Везде
Rationing and market: Structure and stability of equilibria
Table of contents
Annotation Estimate Publication content
References Comments
Share
QR
Metrics
Rationing and market: Structure and stability of equilibria
Annotation
PII
S042473880025860-5-1
DOI
10.31857/S042473880025860-5
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Fyodor Zak 
Affiliation: Central Economics and Mathematics Institute, Russian Academy of Sciences (CEMI RAS)
Address: Moscow, Russia
Edition
Volume 59 No. 2
Pages
68-86
Abstract

In recent years, state control of the economy has increased in many countries. A number of states try to influence prices in key areas of economy, in particular by selling resources at fixed prices within given quotas. However, in real economies the governments cannot prevent economic agents from reselling rationed goods at the free market. The study of impact of rationing on the market prices is a difficult and challenging problem. In the present paper we consider an equilibrium model in which part of the goods within the limits of quotas is sold at fixed prices while the remaining goods are sold at market prices; the goods bought at fixed prices can also be resold at market prices. Economy depends on parameters, viz. total resources, incomes of the participants, quotas, and fixed prices. For special values of parameters, this model reduces to pure exchange and fixed income models and, in a sense, is a combination of these models. Basing on known properties of these special cases and using techniques of elementary differential topology, we study the existence of equilibria and their properties. Depending on the values of parameters, a (sufficiently general) economy may have a finite (even or odd) number of equilibria, and in an important special case when total resources are subject to rationing and the total cost of allocated quotas coincides with the total income of the participants the equilibria form a one-dimensional manifold. We consider a generalized tâtonnement process and study its convergence under certain assumptions. It is shown that in our setup convergence of tâtonnement to an equilibrium may involve endogenous inflation.

Keywords
deficit, rationing, quotas, demand functions, market, equilibrium, Walras correspondence, tâtonnement, inflation.
Received
02.06.2023
Date of publication
02.07.2023
Number of purchasers
12
Views
234
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf
Additional services access
Additional services for the article
Services benefits
100 RUB / 1.0 SU
Additional services for the issue
Services benefits
960 RUB / 15.0 SU
Additional services for all issues for 2023
Services benefits
2730 RUB / 61.0 SU
1 1. Введение
2 Сорок лет назад в своей знаменитой книге (Kornai, 1980) Я. Корнаи указал на дефицит как главную характеристику социалистической экономики. В одной из последних своих книг (Kornai, 2013) Корнаи охарактеризовал (современную) капиталистическую экономику как экономику избытка, подчеркивая тем самым противоположность двух экономических систем. Можно было бы ожидать, что с крахом социалистической системы такие понятия, как «дефицит», «рационирование» и «квоты» исчезнут из экономического лексикона. Однако ситуация развивалась по-другому и конец истории Ф. Фукуямы оказался иллюзией. Возрастающее во многих странах неравенство в доходах и человеческом капитале, массовая иммиграция, бедность, безработица, неуверенность в будущем, социальная и политическая поляризация привели к необходимости государственного регулирования, которое осуществлялось в разных странах по-разному (продовольственные карточки, субсидированное жилье для бедных, субсидии на образование, медицинскую помощь и транспорт). Показателем важности поисков новых форм государственного регулирования является растущая популярность концепции универсального базисного дохода (УБД), интенсивно обсуждающаяся в последние десятилетия в ряде стран (см., например, (Torry, 2022)). Относительно успешные эксперименты с (ограниченным) введением УБД проводились и продолжают проводиться как в развитых, так и в развивающихся странах; в поддержку УБД выступают многие знаменитости (включая нобелевских лауреатов по экономике), а некоторые популярные политические партии в разных частях света сделали УБД частью своих программ (Merrill, Neves, Lain, 2022).
3

Однако несмотря на возрастающее число проблем, с которыми приходится сталкиваться правительствам западных стран, до недавнего времени понятия дефицита, рационирования и квот могли быть применены лишь к небольшой части экономик этих стран. Ситуация изменилась с нашествием коронавируса. Пандемия выявила неадекватность большинства систем здравоохранения, и эксперты до сих пор спорят о методах борьбы с эпидемией, использованных в большинстве развитых стран. Пандемия нанесла тяжелый урон как бизнесу, так и потребителям, выросла безработица, многие предприятия и офисы закрывались на карантин, нарушились логистические цепочки, международная торговля пришла в упадок. С целью смягчить эти проблемы богатые страны потратили триллионы «вертолетных» долларов на помощь бизнесу и прямые выплаты населению (что напоминает нам о мягких бюджетных ограничениях Корнаи). Все эти обстоятельства привели к нарушению поставок и дефициту, но говорить о сколько-нибудь широком распространении рационирования и квот оснований еще не было.
4 Ситуация усугубилась в 2022 г. с началом специальной военной операции на Украине и массивным введением санкций и ограничений. По словам главного экономиста ОЭСР А.С. Перейры (Hannon, 2022), ущерб глобальной экономике от военных действий на Украине оценивается в 2,8 трлн долл., и эта оценка непрерывно возрастает. Результатом этой череды потрясений (разумеется, в настоящее время мы можем рассматривать только промежуточный результат) явились частичная деглобализация, усиление тренда на деиндустриализацию ряда стран, непривычно высокий уровень инфляции, а также нехватка нефти, газа, бензина, электричества, минеральных удобрений, некоторых видов сельскохозяйственной продукции и многих других промышленных и потребительских товаров. В этих обстоятельствах, столкнувшись с общественным недовольством и опасаясь политических беспорядков, многие правительства ввели те или иные формы централизованного распределения и потолков цен (или субсидированных цен) на дефицитные продукты.
5 Детали принятых мер варьируют от страны к стране, но общим является вмешательство центра в распределение ресурсов и ценообразование. Согласно (Checherita-Westphal, Freier, Muggenthaler, 2022), две трети расходов Европейского союза, выделенных на преодоление последствий украинского кризиса, направлены на решение проблем, связанных с энергетикой, и почти треть этих средств расходуется на субсидии. В разных европейских странах на разных условиях, иногда в пределах определенных квот, субсидируются цены на бензин, различные виды топлива для отопления, электроэнергию. Кроме того, в ряде стран практикуется ограничение и регулирование цен на некоторые пищевые продукты (напр. подсолнечное масло), определенные виды минеральных удобрений для фермеров и т.д., а также субсидированные цены на жилье и медикаменты (по поводу общих подходов ЕС к этой проблеме см. (EC, 2022)). Санкции и внешнеторговые ограничения приводят к дисбалансу на рынках подсанкционных стран и заставляют их частично возвращаться к экономике дефицита. Наконец, хорошо известно (хотя точные данные недоступны), что в условиях санкций и ограничений резко возросли теневые поставки подсанкционных товаров, а также нелегальные поставки оружия посредникам по заниженным ценам с целью последующей перепродажи. Масштабы этих операций таковы, что ими уже нельзя пренебречь при анализе рынков соответствующих товаров.
6 В условиях преобладания рыночной экономики такие методы регулирования неизбежно приводят к тому, что экономические агенты начинают перепродавать продукты по рыночным ценам. Эта ситуация чем-то напоминает положение, сложившееся полвека назад в странах социалистического лагеря, хотя, разумеется, причины возникновения и величина этого сектора экономики различны. Неудивительно, что первые попытки моделировать это явление были предприняты в СССР В.Л. Макаровым и его сотрудниками (Макаров и др., 1982, 1986). Модель, рассмотренная в этих работах, является очень общей, и даже существование равновесия доказано авторами при чрезмерно ограничительных предположениях. Существование равновесия для значительно более общего класса моделей было доказано в (Полтерович, 1990).
7 Поскольку мы в первую очередь интересуемся распределением товаров в смешанной экономике, мы рассматриваем вариант модели Макарова, в котором отсутствует производство. Математический аппарат, используемый в настоящей работе и ведущий происхождение из элементарной дифференциальной топологии, был впервые введен в математическую экономику Ж. Дебре (Debreu, 1970) и развит в работах И. Баласко, Э. Диркера, А. Мас-Колелла и др. (подход, близкий к нашему, использовался в статьях (Balasko, 1975; Зак, 1981)). Для нас представляет интерес не только структура множества равновесий, но и его поведение при вариации параметров, использовании квот и фиксированных цен в качестве инструментов государственного управления, а также особая роль экономик, находящихся на гиперповерхности спроса, разбивающей все экономики на два класса с весьма различными свойствами (см. ниже).
8 Перейдем к описанию нашей модели. Имеется l продуктов и m экономических агентов с функциями спроса fi(p,wi) , i=1,…,m , где p∈R+l — вектор цен; wi — денежные средства (полный доход) агента i .
9 Мы предполагаем, что функции спроса порождены строго монотонными строго вогнутыми трижды непрерывно диффренцируемыми функциями полезности ui , так что fi однородны степени ноль и, по теореме Дебре (Debreu, 1972), дважды непрерывно дифференцируемы, а агрегированная функция спроса f=∑i=1m‍fi удовлетворяет условию желательности (Balasko, 1975). Это означает, что если цены на некоторые из товаров стремятся к нулю, то спрос неограниченно возрастает.
10 Пусть αi∈R¯+1 — начальный доход участника i и государство предлагает ему купить товары в пределах квоты xi∈R¯+l по фиксированным ценам q∈R¯+l . Это означает, что если экономический агент i имеет желание и деньги, он может купить любое количество продукта j , не превышающее xij , по цене qj , j=1,…,l . Отметим, что мы не исключаем важных случаев, когда xij=0 (участнику i не выделена квота для покупки продукта j по фиксированной цене qj ) и qj=0 (такие товары, как жилье, медицинское обслуживание и т.д., которые — до определенного уровня — оплачиваются из социальных фондов, относятся к этой категории).
11 Пусть y∈R+l — вектор всех товаров в нашей экономике. Мы не предполагаем, что x†y , поскольку на практике распределение квот нередко предшествует реальному производству или импорту продуктов, и если планы не будут выполнены, то государство не сможет выполнить своих обязательств по поставке некоторых товаров (т.е. xj>yj для некоторых 1≤j≤l ). Оставшиеся товары (т.е. не выкупленные по твердым ценам) продаются на свободном рынке по ценам p∈R+l . Участники также могут перепродать на свободном рынке (по тем же ценам p) некоторые из товаров, ранее купленных ими у государства, по твердым ценам q.
12 Экономические агенты станут выкупать свои квоты на товар j если и только если рыночная цена этого товара выше, чем фиксированная, т.е. pj>qj . Поэтому для исследования состояний равновесия можно считать, что экономический агент i выходит на рынок с денежными средствами wi=αi+(p-q)+,    xi, i=1,…,m (где a,b обозначает скалярное произведение векторов a и b, а для r∈Rl мы полагаем (r+)j=max{rj,0} , j=1,…,l ), складывающимися из начального дохода αi и денег, вырученных от перепродажи на рынке продуктов, купленных у государства по фиксированным ценам q, при условии что они ниже рыночных цен p. Соответствующий совокупный спрос f(p;w1,…,wm)=∑i=1m‍fip,αi+(p-q)+,xi, и цена p называется равновесной, если спрос равен предложению, т.е. f(p;w1,…,wm)=y .
13 Описанная модель включает в качестве частных случаев модель чистого обмена (когда x=∑i=1m‍xi=y , αi=q,xi, i=1,…,m ; см. предложение 2) и модель с фиксированными доходами (например, когда xi=0 , i=1,…,m или x†y и цены qj , j=1,…,l достаточно велики; см. предложение 1) и получается комбинированием этих двух моделей (точнее говоря, обе эти модели входят в непрерывное семейство экономик, рассматриваемых в настоящей статье). Благодаря этому, в частности, используя известные свойства модели чистого обмена, удается вывести неизвестные ранее свойства модели с фиксированными доходами (например, количество равновесных цен в общей экономике с фиксированными доходами нечетно; см. следствие 4). Однако представляется более важным выявить свойства равновесий, специфические для данной модели.
14 В отличие от модели чистого обмена и модели с фиксированными доходами, в нашей модели равновесие существует не всегда. Действительно, из закона Вальраса нетрудно вывести, что α=p∧q,y+(p-q)+,y-x, где x=∑i=1m‍xi , α=∑i=1m‍αi — совокупный доход, (p∧q)j=min{pj,qj} , j=1,…,l (см. доказательство формулы (5 ) в предложении 1). Поэтому если, например, y†x , α>q,x , то равновесия нет.
15 Чтобы решить проблему существования равновесия, мы рассматриваем гиперповерхность спроса Ω0 (см. предложение 3) в пространстве параметров Ω={ω=(xij,yij,αi,qj)} , i=1,…,m , j=1,…,l , заметаемую экономиками ω , для которых y=∑i=1m‍fi(p,,xi) , когда цены p варьируются в R+l (или, что эквивалентно, в единичном симплексе). Гиперповерхность Ω0 параметризует возможный совокупный спрос агентов, наделенных товарами в размере выделенных им квот (доходы αi и цены qj не участвуют в определении Ω0 ). Из теоремы Эрроу–Дебре следует, что Ω0 содержит все экономики, для которых x=y .
16 Гиперповерхность Ω0 разбивает Ω на несколько связных областей, одна из которых, обозначаемая Ω- , содержит подмножество {x≤y} , в котором квотируется только часть имеющихся товаров, а другая, обозначаемая Ω+ , содержит подмножество {x≥y} , в котором имеющихся запасов недостаточно для обеспечения квот. При этом в окрестности экономики ω , для которой x=y , αi=q,xi, i=1,…,m (т.е. все товары рационируются, причем квоты устанавливаются в соответствии с доходами), а распределение {xi} оптимально по Парето, Ω0 разбивает Ω в точности на эти две области Ω- и Ω+ . Мы показываем, что для общей экономики ω∈Ω- число равновесных цен нечетно, а для общей экономики ω∈Ω+ число равновесных цен четно (см. теорему 3). Отсюда, в частности, следует, что для всех экономик ω∈Ω- (а значит, и для всех ω , для которых x≤y ) равновесие существует. Как мы уже отмечали, из этого вытекает существование (и нечетность числа) равновесий в экономике чистого обмена (что впервые было доказано Э. Диркером) и экономике с фиксированными доходами (что, по-видимому, до сих пор не было известно).
17 Особый интерес представляет проблема существования равновесий для экономик ω∈Ω0 . В этом случае случае ответ зависит от цен qj и доходов αi . Казалось бы, что поскольку гиперповерхность Ω0 имеет меру ноль, исследованием таких экономик можно было бы пренебречь. Однако случай y=x (полное рационирование) заслуживает специального рассмотрения. Возможная интерпретация этого случая — полная централизация: государство выплачивает каждому участнику i фиксированную сумму αi (которую можно интерпретировать как базисный доход; αi может зависеть или не зависеть от участника) и распределяет весь запас продуктов y , выделяя участнику i квоту xi , x=∑i=1m‍xi=y , в пределах которой он может покупать товары по ценам q. Затем участники обмениваются товарами, купленными в пределах квот, уже по рыночным ценам в соответствии со своими функциями спроса.
18 Возможна и другая интерпретация случая, когда y=x , α=q,x. Пусть yi — начальный запас продуктов экономического агента i . Государство обязывает его поставить экономическому агенту k определенный набор продуктов yik , k=1,…,m по фиксированным ценам q (при условии, что агент k согласен купить эти продукты по заданным ценам). После этого участники выходят на свободный (или, в зависимости от точки зрения, теневой) рынок, на котором торгуют как остатками своих начальных запасов, так и продуктами, приобретенными в рамках гарантированных поставок, по рыночным ценам p. Нетрудно убедиться в том, что эта интерпретация эквивалентна предыдущей с αi=q,yi, xi=yi+Δyi, Δyi=∑k=1m‍(yki-yik) .
19 В случае когда y=x , равновесие существует если и только если α≤q,x . При этом для почти всех экономик с α<q,x число равновесий конечно (нечетно, см. теорему 2), а для почти всех экономик с α=q,x многообразие равновесных цен диффеоморфно объединению нечетного числа лучей (вдоль которых цены на все продукты стремятся к бесконечности) и конечного числа дуг (см. теорему 1).
20 При исследовании нашей модели естественно считать квоты xij , цены qj , а при некоторых интерпретациях и доходы αi управляющими параметрами, используя которые государство осуществляет свою экономическую политику. Но какие цели преследует государство, и в чем преимущество управления квотами xij по сравнению с использованием финансовых инструментов αi и qj ? Наиболее распространенные неприятные явления в теории экономического равновесия — это множественные и неустойчивые состояния равновесия (в нашей модели все состояния равновесия в экономике ω могут быть устойчивыми, только если равновесие единственно). Поэтому естественно потребовать, чтобы, варьируя управляющие параметры, государство могло перевести экономику в состояние, для которого существует единственный равновесный вектор цен, устойчивый по отношению к вальрасовскому процессу ценообразования (tâtonnement).
21 Следующий результат (см. теоремы 4 и 5) напоминает результаты статьи (Balasko, 1975), но в то время как в модели Баласко квоты xi просто выдаются участникам, в нашей модели им предлагается выкупить квоты по фиксированным ценам q.
22 Пусть ω∈Ω- — экономика, близкая к экономике ω0 , для которой распределение {xk(ω0)} — оптимально по Парето, и пусть y(ω0)=x(ω0) , αk(ω0)=q(ω0),xk(ω0) , k=1,…,m. Тогда при достаточно общих предположениях в экономике ω существует единственное равновесие, устойчивое по отношению к вальрасовскому процессу ценообразования.
23 Этот результат не является очевидным, поскольку в самой экономике ω0 и в некоторых близких к ней экономиках из Ω0 множество равновесных цен не ограничено. Более того, равновесные цены в ω не ограничены: для подходящих доходов цены стремятся к бесконечности, когда ω→ω0 (если (y-x)=o(α-q,x) , то неограниченность цен очевидна — слишком высокие доходы ведут к инфляции). Разумеется, для того чтобы привести экономику в состояние, описываемое в теореме 4, государство должно иметь некоторое представление о предпочтениях и доходах, но точного знания не требуется.
24 В теореме 6 мы исследуем проблему единственности и устойчивости равновесия для экономик ω∈Ω- и некоторых экономик из Ω0 в случае (разных вариантов) нормального спроса и валовой заменимости.
25 В то время как свойства экономик из Ω- трудно назвать неожиданными, ситуация в Ω+ (в частности в случае, когда квоты x превышают предложение y) необычна и представляет интерес. Пусть ω∈Ω+ — экономика, близкая к оптимальной по Парето экономике ω0 . В теореме 7 (см. также замечание 11) мы показываем, что если доходы участников не слишком велики, то в экономике ω существуют два равновесных вектора цен: один «маленький» и устойчивый, а второй «большой» и неустойчивый (по отношению к вальрасовскому процессу ценообразования).
26 Как мы уже отмечали, множество равновесных цен в общей экономике ω , для которой x=y и q,x=α является объединением нечетного числа лучей, вдоль которых цены на все товары стремятся к бесконечности и конечного числа дуг. Если распределение {xi} близко к Парето-оптимальному, то равновесный луч единствен, а если к тому же стоимости предписанных нетто-поставок по фиксированным ценам |q,Δyk| , k=1,…,m малы, то равновесные дуги отсутствуют (см. теорему 1).
27 Распределяя квоты, государство пытается перевести экономику в состояние, близкое к оптимальному по Парето, но результирующее равновесное распределение (также Парето-оптимальное) варьирует вдоль равновесного луча и может отклониться от запланированного распределения {xk} . Однако по мере того как равновесные цены неограниченно растут, соответствующее равновесное распределение стремится к равновесию в экономике чистого обмена с начальными запасами {xk} , которое (при наших предположениях) единственно и мало отличается от {xk} . Ясно, что при этом некоторые участники выигрывают от возрастания цен вдоль равновесного луча, а другие проигрывают.
28 В теореме 8 мы показываем, что в нашей модели вальрасовский процесс ценообразования локально устойчив, если распределение {xi} близко к Парето-оптимальному и либо все |q,Δyi| малы, либо начальный вектор цен p0 велик и глобально стабилен, если избыточный спрос удовлетворяет условию валовой заменимости. Однако в то время как стандартный вальрасовский процесс устойчив к инфляции, поскольку, в силу закона Вальраса, dp(t),p(t)/dt=2dp(t)/dt,p(t)=0, в нашей ситуации можно надеяться на сходимость процесса, только если начальный вектор цен достаточно велик.
29 В то время как в модели чистого обмена естественно предположить, что ценообразующий орган беспристрастен, в нашей модели государство осуществляет активную распределительную политику, и правдоподобным выглядит предположение, что оно приписывает индивидуальным функциям избыточного спроса некоторые веса. Это приводит к системе дифференциальных уравнений dp/dt=Eμ(p)=∑i=1m‍μiEi(p), где μi>0, а Ei(p)=fi(p,p,xi-q,Δyi)-xi) ( p‡q ) — функция избыточного спроса участника i по завершении плановых поставок. Представляется разумным выбрать веса μi в зависимости от взаимных поставок, а именно вес нетто-потребителя ( q,Δyi>0 ) должен быть меньше, чем нетто-поставщика ( q,Δyi<0 ). В общей ситуации можно предположить, что веса μi монотонно убывают по мере возрастания стоимости поставок q,Δyi .
30 При указанных выше условиях для функции Eμ(p) соотношение Вальраса не выполняется, и на траекториях нашего процесса ценообразования цены растут. В общем случае линейная система dp/dt=Eμ(p) не имеет устойчивых решений в окрестности равновесных цен, но если распределение {xi} близко к Парето-оптимальному, а p — достаточно большой равновесный вектор цен, то ∥Eμ(p)∥ мало. В теореме 9 мы показываем, что если все участники имеют нормальный спрос, удовлетворяющий условию валовой заменимости, то описанный выше процесс ценообразования глобально устойчив, длина вектора p(t) неограниченно возрастает, а нормализованный вектор цен сходится к решению системы уравнений ∑i=1m‍μi(fi(p,p,xi)-xi)=0 . Если распределение {xi} близко к Парето-оптимальному или все веса близки к 1, то предельный нормализованный вектор цен близок к равновесному вектору цен в модели чистого обмена с начальными запасами {xi} , который, в свою очередь, является пределом нормализованных векторов цен в нашей модели. Отличие от модели чистого обмена в том, что в последней индивидуальные функции избыточного спроса удовлетворяют закону Вальраса, и для взвешенной функции избыточного спроса d∥p(t)∥2/dt=2p(t),Eμ(p(t))=0. В нашей же модели разумный выбор весов приводит к «эндогенной инфляции», связанной с процессом ценообразования, темп которой зависит от весов, и нетто-поставок по твердым ценам. Наш результат показывает, что при определенных условиях этот тип инфляции может играть положительную роль, помогая (хотя бы приблизительно) сбалансировать рынок.
31 2. Описание модели
32 В модели имеется m экономических агентов, между которыми распределяется имеющийся в наличии набор продуктов y∈R+l . Поведение экономического агента i определяется функцией спроса fi:R+l×R¯+1→R¯+l , а именно при рыночных ценах p∈R+l и доходах wi∈R¯+1 спрос составляет fi(p,wi) . Из экономических соображений естественно считать, что fi однородна степени ноль, т.е.
33 fi(λp,λwi)=fi(p,wi),    λ∈R+1,    i=1,…,m (1)
34 и удовлетворяет закону Вальраса
35 p,fi(p,wi)=wi,    i=1,…,m, (2)
36 т.е. каждый экономический агент тратит весь доход на приобретение необходимых продуктов. Кроме того, естественно считать, что
37 fi(p,0)=0,    i=1,…,m. (3)
38 Мы будем предполагать, что функция совокупного спроса f(p,w1,…,wm)=∑i=1m‍fi(p,wi) удовлетворяет следующему условию.
39 Условие желательности (Balasko, 1975). Если pn→p-,    pn∈R+l,    p-j=0 для некоторого 1≤j≤l, lim_  wn>0,    wn=∑i=1m(wi)n, то ‖f(pn;(w1)n,…,(wm)n)‖→∞.
40 Условие желательности означает, что если совокупный доход ограничен снизу положительной константой, то безудержное удешевление некоторых товаров ведет к неограниченному росту совокупного спроса. Условия такого рода неоднократно обсуждались в литературе (Balasko, 1975; Зак, 1981) и представляются довольно реалистичными для больших экономик, допускающих многоцелевое использование ресурсов.
41 Хотя эти требования можно было бы ослабить, мы будем предполагать, что функции спроса fi порождены строго монотонными строго вогнутыми трижды непрерывно дифференцируемыми функциями полезности ui:R¯+l→R1 : fi(p,wi)=argmaxp,x≤wiui(x) . В этом случае функции fi удовлетворяют условиям (1)–(3) и дважды непрерывно дифференцируемы (Debreu, 1972).
42 В нашей модели экономический агент i располагает доходом αi∈R¯+1 , и ему выделены квоты xi∈R¯+l для закупки по твердым («государственным» или субсидированным) ценам q∈R¯+l . Это означает, что — при желании и наличии денег — он может купить по цене qj любое количество продукта j, не превосходящее xij , j=1,…,l (мы не исключаем из рассмотрения важные случаи xij=0 (квоты не выделены) и qj=0 (к этой категории относятся такие товары, как жилье, медицинское обслуживание и т.д., которые — до определенного уровня — оплачиваются из социальных фондов). Подчеркнем, что a priori мы не устанавливаем никаких ограничений на соотношение между вектором доступных товаров y и вектором квотируемых товаров x=∑i=1m‍xi , в то время как казалось бы естественным предположить, что x†y . Дело в том, что на практике распределение квот нередко предшествует реальному производству или импорту продуктов, и если планы не будут выполнены, то государство не сможет выполнить свои обязательства по поставке некоторых товаров (т.е. xj>yj для некоторых j , 1≤j≤l ).
43 Оставшиеся товары (т.е. не выкупленные по ценам q) продаются на свободном рынке по ценам p∈R+l . Участники также могут перепродать по рыночным ценам p некоторые из товаров, ранее купленных ими у государства по твердым ценам q.
44 Экономические агенты станут выкупать свои квоты на товар j, если и только если рыночная цена этого товара выше, чем фиксированная, т.е. pj>qj . Поэтому для исследования состояний равновесия можно считать, что экономический агент i выходит на рынок с денежными средствами wi=αi+(p-q)+,xi , i=1,…,m (где для r∈Rl мы полагаем (r+)j=max{rj,0} , j=1,…,l ), складывающимися из начального дохода αi и денег, вырученных от перепродажи на рынке продуктов, купленных у государства по фиксированным ценам q при условии, что они ниже рыночных цен p. Соответствующий совокупный спрос равен f(p,w1,…,wm)=∑i=1m‍  fip,αi+(p-q)+,xi , а цена p называется равновесной, если спрос равен предложению, т.е.
45 f(p,w1,…,wm)=∑i=1m‍fip,αi+(p-q)+,xi=y. (4)
46 Отметим, что здесь мы не касаемся механизмов краткосрочного кредитования, позволяющих экономическим агентам выкупать свои квоты, даже если у них не хватает денег, — важно, что в результате функционирования рынка при равновесных ценах их задолженности погашаются.
47 2.1. Частные случаи
48 Описанная модель включает в качестве частных случаев модели равновесия в экономике с фиксированными доходами и в экономике чистого обмена. В частности, модель с фиксированными доходами αi получается, если xi=0 , i=1,…,m (квоты не выделены). Однако на самом деле экономики с фиксированными доходами встречаются в нашей модели гораздо чаще.
49 Предложение 1.
50 А. Предположим, что x=∑i=1m‍xi†y , а твердые цены qj настолько велики, что qjyj>α=∑i=1m‍αi , j=1,…,l . Тогда равновесные цены в нашей модели такие же, как в модели с распределяемыми ресурсами y и фиксированными доходами αi , i=1,…,m . В частности, если фиксированные цены достаточно высоки, то в экономике обязательно существует равновесие (см. следствие 4).
51 Б. Для произвольных y>0 , αi≥0 , xi≥0 , i=1,…,m существует вектор цен q- такой, что при q>q- множество равновесных цен p в нашей модели c товарными запасами y , доходами αi , квотами xi и фиксированными ценами q , удовлетворяющих условию p<q , совпадает с множеством равновесных цен в модели с распределяемыми ресурсами y и фиксированными доходами αi , i=1,…,m .
52 Доказательство.
53 А. Суммируя (2) с учетом (4), получаем следующий закон Вальраса для нашей модели:
54 α=p∧q,y+(p-q)+,y-x, (5)
55 где p — произвольная равновесная цена, а « ∧ » обозначает минимум. В условиях предложения q>p , поскольку если бы было pj≥qj , то из (5) вытекало бы, что α≥qjyj . Поэтому условие равновесия (4) переписывается в виде
56 f(p,α1,…,αm)=∑i=1m‍fi(p,αi)=y, (6)
57 т.е. всякая равновесия цена в нашей модели является равновесной ценой в модели с фиксированными доходами. Обратно, если p удовлетворяет (6), то из (2) следует, что α=p,y , так что pjyj<α и pj<α/yj<qj , j=1,…,l , т.е. p удовлетворяет (4) и является равновесием в нашей модели.
58 Б. Пусть P⊂R+l — множество равновесных цен в описанной в Б) модели с фиксированными доходами. Из условия желательности следует, что P компактно и существует вектор q- такой, что p<q- для всякого p∈P . Поскольку участники станут выкупать свои квоты на товар j , если и только если pj>qj>q-j , для всякого p∈P выполнено неравенство p<q (т.е. pj<qj для всех j , 1≤j≤m ). Наше утверждение теперь немедленно вытекает из условия равновесия (4).
59 Замечание 1. Предложение 1 показывает, что экономики с фиксированными доходами встречаются в нашей модели достаточно часто (из параметризации, введенной в следующем разделе, следует что они образуют открытое подмножество в пространстве всех экономик), и из свойств нашей модели мы можем выводить неизвестные ранее свойства модели с фиксированными доходами (см. разд. 4, следствие 4).
60 Замечание 2. Согласно следствию 4 для общей экономики с фиксированными доходами число равновесных цен нечетно. С другой стороны, теорема 3 показывает, что при x>y число равновесий в общей экономике четно. Поэтому в условиях предложения 1 Б) для общей экономики существует равновесный вектор цен p, для которого p<q .
61 Замечание 3. Рассуждение из доказательства предложения 1 Б) доказывает и следующий более общий факт. Пусть J={j1,…,jr} произвольное подмножество товаров. Для произвольных y>0 , αi≥0 , xi≥0 , i=1,…,m существуют цены q-j1,…,q-jr такие, что если qj>q-j при всех j∈J , то множество равновесных цен p в нашей модели c товарными запасами y , доходами αi , квотами xi и фиксированными ценами q , удовлетворяющими условию pj<qj при j∈J , не зависит от квот на товары из J (в частности, при изучении таких равновесных цен можно считать, что товары из J не рационируются).
62 Наш подход к исследованию описанной выше модели основан на том, что она включает в качестве частного случая хорошо исследованные модели чистого обмена.
63 Предложение 2. Предположим, что x=y , и пусть αi=q,xi , i=1,…,m . Тогда равновесные цены в нашей модели имеют вид λp- , где p- произвольная (нормированная) равновесная цена в экономике чистого обмена с начальными запасами xi , а λ∈R+1 таково, что λp-≥q .
64 Доказательство. Из (4) вытекает, что указанные в формулировке предложения цены являются равновесными. Обратно, если p равновесная цена в нашей модели, то из условия предложения и закона Вальраса (5) вытекает, что p∧q=q , т.е. p≥q. Но тогда из (4) и условия предложения вытекает, что p равновесная цена в модели чистого обмена.
65 Замечание 4. В отличие от экономик с фиксированными доходами экономики чистого обмена встречаются в нашей модели редко (образуют замкнутое подмножество меньшей размерности в пространстве параметров Ω , подробно рассматриваемом в следующем разделе), а множество равновесных цен в них по меньшей мере одномерно (выдерживает умножение на произвольное вещественное число t≥1 ).
66 3. Соответствие Вальраса
67 Состояние экономики в нашей модели определяется lm+2l+m параметрами, а именно квотами xij , установленными государством ценами qj , доходами участников αi и ресурсами yj , 1≤i≤m , 1≤j≤l . Таким образом, экономика задается точкой ω в многообразии (с границей) Ω⊂R¯+lm+2l+m , ω=(xij,qj,αi,yj) , xij≥0 , qj≥0 , αi≥0 , yj>0 , 1≤i≤m , 1≤j≤l . Изучение состояний равновесия сводится к исследованию многообразия (с границей)
68 W=(ω,p)∈Ω×R+l|∑i=1m‍fip,αi+(p-q)+,xi-y=0,
69 называемого многообразием Вальраса. Обозначим через π:W→Ω проектирование W⊂Ω×R+l в первый сомножитель. Тогда точки слоя π-1(ω) взаимно однозначно соответствуют равновесным ценам в экономике ω . Важную роль в исследовании нашей модели играет описание точек, в которых отображение π является собственным (т.е. прообраз компакта компакт).
70 Лемма 1. Пусть ω∈Ω — экономика, для которой α=∑i=1m‍αi>0 . Тогда в некоторой окрестности U точки ω в Ω равновесные цены отделены от нуля, т.е. существует константа C>0 такая, что при ω'∈U для всякого равновесного вектора цен p в ω' выполнено неравенство pj>C, j=1,  ...,  l .
71 Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют последовательность экономик ωn→ω и последовательность равновесных цен pn в ωn такие, что pnj→0 для некоторого 1≤j≤l . Но из условия желательности вытекает, что в этом случае ∥f(pn,ωn)∥→∞ вопреки тому, что f(pn,ωn)→y (здесь и далее f(p,ω)=∑i=1m‍  fip,αi+(p-q)+,xi  ).
72 Замечание 5. Отметим, что в граничных точках Ω , исключенных нами из рассмотрения, равновесных цен, как правило, не существует. Так, если α=0 , закон Вальраса (5) показывает, что при x†y (квотируется только часть имеющихся продуктов) обязательно x=y и q=0 , и при этом наша модель сводится к модели чистого обмена с ненормированными ценами.
73 Лемма 2. Пусть ω,ωn∈Ω , ωn→ω , и пусть pn — последовательность равновесных цен в ωn такая, что, для некоторого j , 1≤j≤l , pnj→∞ . Тогда pr=O(ps) для всех 1≤r,    s≤l , т.е. существуют константы 0<c1r,s,    c2r,s<∞ такие, что c1r,s<pnr/pns<c2r,s , и в частности pnr→∞ для всех 1≤r≤l .
74 Доказательство. Предположим противное. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что pns→∞ , pnr/pns→0 . Тогда из (1) следует, что
75 f(pn,ωn)=∑i=1m‍fipnpns,(αi)npns+(pn-qn)+pns,(xi)n,
76 причем (αi)n/pns→0 , pnr/pns→0 . Из условия желательности следует, что
77 wn=αnpns+(pn-qn)+pns,xn→0.
78 Однако закон Вальраса (5) дает
79 wn=αnpns+(pn-qn)+pns,xn=pnpns,yn≥yns.
80 Поскольку yns→ys>0 , получаем противоречие. ■
81 Следствие 1. Пусть WM=W∩∑j=1l‍γjpj=M , где 0≤γj , γ=∑j=1l‍γj>0 , M>0 , т.е. цены нормированы произвольным линейным (хотя это несущественно) способом. Тогда πM=π|WM:WM→Ω собственное отображение.
82 Доказательство. Из леммы 2 вытекает, что в прообразе любого компакта из Ω равновесные цены ограничены. Остается проверить, что они отделены от нуля. В случае когда limαn>0 , это сделано в лемме 1. Если же αn→0 , pnj→0 , то из условия желательности вытекает, что wn=(pn-qn)+,xn→0 . Закон Вальраса (5) показывает, что pn,yn=(pn-qn)+,xn+αn→0 . Но yn→y>0 , и следовательно pn→0 вопреки условию нормировки ∑j=1l‍γjpj=M . ■
83 Предложение 3. Существует гиперповерхность Ω0⊂Ω такая, что для экономики ω∈π(W)⊂Ω , для которой α(ω)≠0 , отображение π является собственным в окрестности ω , если и только если ω∉Ω0 .
84 Доказательство. Предположим, что π не является собственным в окрестности ω . Согласно леммам 1 и 2 можно считать, что существуют последовательность экономик ωn→ω и последовательность равновесных цен pn в ωn такие, что pn l→∞ , pn/pn l→p∈R+l . Поскольку, в очевидных обозначениях, ∑i=1m‍fi(pn,(αi)n+pn-qn)+,(xi)n=yn , используя (1) и переходя к пределу, получаем
85 ∑i=1m‍fi(p,p,xi)=y. (7)
86 Из (3) и (7) следует, что ω∈Ω0 , где
87 Ω0=R¯+m×R¯+l×Ω'0, (8)
88 причем R¯+m параметризует доходы αi , i=1,…,m , R¯+l параметризует цены qj , j=1,…,l, Ω'0={(x1,…,xm,y)|0<y=f(p,p,x1,…,p,xm)    ∃p∈R+l}. Ясно, что Ω'0 открыто и всюду плотно в образе собственного отображения φ:R¯+lm×R¯+l-1 , φ(x1,…,xm,p)=(x1,…,xm,f(p,p,x1,…,p,xm) , где p∈R+l-1⊂R+l , p=(p1,…,pl-1,1) — нормированный вектор цен. Из подсчета дифференциала отображения φ (см., например, (Зак, 1981, предложение 1.8)) немедленно вытекает, что Ω'0 (а, следовательно, и Ω0 ) — гиперповерхность. Осталось проверить, что если ω∈π(W)∩Ω0 , то π не является собственным в окрестности ω . Действительно, пусть f(p,p,x1,…,p,xm)=y . Положим pn=np , qn=q , yn=y , (αi)n=αi ,
89 (xi)n=(1+εin)xi,xi≠0;0,xi=0; i=1,…,m, где εin=q,xi-αinp,xi-q,xi.
90 Тогда ωn=((x1)n,…,(xm)n,    qn1,…,qnl, (α1)n,…,(αm)n,yn1,…,ynl)→ω , pn→∞ , и при достаточно больших n цены pn равновесны в ωn , что и доказывает несобственность π .
91 Следствие 2. Ограничение отображения π на Ω<={ω∈Ω|α(ω)≠0,x(ω)≤y(ω)} и Ω>={ω∈Ω|α(ω)≠0,x(ω)≥y(ω)} собственно.
92 Доказательство. Достаточно проверить, что Ω<∩Ω0=Ω>∩Ω0=∅ . Но при x≤y (соответственно x≥y ) f(p,p,x1,…,p,xm)≠y ни для какого p>0 , поскольку, очевидно, p,x<p,y (соответственно p,x>p,y ). ■
93 Замечание 6. Из условия желательности вытекает, что гиперповерхность Ω0 разбивает Ω на несколько связных областей, среди которых Ω-⊃Ω< и Ω+⊃Ω> . Заметим, что если ω∈Ω0 , x(ω)=y(ω) и распределение {xi(ω)} оптимально по Парето, то для малой окрестности U∋ω выполнено соотношение U=U-∪U0∪U+ , где U0=U∩Ω0 , U-=U∩Ω- , U+=U∩Ω+ . Действительно, в этом случае отображение φ , построенное при доказательстве предложения 3, является диффеоморфизмом в окрестности ω (Зак, 1981, предложения 1.8, 1.9), и из теоремы Жордана–Брауэра вытекает, что гиперповерхность Ω0∩U разбивает U на две компоненты, общей границей которых она является.
94 С экономической точки зрения особый интерес представляет случай, когда x=y , то есть нормируется распределение всех имеющихся продуктов. В этом случае нам потребуется более тонкий анализ собственности π .
95 Следствие 3. Предположим, что α(ω)>0 , x(ω)=y(ω) (так что, в частности, ω∈Ω0). Тогда при α<q,x (соответственно α>q,x ) ограничение π на Ω≤=Ω-<={ω'∈Ω|x(ω')†y(ω')} (соответственно Ω≥=Ω->={ω'∈Ω|x(ω')‡y(ω')}) — собственно в окрестности ω . При этом π(W)∩Ω≥⊂{ω'∈Ω≥|α(ω')≤q,x} . В частности, если ω∈Ω==Ω≤∩Ω≥={ω'∈Ω|x(ω')=y(ω')}, то π(W)∩Ω=⊂{ω'∈Ω=|α≤q,x} и ограничение π на {ω'∈Ω=|α<q,x} собственно.
96 Доказательство. Предположим, что π|Ω≤ π|Ω≥ не является собственным в ω. Тогда из лемм 1 и 2 вытекает, что существуют последовательность экономик ωn∈Ω≤ ωn∈Ω≥ и последовательность равновесных векторов цен pn в ωn такие, что ωn→ω , ∑i=1m‍fipn,(αi)n+(pn-qn)+,(xi)n=yn и pnj→∞ , j=1,…,l . Поэтому для достаточно больших n закон Вальраса (5) приобретает вид αn-qn,xn=pn,yn-xn, откуда и вытекает первое утверждение следствия. Из (5) также следует, что если ω'∈π(W)∩Ω≥ , то
97 α≤p∧q,y≤q,y≤q,x. ■(9)
98 Замечание 7. Из наших последующих результатов (см. теоремы 1 и 2 в разд. 4) вытекает, что достаточные условия в формулировке следствия 3 являются также необходимыми и что Ω<⊂π(W) , π(W)∩Ω=={ω'∈Ω=|α≤q,x}.
99 Одной из наших основных целей является исследование поведения равновесных цен при вариации экономики ω . Введем координаты xij,qj,αi,yj , 1≤i≤m , 1≤j≤l в Ω и координаты xij,qj,αi,pj , 1≤i≤m , 1≤j≤l в W . В этих координатах отображение π задается формулой y=∑i=1m‍fip,αi+(p-q)+,xi . Матрица Якоби π имеет вид
100 dπ=idlm+l+m*0    J, (10)
101 где id — матрица тождественного преобразования; * — матрица порядка (lm+l+m)×l ; J — l×l -матрица, для которой
102 Jjr=∑k=1r‍∂fkrp,αk+(p-q)+,xk∂pj+∂fkrp,αk+(p-q)+,xk∂wkxkjδj, (11)
103 δj=1,pj>qj,0,pj≤qj .
104 В частности, если x=y , αk=q,xk , k=1,…,m и p>q (из (5) вытекает, что при этих условиях всегда p≥q ), то J=∂ζ(p,x1,…,xm)/∂p , где ζ=f(p,p,x1,…,p,xm)-x , и если распределение {xk} оптимально по Парето, то матрица J отрицательно полуопределена, rkJ=l-1 и KerJ=Rp (где, как обычно, rkJ и KerJ обозначают соответственно ранг и ядро матрицы J, а равенство ∂ζ/∂pp=0 не что иное, как формула Эйлера), см. (Зак, 1981, предложение 1.8).