> и штрафов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> которые будем характеризовать, например, их средними квадратичными отклонениями (СКО), точнее, соотношениями между ними ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub></math> ). В частности, можно надеяться, что эти соотношения позволят выделить ситуации, в которых удается элементарными способами строить оптимальные планы ТЗ без учета штрафов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> .

5

Методы исследования и расчета

6

Очевидно, что очень малые штрафы в ТЗ с экологическим критерием не могут изменить оптимального плана задачи, найденного без учета штрафов. Поэтому рассмотрим, какие предельные средние характеристики системы штрафов могли бы нарушить это утверждение. Иными словами, попытаемся найти количественную меру допустимой малости штрафов на уровне выбора оптимального плана задачи, а для этого отыщем ситуации, когда добавление штрафов не изменяет оптимального плана ТЗ, найденного без штрафов.

7

На практике возможны ситуации, когда при постоянных штрафах все же требуется изменить оптимальный план ТЗ без штрафов. Так бывает, если ТЗ имеет вырожденные (использующие меньше, чем (n + m – 1) ячеек) неоптимальные планы, увеличивающие суммарные затраты меньше чем на величину постоянных штрафов, умноженных на число ячеек с нулевыми перевозками в вырожденном плане. Вырожденные планы могут появиться, например, при наличии групп партнеров, в которых суммарная мощность нескольких поставщиков равна суммарной емкости нескольких заказчиков. Выявив такие группы партнеров, общий вырожденный план ТЗ можно найти как суперпозицию планов сокращенных ТЗ для групп партнеров и ТЗ без выделенных групп.

8

Приведем несколько примеров, характеризуемых СКО-тарифов

(c_{i, j}) σ_{p r i c e}

и СКО-штрафов

(d_{i, j}) σ_{p e n a l t y}

, когда для тарифов, умножавшихся на различные масштабирующие коэффициенты μ= 0,8; 1,6 (табл. 1, левая часть), указывались штрафы

d_{i, j}

(табл. 1, правая часть), для которых подбирались такие наименьшие значения

λ_{к р}

масштабирующих коэффициентов λ, при которых уже требовалось переходить к новому оптимальному плану для решения полной ТЗ (с учетом штрафов), отличному от имевшегося плана {

х_{i, j}

}. Введение в линейных выражениях для штрафов малого (изначально α=0) параметра α для обнаружения неединственных оптимальных планов объясняется позже.

Приведем несколько примеров, характеризуемых СКО-тарифов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 и СКО-штрафов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub></math>
, когда для тарифов, умножавшихся на различные масштабирующие коэффициенты μ= 0,8; 1,6 (табл. 1, левая часть), указывались штрафы 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 (табл. 1, правая часть), для которых подбирались такие наименьшие значения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">к</mi><mi mathvariant="normal">р</mi></mrow></msub></math>
 масштабирующих коэффициентов λ, при которых уже требовалось переходить к новому оптимальному плану для решения полной ТЗ (с учетом штрафов), отличному от имевшегося плана {
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
}. Введение в линейных выражениях для штрафов малого (изначально α=0) параметра α для обнаружения неединственных оптимальных планов объясняется позже.

Приведем несколько примеров, характеризуемых СКО-тарифов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></math> и СКО-штрафов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub></math> , когда для тарифов, умножавшихся на различные масштабирующие коэффициенты μ= 0,8; 1,6 (табл. 1, левая часть), указывались штрафы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> (табл. 1, правая часть), для которых подбирались такие наименьшие значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">к</mi><mi mathvariant="normal">р</mi></mrow></msub></math> масштабирующих коэффициентов λ, при которых уже требовалось переходить к новому оптимальному плану для решения полной ТЗ (с учетом штрафов), отличному от имевшегося плана { <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> }. Введение в линейных выражениях для штрафов малого (изначально α=0) параметра α для обнаружения неединственных оптимальных планов объясняется позже.

9

Для сохранения СКО постоянными будем только изменять различными способами расстановку одних и тех же ценовых значений внутри табл. 1. Таблица 1

10

A_i\B_j	15	20	25	15	20	25
10	5 μ	3 μ	1 μ 10	α + λ 20	α +λ 45	α +λ 29
20	3 μ 15	2 μ 5	4 μ	α+ λ 39	α +λ 50	α +λ 36
30	4 μ	1 μ 15	2 μ 15	α +λ 60	α +λ 22	α +λ 54
Мощности	Тарифы $c_{i, j}$ и оптимальный план $x_{i, j}$		Штрафы $d_{i, j}$

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Ai\Bj</td><td class="docx-publication-cell"> 15</td><td class="docx-publication-cell"> 20</td><td class="docx-publication-cell"> 25</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 15</td><td class="docx-publication-cell"> 20</td><td class="docx-publication-cell"> 25</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 10</td><td class="docx-publication-cell"> 5 μ</td><td class="docx-publication-cell"> 3 μ</td><td class="docx-publication-cell"> 1 μ 10</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 20</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 45</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 29</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 20</td><td class="docx-publication-cell"> 3 μ 15</td><td class="docx-publication-cell"> 2 μ 5</td><td class="docx-publication-cell"> 4 μ </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α+ λ 39</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 50</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 36 </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 30</td><td class="docx-publication-cell"> 4 μ</td><td class="docx-publication-cell"> 1 μ 15</td><td class="docx-publication-cell"> 2 μ 15</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 60</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 22</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 54</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Мощности</td><td class="docx-publication-cell"> Тарифы<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 и оптимальный план <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Штрафы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Ai\Bj</td><td class="docx-publication-cell"> 15</td><td class="docx-publication-cell"> 20</td><td class="docx-publication-cell"> 25</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 15</td><td class="docx-publication-cell"> 20</td><td class="docx-publication-cell"> 25</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 10</td><td class="docx-publication-cell"> 5 μ</td><td class="docx-publication-cell"> 3 μ</td><td class="docx-publication-cell"> 1 μ 10</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 20</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 45</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 29</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 20</td><td class="docx-publication-cell"> 3 μ 15</td><td class="docx-publication-cell"> 2 μ 5</td><td class="docx-publication-cell"> 4 μ </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α+ λ 39</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 50</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 36 </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 30</td><td class="docx-publication-cell"> 4 μ</td><td class="docx-publication-cell"> 1 μ 15</td><td class="docx-publication-cell"> 2 μ 15</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 60</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 22</td><td class="docx-publication-cell"> α +λ 54</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Мощности</td><td class="docx-publication-cell"> Тарифы<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> и оптимальный план <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Штрафы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> </td></tr></table>

11

Исходная ТЗ в табл. 1 имеет единственный оптимальный план {

х_{i, j}

} (ячейки, выделенный полужирным шрифтом). Предельно допустимые отношения СКО-штрафов за счет коэффициента λ_кр при значениях штрафов

d_{i, j}

(правая часть табл. 1) к СКО-тарифов

σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e}

составили не более: 5,7 — для исходной табл. 1; 2,4 — при перестановке местами мощностей

A_{i}

; 3,6 — при циклической перестановке строк тарифов

c_{i, j}

в левой части таблицы; 4,3 — при циклической перестановке строк штрафов

d_{i, j}

в правой части, причем независимо от величины коэффициента μ. Здесь задача табл. 1 проявилась как линейная с близким при различных вариациях условий уровнем предельно допустимого отношения СКО

σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e} .

Исходная ТЗ в табл. 1 имеет единственный оптимальный план {
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
} (ячейки, выделенный полужирным шрифтом). Предельно допустимые отношения СКО-штрафов за счет коэффициента λкр при значениях штрафов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 (правая часть табл. 1) к СКО-тарифов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 составили не более: 5,7 — для исходной табл. 1; 2,4 — при перестановке местами мощностей 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
; 3,6 — при циклической перестановке строк тарифов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 в левой части таблицы; 4,3 — при циклической перестановке строк штрафов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 в правой части, причем независимо от величины коэффициента μ. Здесь задача табл. 1 проявилась как линейная с близким при различных вариациях условий уровнем предельно допустимого отношения СКО 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>

Исходная ТЗ в табл. 1 имеет единственный оптимальный план { <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">х</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> } (ячейки, выделенный полужирным шрифтом). Предельно допустимые отношения СКО-штрафов за счет коэффициента λкр при значениях штрафов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> (правая часть табл. 1) к СКО-тарифов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></math> составили не более: 5,7 — для исходной табл. 1; 2,4 — при перестановке местами мощностей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> ; 3,6 — при циклической перестановке строк тарифов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> в левой части таблицы; 4,3 — при циклической перестановке строк штрафов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> в правой части, причем независимо от величины коэффициента μ. Здесь задача табл. 1 проявилась как линейная с близким при различных вариациях условий уровнем предельно допустимого отношения СКО <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>.</mo></math>

12

ТЗ может иметь несколько равноценных оптимальных планов. При этом наличие в упрощенной ТЗ (без штрафов) более одного равноценного нескольких оптимальных планов связано с набором конкретных значений тарифов

c_{i, j}

и сохраняется при рассмотренных изменениях расположения этих значений в конкретных клетках таблицы. В различных ситуациях изменяются только сами оптимальные планы, которые позволяет обнаружить предложенный в (Ассаул, Погодин, 2019) и используемый в (Ассаул, Погодин, 2022) алгоритм зацикливаний с процедурой Minimize в пакете Mathcad.

13

Суть метода зацикливаний заключается в том, что первоначально решается элементарная ТЗ, в платежной таблице которой (подобно методу (Balinski, 1961) все тарифы заменяются на модифицированные:

14

C M_{i, j} = c_{i, j} + d_{i, j} / m i n (A_{i}, B_{j}),

(1)

15

где СМ — новые значения тарифов c_i_,_j. Затем — в отличие от (Balinski, 1961) — многократно, до появления эффекта зацикливания, т.е. до повторения получаемых планов, решается та же ТЗ, где на шаге k+1 устанавливаются тарифы

16

C M_{i, j, (k + 1)} = c_{i, j} + d_{i, j} / x_{i, j, k},

(2)

17

где x_ij,_k — перевозка, назначенная в k-плане ТЗ в клетку оптимального плана с адресом (i, j)). После получения зацикливания подсчитываются полные фактические затраты на перевозки для каждого шага с учетом штрафов. В качестве оптимального плана выбирается тот, который обеспечивает минимум затрат.

18

Предложенный алгоритм зацикливаний обладает интересной особенностью. А именно при очевидном факте независимости оптимальных планов полной ТЗ от постоянных величин α, прибавляемых ко всем штрафам в ТЗ (см. табл. 1), этот метод позволяет получить несколько различных равноценных оптимальных планов ТЗ: один — при α =0 и еще один или два — в противном случае (при α >0,001). Такая возможность появляется благодаря преобразованиям (1), (2), вносящим искусственную дифференциацию долей вкладов штрафов по различным клеткам. В ТЗ с единственным оптимальным планом (см. табл. 1) этот план получается при любых значениях α.

19

Метод зацикливаний может применяться к решению полной ТЗ (Ассаул, Погодин, 2019, 2022), однако недостаток и причина его приближенного характера заключаются в том, что помимо работающего цикла планов может существовать непересекающееся с ним подмножество планов ТЗ с другим локальным оптимальным планом.

20

Таблица 2

21

A_i\B_j	6	10	19
8	4 30 1/0	10 20 /1	7 15 7/7
12	11 25	8 40	5 35 12/12
15	9 18 5/6	6 22 10/9	12 42

22

Так, полученный методом зацикливаний план ТЗ в примере табл. 2 дает сумму перевозок в 338 единиц. В то же время эта ТЗ имеет другой непересекающийся цикл планов с другими оптимальными планом (значения, указанные через «/» в табл. 2) и суммой 337 единиц (локальный минимум).

23

В упрощенной ТЗ по оценкам с помощью отношения их СКО (

σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e}

) при других найденных оптимальных планах, отличных от выделенного, допустимая оценка СКО-штрафов может составлять лишь ничтожную часть от СКО-тарифов (например, менее

1 0^{- 5})

, т.е. исключать штрафы при использовании других оптимальных планах исходной задачи нельзя!

24

Те же вариации условий расстановки тарифов

c_{i, j}

, проделанные в задаче табл. 1, были повторены для задачи, имеющей несколько оптимальных планов, с другими мощностями

A_{i}

, емкостями B_j и тарифами

c_{i, j}

, но с теми же штрафами

d_{i, j}

в шести рассмотренных случаях и дали предельно допустимые отношения СКО (

σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e}

), приведенные в табл. 3.

Те же вариации условий расстановки тарифов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, проделанные в задаче табл. 1, были повторены для задачи, имеющей несколько оптимальных планов, с другими мощностями 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, емкостями Bj и тарифами 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, но с теми же штрафами 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 в шести рассмотренных случаях и дали предельно допустимые отношения СКО (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub></math>
), приведенные в табл. 3.

25

Таблица 3

26

A_i\B_j	9	18	23	9	18	23
16	9 μ	4 μ 16	7 μ	α + λ 20	α + λ 45	α + λ 29
22	5 μ	3 μ 2	6 μ 20	α + λ 39	α + λ 50	α + λ 36
12	1 μ 9	8 μ	2 μ 3	α + λ 60	α + λ 22	α + λ 54
Мощности	Тарифы $c_{i, j}$ и оптимальный план $x_{i, j}$		Штрафы $d_{i, j}$

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Ai\Bj</td><td class="docx-publication-cell"> 9</td><td class="docx-publication-cell"> 18</td><td class="docx-publication-cell"> 23</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 9</td><td class="docx-publication-cell"> 18</td><td class="docx-publication-cell"> 23</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 16</td><td class="docx-publication-cell"> 9 μ </td><td class="docx-publication-cell"> 4 μ 16</td><td class="docx-publication-cell"> 7 μ </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 20</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 45</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 29</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 22</td><td class="docx-publication-cell"> 5 μ </td><td class="docx-publication-cell"> 3 μ 2</td><td class="docx-publication-cell"> 6 μ 20</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 39</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 50</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 36 </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 12</td><td class="docx-publication-cell"> 1 μ 9</td><td class="docx-publication-cell"> 8 μ </td><td class="docx-publication-cell"> 2 μ 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 60</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 22</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 54</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Мощности</td><td class="docx-publication-cell"> Тарифы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 и оптимальный план <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Штрафы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Ai\Bj</td><td class="docx-publication-cell"> 9</td><td class="docx-publication-cell"> 18</td><td class="docx-publication-cell"> 23</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> 9</td><td class="docx-publication-cell"> 18</td><td class="docx-publication-cell"> 23</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 16</td><td class="docx-publication-cell"> 9 μ </td><td class="docx-publication-cell"> 4 μ 16</td><td class="docx-publication-cell"> 7 μ </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 20</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 45</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 29</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 22</td><td class="docx-publication-cell"> 5 μ </td><td class="docx-publication-cell"> 3 μ 2</td><td class="docx-publication-cell"> 6 μ 20</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 39</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 50</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 36 </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 12</td><td class="docx-publication-cell"> 1 μ 9</td><td class="docx-publication-cell"> 8 μ </td><td class="docx-publication-cell"> 2 μ 3</td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 60</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 22</td><td class="docx-publication-cell"> α + λ 54</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Мощности</td><td class="docx-publication-cell"> Тарифы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> и оптимальный план <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> </td><td class="docx-publication-cell"> Штрафы <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> </td></tr></table>

27

При наличии нескольких равноценных оптимальных планов ТЗ без штрафов (значения оптимальных перевозок одного из планов

{х_{i, j}

} указаны рядом с тарифами используемых клеток

c_{i, j}

):

28

$σ_{p e n a l t y \leq} / σ_{p r i c e} \leq 281 \div 303$ , $σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e} \leq 10 \div 13$ получаются в двух вариантах циклических перестановок строк тарифов $c_{i, j}$ в левой части табл. 3, в то время как в третьем варианте один из трех равноценных оптимальных по тарифам планов случайно исключает клетки с самыми большими штрафами, что допускает их неограниченное увеличение (или пропорциональное увеличение штрафов во всех клетках);
$σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e} \leq 28 \div 57$ — при циклической перестановке строк штрафов $d_{i, j}$ в правой части табл. 3;
$σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e} \leq 23 \div 5$ — при транспонировании таблицы тарифов (один из двух равноценных планов),
$σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e} \leq 12 \div 14$ — при перестановке мощностей $A_{i}$ в табл. 3.

<ol> <li> 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi><mo>≤</mo></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>281</mn><mo>÷</mo><mn>303</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>10</mn><mo>÷</mo><mn>13</mn></math>
 получаются в двух вариантах циклических перестановок строк тарифов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 в левой части табл. 3, в то время как в третьем варианте один из трех равноценных оптимальных по тарифам планов случайно исключает клетки с самыми большими штрафами, что допускает их неограниченное увеличение (или пропорциональное увеличение штрафов во всех клетках);</li> <li> 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>28</mn><mo>÷</mo><mn>57</mn></math>
 — при циклической перестановке строк штрафов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 в правой части табл. 3;</li> <li> 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>23</mn><mo>÷</mo><mn>5</mn></math>
 — при транспонировании таблицы тарифов (один из двух равноценных планов), </li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>12</mn><mo>÷</mo><mn>14</mn><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 — при перестановке мощностей 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 в табл. 3.</li></ol>

<ol> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi><mo>≤</mo></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>281</mn><mo>÷</mo><mn>303</mn></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>10</mn><mo>÷</mo><mn>13</mn></math> получаются в двух вариантах циклических перестановок строк тарифов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> в левой части табл. 3, в то время как в третьем варианте один из трех равноценных оптимальных по тарифам планов случайно исключает клетки с самыми большими штрафами, что допускает их неограниченное увеличение (или пропорциональное увеличение штрафов во всех клетках);</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>28</mn><mo>÷</mo><mn>57</mn></math> — при циклической перестановке строк штрафов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> в правой части табл. 3;</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>23</mn><mo>÷</mo><mn>5</mn></math> — при транспонировании таблицы тарифов (один из двух равноценных планов), </li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>e</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>12</mn><mo>÷</mo><mn>14</mn><mi mathvariant="normal"> </mi></math> — при перестановке мощностей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> в табл. 3.</li></ol>

29

Здесь, в отличие от ТЗ в табл. 1 с единственным оптимальным планом (с максимумом предельно допустимого отношения

σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e} = 2 \div 5

), разброс значений

σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e}

составляет два порядка и определяющие его факторы обнаружить не удается.

30

Анализ противоположной предельной ситуации поиска оценок максимальных СКО-тарифов, при которых ими можно пренебречь, сохраняя в качестве оптимального план ТЗ, полученный только с учетом штрафов, приводит к порогу

σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e} \geq 288

по табл. 1 и

σ_{p e n a l t y} / σ_{p r i c e} \geq 18

по табл. 3.

31

Приведем возможный и, казалось бы, достаточно логичный алгоритм решения ТЗ только со штрафами (метод исключений). Этот метод можно было бы применять также для получения приближенного оптимального плана при относительно малой тарифной составляющей по сравнению со штрафной. Для этого достаточно вместо фактических значений штрафов использовать модифицированные величины

D M_{i, j} = d_{i, j} + c_{i, j} m i n (A_{i}, B_{j})

.

Приведем возможный и, казалось бы, достаточно логичный алгоритм решения ТЗ только со штрафами (метод исключений). Этот метод можно было бы применять также для получения приближенного оптимального плана при относительно малой тарифной составляющей по сравнению со штрафной. Для этого достаточно вместо фактических значений штрафов использовать модифицированные величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>D</mi><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
.

32

Суть метода исключений состоит в том, что для нахождения оптимального плана ТЗ только по штрафной компоненте можно последовательно удалять клетки с большими штрафами в порядке их убывания при условии, что после каждого такого исключения остающихся в соответствующих строке и столбце сумм величин

m i n (A_{i}, B_{j})

будет достаточно для обеспечения требуемых мощности

A_{i}

и емкости

B_{j}

. Так, следует удалить не более чем

n m - (n + m - 1)

клеток, а в оставшихся — разместить оптимальный план перевозок.

Суть метода исключений состоит в том, что для нахождения оптимального плана ТЗ только по штрафной компоненте можно последовательно удалять клетки с большими штрафами в порядке их убывания при условии, что после каждого такого исключения остающихся в соответствующих строке и столбце сумм величин 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 будет достаточно для обеспечения требуемых мощности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></math>
 и емкости 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. Так, следует удалить не более чем 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mi>m</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>
 клеток, а в оставшихся — разместить оптимальный план перевозок.

Суть метода исключений состоит в том, что для нахождения оптимального плана ТЗ только по штрафной компоненте можно последовательно удалять клетки с большими штрафами в порядке их убывания при условии, что после каждого такого исключения остающихся в соответствующих строке и столбце сумм величин <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> будет достаточно для обеспечения требуемых мощности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></math> и емкости <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Так, следует удалить не более чем <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mi>m</mi><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> клеток, а в оставшихся — разместить оптимальный план перевозок.

33

Приведем недостатки метода исключений.

34

Условие исключения клеток с большими штрафами по остающимся в соответствующих строке и столбце суммам значений $m i n (A_{i}, B_{j})$ предполагает насыщенное $(x_{i, j} = m i n (A_{i}, B_{j}))$ использование этих клеток. Однако полученный в итоге план может содержать также и ненасыщенное $(x_{i, j} < m i n (A_{i}, B_{j}))$ использование некоторых клеток, т.е. требует изменения правила отбора исключавшихся клеток с большими штрафами, которое (как следствие) привело бы к другому плану.
На оставшихся клетках после такого грубого исключения больших штрафов не удается построить распределения поставок, удовлетворяющего заданным мощностям и емкостям.

<ol> <li>Условие исключения клеток с большими штрафами по остающимся в соответствующих строке и столбце суммам значений 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 предполагает насыщенное 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 использование этих клеток. Однако полученный в итоге план может содержать также и ненасыщенное 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 использование некоторых клеток, т.е. требует изменения правила отбора исключавшихся клеток с большими штрафами, которое (как следствие) привело бы к другому плану.</li> <li>На оставшихся клетках после такого грубого исключения больших штрафов не удается построить распределения поставок, удовлетворяющего заданным мощностям и емкостям.</li></ol>

<ol> <li>Условие исключения клеток с большими штрафами по остающимся в соответствующих строке и столбце суммам значений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> предполагает насыщенное <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> использование этих клеток. Однако полученный в итоге план может содержать также и ненасыщенное <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo><</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> использование некоторых клеток, т.е. требует изменения правила отбора исключавшихся клеток с большими штрафами, которое (как следствие) привело бы к другому плану.</li> <li>На оставшихся клетках после такого грубого исключения больших штрафов не удается построить распределения поставок, удовлетворяющего заданным мощностям и емкостям.</li></ol>

35

Метод исключений, примененный к примеру, показанному в табл. 3, дает тот же оптимальный план, что и метод зацикливаний в ТЗ с нулевыми тарифами. Он может с успехом использоваться и при больших размерах ТЗ (5×5 и больше).

36

Метод исключений для ТЗ размером 4×4 представлен в табл. 4. В угловых скобках стоят исключенные большие штрафы, в фигурных — избежавшие исключения из-за дефицита остающихся возможностей перевозок (так, например, клетка (2, 2) сохранена для обеспечения предложения второго поставщика

A_{2}

); в круглых — значения

m i n (A_{i}, B_{j})

); полужирным шрифтом указаны оптимальные перевозки плана.

37

Таблица 4

38

A_i\B_j	18	11	13	7
10	<40> (10)	10 (10) 10	<25> (10)	<30> (7)
20	18 (18) 18	{27} (11) 1	<35> (13) 1	<37> (7)
8	<32> (8)	<33> (8)	23 (8) 1	19 (7) 7
11	<43> (11)	<34> (11)	23 (11) 11	19 (7)

39

После исключения 9 клеток с большими штрафами здесь не удается расставить плана необходимых перевозок. Метод исключений приводит к плану, требующему замены перевозки в ранее исключенной клетке (2, 3) вместо клетки (4, 4), что дает минимум суммарных затрат в 155 единиц вместо формально ожидавшихся 139 единиц. Причина этого в неверном решении исключить клетки (2, 3), делавшемся в предположении о полной загрузке (насыщении) клетки (2, 2).

40

Следует сказать, что метод исключений по сути соответствует классическому методу распределений по наименьшим затратам, только примененному в обратном направлении. В ТЗ табл. 4 оба подхода дают один и тот же результат, затраты по которому, однако, превышают истинно оптимальные на 10 единиц.

41

Результаты

42

Из рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы.

43

Если на практике считать инфляцию как пропорциональное увеличение тарифов и штрафов (λ= μ, α=0), то устоявшиеся ранее логистические системы организации перевозок, в которых оптимальный план строился только с учетом тарифов, могут утратить свойство оптимальности, если инфляция превысит некоторое значение (т.е. нарушится условие λ= μ).

44

Как было замечено в ТЗ из табл. 3, в случае неединственности оптимального плана СКО не является достаточным параметром для непосредственного заключения о возможности не учитывать штрафов при отыскании оптимального плана полной задачи. Это тесно связано со свойствами (структурой) как конкретных таблиц тарифов, так и таблиц штрафов. Однако предложенный метод зацикливаний по первому его применению позволяет точечно заключить, можно ли так поступить (если оптимальный план задачи без штрафов и со штрафами совпадают после первого шага).

45

В остальных случаях, когда нет оснований полностью пренебречь штрафами при выборе оптимального плана, остаются альтернативы:

46

пренебрегать штрафами, если их суммарный вклад мал хотя бы по сравнительным оценкам их средних значений
$R o = (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} с_{i, j} m i n (A_{i}, B_{j})) / \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} d_{i, j},$ или $R = (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} R_{i, j}) / n m$ ,
где $R_{i, j} = c_{i, j} m i n (A_{i}, B_{j}) / d_{i, j}$ , где R и Ro — это некие суммы, интегрально характеризующие ТЗ;
учитывать штрафы при поиске оптимальных планов полной задачи с экологическим критерием, в частности, с помощью предложенного в (Ассаул, Погодин, 2019, 2022) приближенного, однако достаточно простого на практике метода зацикливаний. Недостатком и причиной приближенного характера этого метода зацикливаний является возможное наличие других циклов планов с локальными минимумами;
в предельном случае очень малых тарифов методы зацикливаний (Ассаул, Погодин, 2019, 2022) и исключений¹ также позволяют найти оптимальный план, учитывая только штрафы.

1. Недостатком метода исключений являются возможные затруднения при расстановке перевозок после (nm–(n+m–1))-шагов исключений.

<ul class="docx-publication-list"> <li> пренебрегать штрафами, если их суммарный вклад мал хотя бы по сравнительным оценкам их средних значений </li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>R</mi><mi>o</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>/</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math>
 или 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>R</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>n</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi></math>
, </li> <li>где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, где R и Ro — это некие суммы, интегрально характеризующие ТЗ;</li> <li> учитывать штрафы при поиске оптимальных планов полной задачи с экологическим критерием, в частности, с помощью предложенного в (Ассаул, Погодин, 2019, 2022) приближенного, однако достаточно простого на практике метода зацикливаний. Недостатком и причиной приближенного характера этого метода зацикливаний является возможное наличие других циклов планов с локальными минимумами;</li> <li> в предельном случае очень малых тарифов методы зацикливаний (Ассаул, Погодин, 2019, 2022) и исключений1 также позволяют найти оптимальный план, учитывая только штрафы. </li></ul>

<ul class="docx-publication-list"> <li> пренебрегать штрафами, если их суммарный вклад мал хотя бы по сравнительным оценкам их средних значений </li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>R</mi><mi>o</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi mathvariant="normal">с</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>/</mo><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo></math> или <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>R</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><mi>n</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>m</mi></math> , </li> <li>где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>/</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> , где R и Ro — это некие суммы, интегрально характеризующие ТЗ;</li> <li> учитывать штрафы при поиске оптимальных планов полной задачи с экологическим критерием, в частности, с помощью предложенного в (Ассаул, Погодин, 2019, 2022) приближенного, однако достаточно простого на практике метода зацикливаний. Недостатком и причиной приближенного характера этого метода зацикливаний является возможное наличие других циклов планов с локальными минимумами;</li> <li> в предельном случае очень малых тарифов методы зацикливаний (Ассаул, Погодин, 2019, 2022) и исключений1 также позволяют найти оптимальный план, учитывая только штрафы. </li></ul>

GOST	Assaul V., Pogodin I. On simplification of the transport problem solution with ecological criterion // Economics and the Mathematical Methods. – 2023. – V. 59. – No. 2 C. 122-127 . URL: https://emm.jes.su/s042473880025864-9-1/. DOI: 10.31857/S042473880025864-9
MLA	Assaul, V., Pogodin, I. "On simplification of the transport problem solution with ecological criterion." Economics and the Mathematical Methods. 59.2 (2023).:122-127. DOI: 10.31857/S042473880025864-9
APA	Assaul V., Pogodin I. (2023). On simplification of the transport problem solution with ecological criterion. Economics and the Mathematical Methods. vol. 59, no. 2, pp.122-127 DOI: 10.31857/S042473880025864-9

References

Comments

References

Comments

Via social network