Везде
Optimization of structural dynamics of the economy in the framework of the “input-output” methodology
Table of contents
Annotation Estimate Publication content
References Comments
Share
QR
Metrics
Optimization of structural dynamics of the economy in the framework of the “input-output” methodology
Annotation
PII
S042473880025859-3-1
DOI
10.31857/S042473880025859-3
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Evgeny Toroptsev 
ORCID: 0000-0002-4036-6002
Occupation: professor
Affiliation: North Caucasus Federal University
Address: Stavropol, 355042, Stavropol, 50-letiya VLKSM, 67/3, ap. 8
Marianna Kandokhova
Affiliation: Center for Sustainable Development, Kabardino-Balkar State University
Address: Russia
Natalya Gudieva
Affiliation: Scientific and educational mathematical center "North-Caucasus Center for Mathematical Re-search"
Address: Russia
Edition
Volume 59 No. 2
Pages
26-38
Abstract

The dynamic input-output balance model in the form of a system of differential equations, being digitized by the already published author's methodology, allows solving a wide range of problems of static structural stability of economic systems. Structural dynamics can be optimized by including any variable parameters in the vector and the limit of all model elements. In this paper, inter-sectoral inertias are chosen, and a method is proposed that uses a vector of parameters of an arbitrary (allowed by the model itself) length at the step of the search process. This distinguishes the proposed method from existing ones, making it unique. The uniqueness specified here lies in the removal of the so-called “curse of dimensionality” inherent in the classical optimization problems (numerical search problems) using methods from the coordinate-wise descent to the rich Newtonian-type tools. In this sense, the method is a competitor to machine learning-based optimization of artificial neural networks. At the same time, it does not matter how exactly the task is formalized: it should highlight the target indicators and the vector of variable parameters. It is possible to define and solve many optimization problems by changing the content of the vector of variable parameters according to the corresponding plan of the computational experiment. The paper presents only one example and one optimization stage. The limiting and functional conditions for the operation of the method preserve a linear relationship between the desired increments of the fundamental parts of the eigenvalues of the model state matrix and their sensitivities to control parameters. Such “small” optimization steps are separate and independent problems, the numerical solution of which can be repeated.

Keywords
dynamic input-output balance, digitization, optimization, sensitivities, singular value decomposition of a matrix.
Received
02.06.2023
Date of publication
02.07.2023
Number of purchasers
12
Views
279
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf
Additional services access
Additional services for the article
Services benefits
100 RUB / 1.0 SU
Additional services for the issue
Services benefits
960 RUB / 15.0 SU
Additional services for all issues for 2023
Services benefits
2730 RUB / 61.0 SU
1 1. Модельный базис исследования.
2 Неудовлетворительные структурные (собственные, внутренние) динамические свойства (СДС) являют собой источник системных проблем экономического развития и роста в любой экономике (Дужински, Торопцев, Мараховский, 2017). Указанная «системность проблем» говорит об их многоплановости, объединяющей и материально-техническую базу, и кадровый потенциал (Гринберг, 2015). Сюда же примыкают многочисленные недофинансирования, связанные как с пресловутой «ограниченностью финансовых ресурсов», так и с масштабной коррупцией, которая является компонентой общей современной эрозии человеческого капитала (Гринберг, Рубинштейн, 2008). В этих условиях процессы модернизации, реструктуризации, перехода к новому технологическому укладу и т.п. рискуют иметь черепашьи темпы, и это — в лучшем случае (Глазьев, 2016). Запрос на такие высокие (требуемые, желаемые) показатели СДС, как степень экономического роста, наблюдаемость составляющих движения, управляемость ими, их возбуждаемость в отраслях и иные характеристики, представляется существующим, но неосознанным со стороны рядовых членов общества и естественным, первоочередным — для лиц, принимающих экономические и политические решения (Широв, Янтовский, 2017).
3 В конце концов, высокие характеристики экономической динамики важны не «для галочки» (Светуньков, Абдуллаев, 2009), а как факторы достижения страной лидирующих позиций в мире по всем измеряемым координатам: от обороноспособности до привлекательности для проживания и экономической активности в любых регионах.
4 Показатели СДС вычислимы, а их носителем является динамическая модель межотраслевого баланса (МОБ), формализованная в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
5 Xt=B^  dXt/dt+AXt+Yt,     X0=X0 ,(1)
6 содержащей традиционные обозначения, введенные еще В. Леонтьевым, например из (Леонтьев, 1990, с. 68), где A — матрица коэффициентов прямых материальных затрат; Y(t) — вектор конечного спроса (потребления); X(t) — вектор валовых выпусков по видам экономической деятельности (ВЭД), а вектор B^  dXt/dt характеризует динамику накопления/сокращения всех видов «капитала» в разрезе ВЭД. Матрица B^ с традиционным названием «матрица коэффициентов приростных фондоемкостей» у нас изменилась на «матрицу межотраслевых инерционностей» (о чем — ниже). Здесь следует заметить, что все коэффициенты модели не могут быть безразмерными — это очевидно из уравнения (1), когда его проверка по размерностям коэффициентов и переменных заканчивается неудачей. Такие модели невозможны нигде. В (Торопцев, Мараховский, 2022а, 2022б) мы показали, что элементы матрицы B^ из модели (1) представляют собой межотраслевые инерционности формирования основного капитала в экономике и имеют размерность времени. Эта матрица имеет нулевые элементы, но вырожденной не бывает никогда, если инвестиции следуют во все виды экономической деятельности (ВЭД): связанные звенья экономики инерционны, режимы функционирования отраслей не меняются внезапно, скачком, т.е. все переменные интегрируемы, алгебраических уравнений модель не содержит — все они дифференциальные. В наших работах (Торопцев, Мараховский, 2022а, 2022б) решена и проблема оцифровки модели (1). А если линейно связать валовое производство и конечный спрос соотношением Y(t) = LX(t), где L — матрица, элементы которой определяются нормами потребления и трудоемкости, то модель (1) замыкается по потреблению1. Тогда нормальная форма Коши имеет вид:
1. Технология последовательных согласованных вычислений такой матрицы представлена нами в статье по ссылке в (Дужински, Торопцев, Мараховский, 2018).
7 dXt/dt=GXt,     G=B^-1E-A-L,     X0=X0, (2) где E — единичная матрица.
8 Модель (1) представляет динамический МОБ, записанный по строкам соответствующей таблицы, когда акселератором формализован инвестиционный блок. Можно записать уравнения и по столбцам таблицы баланса, как это делают при получении ценовой модели, представив акселератором блок формирования добавленной стоимости:
9 Xt=ATXt+B  dXt/dt,     X0=X0, (3)
10 где B — невырожденная матрица межотраслевых инерционностей формирования добавленной стоимости; T — символ транспонирования. Следующая формула сообщает форму Коши для модели (3):
11 dXt/dt=GXt,     G=B-1E-AT,     X0=X0. (4)
12 Вектор валового производства X(t) в разрезе отраслей ВЭД представлен в (1) и (3), однако его элементы в (1) отличны от соответствующих им элементов в (3) (различия составляют от долей до примерно десятка процентов). Это видно, например, из данных «Таблиц формирования выпуска товаров и услуг», содержащихся в доступных для скачивания статистических сборниках «Национальные счета России в … годах», где на месте многоточия указывается временной интервал в годах2. Указанное выше дает основание для различения произведенного ( Xprodt в модели (1)) и использованного ( Xusedt в модели (3)) выпуска. Здесь ничего нового: аналогично различают произведенный и использованный ВВП.
2. >>>>
13 Отсылка рассматриваемой модели Леонтьева в семейство «чисто теоретических конструкций» (Суворов, Трещина, Белецкий, 2017) была обусловлена тотальным отсутствием матриц инерционностей из (1) и (3), т.е. невозможностью оцифровки моделей. В противном случае они имели бы хождение в практике межотраслевого анализа. Преодолеть эту ситуацию позволяет обоснованная в (Торопцев, Мараховский, 2022а, 2022б) идея введения в обе модели так называемой базовой матрицы BM (basic matrix). По сути BM является матрицей коэффициентов формирования выпуска товаров и услуг и очевидным образом вычисляется из упомянутой выше одноименной таблицы «затраты–выпуск» далее представлены матрицами. BM обладает тем свойством, что вектор выпуска X является ее собственным вектором, которому соответствует единичное собственное значение, т.е. выполняется равенство BM×X=X . Присутствие BM вместо единичной матрицы E в формулах (2) и (4) исключает появление отрицательных bij , а это могло бы обеспечить обсуждаемым моделям экономический смысл, вычислимость и, соответственно, ведущие роли в задачах анализа и оптимизации структурной макроэкономической динамики (Торопцев, Мараховский, 2022а, 2022б).
14 Преодолеть эту ситуацию позволяют идеи, высказанные в (Торопцев, Мараховский, 2022а, 2022б), а также матричные преобразования того же направления, но уже на основе данных симметричной таблицы «затраты–выпуск» и коэффициентов полных затрат. Этот вопрос не является предметом данной статьи, поэтому его рассмотрение здесь опустим, считая модель оцифрованной, т.е. вычислимой.
15 И последнее во вступительной части. Разработка и применение методов оптимизации в экономике имеют давнюю историю. Многочисленные усилия науки в этом направлении во многом объединяет дисциплина «Исследование операций в экономике». Примером здесь может быть научная монография (Хемди, 2005). Можно начать с фундаментальной работы (Смирнов, Крылов, Канторович, 1933) и перейти от нее к (Канторович, 2011). Исследование Канторовича (Канторович, 2011) объединяет работы автора, посвященные оптимизационным задачам и проблемам экономики.
16 Большой пласт составляют задачи оптимизации на основе метода множителей Лагранжа и его многочисленных модификаций. Здесь сохраняет актуальность классика, представленная монографией (Bertsekas, 1982), переведенной на русский язык в 1987 г. (Бертсекас, 1987), и библиографией, приведенной в ней. Развивают данное направление идеи, изложенные в (Mohajan, 2012; Mohajan, Islam, Moolio, 2013; Mohajan, 2017), принадлежащие одному автору и представляющие результаты комплексирования методов теории множителей Лагранжа и мультипликативных производственных функций. Хорошо представить себе методы оптимизации ньютоновского типа можно с помощью монографии (Dennis, Schnabel, 1983), также переведенной на русский язык в 1988 г. (Деннис, Шнабель, 1988). Частные вопросы поиска оптимальных решений и учета ограничений решаются в работах типа (Касимов, Богатырев, 2009), выход на программные реализации оптимизационных процедур легко находятся при обращении к вычислительным математическом средам MathCAD и MATLAB. Отдельно можно использовать программные модули алгоритма Левенберга–Маркварда на языке Python (Madsen, Nielsen, Tingleff, 2004; Brunet, 2011).
17 Наша оптимизация выполняется в рамках методологии «затраты–выпуск» и на основе динамических моделей МОБ (1) и (3). Проблемы межотраслевого анализа оставались актуальными в экономической науке большую часть XX в., сохранив актуальность и в веке текущем (Колемаев, 2005; Zhang, Chen, 2008; Chen, Guo, Yang, 2004). Повышение интереса к данной тематике обусловило и возобновление разработки «Росстатом» базовых таблиц «затраты–выпуск» российской экономики, начиная с 2011 г. При этом основная масса публикаций обеспечивается усилиями академических структур (ИНП РАН (Баранов, 2017; Ксенофонтов и др., 2018), ЦЭМИ РАН (Андрукович, 2020; Клейнер, 2020; Зарук, Галкин, Светлов, 2019), ИЭОПП СО РАН (Баранов, Широв, 2020; Баранов, Квактун, 2020; Крюков и др., 2020)), ведущими вузами (Миролюбова, Карлина, Николаев, 2020; Доценко, 2019; Петрикова, 2011) и международной группой ИНФОРУМ под руководством Клоппера Алмона (Алмон, 2021; Almon, Grassini, 2010). Ряд материалов обобщающего характера представлен в научном докладе В.В. Ивантера на Международной конференции «Прогнозирование экономического роста» (Ивантер, 2017), проведенной ИНП РАН в 2017 г. в связи с 80-летним юбилеем акад. Ю.В. Яременко. Пример постановки оптимизационной задачи в равновесном моделировании содержится в работе (Ашимов, Айсакова, Алшанов, 2014). Пример анализа динамизма изменения выпусков и экспортно-импортного сальдо можно видеть в (Баранов, Елсакова, Корнева, 2015). Данное сальдо отражает результативность внешнеэкономических связей, взаимодействия которых со структурными трансформациями и инвестиционными процессами исследуют авторы (Суворов, Трещина, Белецкий, 2017).
18 2. Описание критерия и метода оптимизации
19 Первая сложность, сопровождающая постановку задач оптимизации, заключается в определении критерия качества решения таких задач. Невозможно представить, что макроэкономику, объективную реальность экономической жизни можно снабдить единым критерием оптимизации и оптимальности, который согласует все интересы. Вторая сложность, являющая особенность нашей задачи, состоит в определении метода оптимизации (численного поиска) в условиях огромного числа варьируемых параметров. Теоретически любые (возможно, и все сразу) элементы матриц и векторов наших моделей могут составить вектор варьируемых параметров. Вариации отображают результаты воздействия на экономику инвестиционных процессов, прогресса технологий и прочих слагаемых смены технологических укладов (по С.Ю. Глазьеву) (Глазьев, 2012; Кондратьев, Яковец, Абалкин, 2002).
20 В нашем случае наиболее естественным является критерий качества структуры экономики, формируемый на основе спектра собственных значений матрицы состояния G. Цель оптимизации может заключаться в том, чтобы структурные динамические свойства обеспечивали устойчивый и сбалансированный экономический рост, который также называется магистральным. Возможны иные критерии, но тоже на основе алгебраического подхода. Например, при работе с моделью (1) в качестве критерия оптимальности можно, подобно (Позамантир, 2014), выбрать показатель «полезность», который будет равен суммарному откорректированному конечному потреблению. Последнее получается, если элементы конечного потребления умножаются на корректирующие коэффициенты — отношения общественной полезности продукта к его рыночной цене. Но такие коэффициенты предстоит еще как-то получить, желательно единственным, обоснованным, понятным способом. В нашем же случае, так или иначе, оптимальность связана с заданным или желаемым расположением на комплексной плоскости собственных значений матрицы G, которая определяется производственными затратами, инерционностями, конечным спросом и разностью между выпуском товаров и услуг и промежуточным потреблением (валовой добавленной стоимостью, ВДС). Сказанное означает, что если выполненный шаг оптимизации приводит к улучшению асимптотики переходного процесса в смысле роста производства, то мы на правильном пути — присутствует оптимальность.
21 В условиях неприемлемо длинного (для стандартных методов оптимизации типа покоординатного или градиентного спуска, ньютоновских методов, а также процедур, основанных на методе наименьших квадратов (МНК) и его вариантов или на построении линейно-квадратичного регулятора (Крутько, Максимов, Скворцов, 1988)) вектора варьируемых параметров следует, по-видимому, ограничиться рассмотрением варианта процесса оптимизации СДС при малых приращениях варьируемых параметров, сохраняющих линейную связь вида
22 SΔz=Δα, (5)
23 где S — матрица чувствительностей с элементами ∂αi/∂zj ; i=1,  ...,  n;    j=1,  ...,  m. Следует сделать здесь оговорку о том, что в работе не рассматриваются варианты оптимизации на основе искусственных нейронных сетей, алгоритмов машинного обучения — это следующий и относительно самостоятельный этап наших исследований.
24 Матрица S является составляющей из группы показателей СДС экономики в том смысле, что чувствительности, наряду с наблюдаемостями, управляемостями и т.п., есть вычислимые компоненты СДС. Здесь m — длина вектора варьируемых параметров z; Δz — вектор приращений этих параметров; αi — вещественные части собственных значений матрицы состояния модели, в общем случае — это λi,i+1=αi±jωi j=-1 . Пусть αi* — их текущие значения, тогда αi=αi*+Δαi — желаемые значения после оптимизации. Сама оптимизация выполняется за один шаг сразу по всем параметрам. Этими параметрами могут быть либо назначенные, либо все элементы массивов исследуемой модели. Итераций в предлагаемом методе как таковых нет. Они могут выполняться только для установления таких желаемых сдвигов вещественных частей спектра собственных чисел, которые сохраняют линейность связей (5). Формула (5) возникает как часть ряда Тейлора при удержании в ней слагаемого с первыми производными.
25 Даже интуитивно ясно, что вопросы управляемости СДС связаны с их чувствительностью к параметрам модели. Эти параметры включаются в вектор z. Нам сейчас важны функции чувствительности αi от zj . Учитывая, что матрица состояния G может изначально приниматься как диагональной, так и содержать клетки Жордана для описания циклов деловой активности (Торопцев, Мараховский, 2022а, 2022б), будем относиться к ней как к матрице общего вида. Описывать возможные варианты формирования G, как и сам процесс оцифровки модели, мы здесь не станем — статья имеет иное назначение. В таком рассмотрении линейная алгебра сообщает нам следующие связи для правых и левых собственных векторов Ui и Vi  матрицы G соответственно (Уилкинсон, 1970):
26 GUi=λiUi;     GTVi=λiVi , или  ViTG=λiViT. (6)
27 Дифференцирование первого уравнения из (6) дает
28 ∂G∂zjUi+G∂Ui∂zj=∂λi∂zjUi+λi∂Ui∂zj. (7)
29 Умножение (7) справа на ViT , перенос второго слагаемого правой части в левую и очевидная группировка приводят к уравнению
30 ViT∂G∂zjUi=∂λi∂zjViTUi+λiViT-ViTG∂Ui∂zj. (8)
31 Так как второе слагаемое правой части (8), с учетом третьего равенства из (6), равно нулю, то для вычисления чувствительностей получим:
32 ∂λi∂zj=ViT∂G∂zjUi/ViTUi,     ∂G∂zj≈Gzj+Δzj-GzjΔzj . (9)
33 Для формирования матрицы чувствительностей S=∂αi/∂zj размерности n×m надо взять действительные части от (9), ведь именно расположением вещественных частей корней характеристического уравнения на комплексной плоскости определяется асимптотика структурной динамики экономики. Таким образом, матрица S из (5) вычислима, а мы имеем возможность построить процедуру оптимизации СДС на основе формулы (5).
34 После определения линейного прогноза собственных значений в соответствии с αi=αi*+Δαi мы можем вычислить новую (оптимизированную) матрицу инерционностей B, отвечающую новым значениям параметров управления из вектора z. Техника таких вычислений изложена нами в (Торопцев, Мараховский, 2022а, 2022б). Следует заметить, что при решении уравнений прогноза (5) в самых разных прикладных задачах чаще всего возникают ситуации, когда m > n и n > m и матрица S является прямоугольной. Численное решение недоопределенной и переопределенной систем может быть найдено с минимальной нормой, для чего давно и успешно используется сингулярное разложение (процедура SVD с одноименным программным модулем из вычислительных математических сред). Важно, что сингулярное разложение выполняется на основе преобразований, характеризуемых в алгебре тремя определениями: элементарные, устойчивые, ортогональные. Их уникальность состоит в том, что компьютерные реализации не накапливают вычислительных погрешностей. Исторически первое отечественное детальное описание процедуры SVD можно видеть в (Воеводина, 1968). Для широкого круга специалистов надежность и фундаментальность SVD доказана в (Уилкинсон, 1970), а также подтверждена еще в 1970-е годы работами по Национальной программе тестирования математического обеспечения США и такими грандами прикладной математики в целом и линейной алгебры в частности, как Р. Беллман, Д.Х. Голуб, У.М. Кахан, Р. Лоусон Воот, С. Райнш, Х. Рутисхаузер, И. Стюарт, Ш.М. Хенсон, Д.М. Френсис, В.Н. Кублановская, Д.К. Фаддеев, Ф.Р. Гантмахер и др.
35 Решение с минимальной нормой обеспечивает в уравнении (5) минимальную невязку r=SΔz-Δα , т.е. r,r→min с точки зрения МНК. Часто данная невязка вообще нулевая. Требование минимума нормы решения всегда присутствует в нашем случае еще и потому, что с уменьшением длины вектора Δz растет точность модели линейного приближения (5). Дальнейшее уменьшение длины Δz для поддержания линейности связи (5) возможно ценой некоторого роста невязки r . Заметим, что матрица S в общем случае имеет как указанную размерность, так и ранг k — в качестве еще одной характеристики. Тогда для рассмотрения предлагаются следующие случаи:
36 1)  k=n=m;2)  k<n=m;3)  k=m<n;4)  k<m<n; 5)  k=n<m;6)  k<n<m. (10)
37 Сингулярное разложение матрицы S имеет канонический вид (Голуб, Лоун, 1999):
38 S=UΣVT, (11)
39 где U и V — унитарные в общем случае матрицы размерностей n×n и m×m соответственно, содержащие левые и правые сингулярные векторы S; Σ=diagσ1,…,σm размерности n×m , где на диагонали расположены сингулярные числа S, равные неотрицательным квадратным корням собственных значений матрицы STS. Вычисленные сингулярные числа σj представляются упорядоченными в порядке убывания в одномерном массиве для 1≤j≤k , а для k<j≤minn,m σj равны нулю. Здесь мы должны опереться на достижения алгебры, чтобы не отсылать читателя к первоисточникам.
40 С учетом разложения (11) вектор невязки определяется следующим уравнением:
41 r=SΔz-Δα=UΣVTΔz-Δα. (12)
42 Для дальнейшего изложения введем обозначения:
43 Δz¯=VTΔz;     r-=UTr;     Δα¯=UTΔα. (13)
44 С учетом обозначений (13) уравнение (12) принимает вид:
45 r-=ΣΔz¯-Δα¯. (14)
46 Линейная алгебра доставляет нам сведения о таких характеристиках векторов, как их длины и углы между ними. Умножение ортогональных матриц на эти векторы указанных характеристик не меняет. Поэтому для нижеследующих скалярных произведений имеем:
47 r-,r-=r,r;     Δα¯,Δα¯=Δα,Δα;     Δz¯,Δz¯=z,z. (15)
48 Зная структуру матрицы Σ , распишем результаты ее участия в (14) для различных k, n, m:
49 rj¯=σjΔzj¯-Δαj¯,     1≤j≤k; (16)
50 rj¯=0×Δzj¯-Δαj¯,     k≤j≤minn,m; (17)
51 rj¯=-Δαj¯;      minn,m≤j≤n. (18)
52 Анализ случая 1) из (10) позволяет убедиться в том, что решение определяется из уравнений (16), а вот группы уравнений (17) и (18) в данном случае отсутствуют. Для проверки можно воспользоваться непосредственной подстановкой. Невязки здесь точно будут нулевыми, а приращения варьируемых параметров находятся очевидным образом:
53 Δzj¯=Δαj¯/σj,     j=1,…,k;     Δz=VΔz¯. (19)
54 Решение (18) соответствует обычному решению невырожденной системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей.
55 Для случая 3) из формулы (10) задача определения Δz также имеет единственное решение. Только здесь реализация идеи МНК требует участия уравнений (16) и (18). Последнее очевидным образом приводит к ненулевому вектору невязок, однако подавляющее число вариантов оптимизации очевидно ограничивается случаем 5) из формулы (10) с участием (16). Случаи 2), 4) и 6) из формулы (10) с маленьким рангом при поиске решения требуют использования групп уравнений (16) и (17). Однако в этих случаях решение может быть неоднозначным, потому что при рангах меньших m или n для известной части компонент Δzj¯ из уравнений (17) устанавливается произвол выбора значений, и это не влияет на величины невязок. С точки зрения МНК и минимизации нормы решения эти составляющие для уравнений (17) должны приниматься нулевыми. Можно заметить дополнительно, что в случаях 5) и 6) из формулы (10) неоднозначность решения возникает при n<j≤m . Значения Δzj¯ при выполнении последнего неравенства также не влияют на величины невязок и должны приниматься равными нулю.
56 Формула (19) предусматривает деление на сингулярные числа. Чем меньше их величина, тем больше результат деления Δzj¯ . Наконец, величины σj могут войти в конфликт с требованием к точности расчета. Это произойдет тогда, когда величины σj и статистические ошибки исходных данных станут достаточно близки. Если вычисленные с большой долей шума составляющие решения Δzj¯ и Δzj будут использоваться при его формировании, то можно получить эффект развала решения — настолько сильно зашумлены его компоненты.
57 Численный анализ такой задачи предполагает ее декомпозицию, нацеленную на исключение составляющих движения, отвечающих малым σj . Для этого необходимо установить границу τ . Обычно это некоторая малая величина, ориентирующаяся на точность данных используемой статистики (Форсайт, Малькольм, Моулер, 1980). Сопоставление данной границы со значениями σj позволяет обнулить зашумленные составляющие решения Δzj¯ по правилу:
58 – если σj≥τ , то Δzj¯=Δαj¯/σj ;
59 – если σj<τ , то Δzj¯=0,     j=1,  ...,  m ,
60 что предотвращает развал решения.
61 Таким образом, выполняется регуляризация задачи, и определение решения по формуле (19) осуществляется в подпространстве сингулярных чисел, отвечающих условию σj≥τ . Уменьшается эффективное число обусловленности матрицы S. Если изначально оно определялось отношением σmax к σmin , то в условиях декомпозиции задачи эффективное число обусловленности уменьшается, становясь равным отношению σmax к τ . Тогда эффективный ранг матрицы чувствительностей S будет равен числу σj , для которых выполняется неравенство σj≥τ . Приближенные начальные суждения о значении границы τ могут стать основанием для проведения повторных расчетов с целью ее эмпирического уточнения. В этом случае следует стремиться к достижению компромисса между сохранением линейности связей (5) (т.е. надежностью определения вектора Δz ) и растущей невязкой r. При этом сохранение модели линейного приближения (при изначально нелинейной задаче МНК) важнее малости невязки.
62 По завершении декомпозиции задачи решение модели (5) в пространстве оставленных в расчете сингулярных чисел для компоненты с номером j будет иметь вид:
63 Δzj=∑l=1k∑i=1nui,lΔαi/σlvj,l. (20)
64 Наши рассуждения и доводы согласуются с общей нелинейностью связей между желаемыми приращениями из вектора Δα и удовлетворяющими такие желания элементами из вектора Δz . В нашем случае вычисляемые Δzj при задаваемых Δαj являются только линейным прогнозом на основе модели (5). Корректность такого прогноза нуждается в проверке и подтверждении, являясь справедливой только для «достаточно малых» Δzj . «Достаточную малость» следует устанавливать в ходе вычислительного эксперимента. Ясно, что бо́льшие приращения Δα могут повлечь за собой бо́льшие приращения Δz . Их подстановка в модели (1) или (3) может вызвать появление спектра собственных значений G, далеких от ожидаемого, что станет свидетельством сильного нарушения линейности (5). Факт такого нарушения легко проверяется прямым расчетом матрицы G. Изначально экзогенно задаваемые приращения Δαj и так не должны быть большими из-за физических и экономических ограничений достижимости роста валового производства. Более того, интервалы Δαj можно разбить, например, на 10 участков и рассчитать векторы Δz в этих контрольных точках. Таким образом, получится таблица прогнозов, из которой можно будет выбрать приемлемый из математических и инженерно-экономических соображений вариант. Осталось только заметить, что для моделей высокой размерности в оптимизации могут принимать участие не все Δαj , а только назначенные. При этом возможен нежелательный эффект встречного движения участвующих и не участвующих в процессе оптимизации Δαj . Это значит, что у одних составляющих движения показатель степени роста будет увеличиваться, а у других — снижаться. Если это так, то сделавшиеся отрицательными приращения Δαj целесообразно включить в рассмотрение (5), задав им нулевые значения ( Δαj=0 ).
65 И еще одно соображение. Околонулевая чувствительность к вариации собственных чисел позволяет исключить из рассмотрения соответствующие элементы матрицы инерционностей, уменьшая столбцовую размерность матрицы S модели (5), порой значительно.
66 Некоторый практический интерес может представлять задача введения и учета ограничений на варьируемые параметры, которыми в данной работе остаются элементы матрицы межотраслевых инерционностей. Для такого учета можно предложить следующую технологию. Положим, что мы выполняем последовательность одношаговых оптимизаций в соответствии с моделью (5) и на таком шаге/итерации с номером p вычислили вектор приращений параметров Δzp . Инженерно-экономические экспертные соображения практически всегда позволяют с достаточной обоснованностью указать для элементов вектора zp минимально и максимально возможные значения по сравнению c текущими значениями. Тогда по отношению к последним максимально допустимые (permissible) вариации параметров оптимизации определятся следующим образом:
67 Δzjper=zjmax-zj  , Δzjp>0;  Δzjper=zj-zjmin  , Δzjp<0. (21)
68 Далее по данным расчета (21) вычисляются частные вида qj=Δzjp/Δzjper и находится их максимальное значение qmax . Ясно, что при qmax<1 условие
69 zjmin<zj<zjmax (22)
70 выполняется. Когда это не так, то имеются составляющие вектора приращений, покинувшие диапазон ограничений. В этом случае вектор приращений Δzp можно разделить на qmax , выполнив их масштабирование. В дополнение к сказанному отметим: ничто не мешает обсуждаемым параметрам вернуться в диапазон (22) на следующих шагах оптимизации. Если же возврата не происходит, то их значения на шаге j фиксируются и они исключается из оптимизации. Вычисленный вектор Δz модели (5) позволяет сформировать новую матрицу инерционностей B, вычислить с ее участием матрицу состояния G и рассчитать ее собственные числа. Расчет собственных значений позволяет проверить наш прогноз их перемещения в комплексной плоскости и внести коррективы, если они потребны. Таким образом, цикл замкнулся, можно вычислять новые элементы матрицы чувствительностей S из (5) и продолжать оптимизацию.
71 3. Вычислительный эксперимент
72 Вычислительный эксперимент, подтверждающий работоспособность предложенной процедуры оптимизации, выполнялся на основе данных статистического сборника «Национальные счета России в 2014–2018 годах» (Росстат, 2019). Мы брали статистику 2016 г., для того чтобы потом можно было сравнить результаты моделирования при размерности массивов (20×20) с таковыми же при размерности (98×98) в базовых таблицах «затраты–выпуск» с сайта «Росстата». Нами использовались таблицы формирования выпуска товаров и услуг и авторская техника последовательных согласованных преобразований и расчетов, представленная в работах (Торопцев, Мараховский, 2022а, 2022б). Построение матрицы чувствительностей S по формуле (9), при том что все элементы B вошли в вектор варьируемых параметров, показало, что сколь-нибудь существенное сокращение ее размерности по столбцам возможно, но нецелесообразность этого надо всякий раз обосновывать результатами анализа S. В данной работе мы не будем этим заниматься. Сообщим только, что наша S не содержит столбцов, все элементы которых были бы близки к машинному нулю. За сокращение размерности придется заплатить большими приращениями ( Δbij ) оставшихся для участия в оптимизации элементов B для достижения от нее того же эффекта.
73 Матрица межотраслевых инерционностей B в результате выполнения шага оптимизации получила приращения ΔB , сформированные в виде матрицы (20×20) из вектора решения Δz модели (5) длиной 400 элементов. Для лучшей обозримости приращения представлены на рисунке. Наиболее значимые отрицательные приращения естественным образом расположены на диагонали. Они играют ведущую роль при оптимизации СДС, уменьшая инерционности формирования добавленных стоимостей профильной для отраслей продукции, тогда как инерционности создания этих стоимостей при производстве непрофильной продукции оказывают значительно меньшее влияние на результат оптимизации.
74

75 Рисунок. Графическое представление приращений межотраслевых инерционностей на шаге оптимизации
76 Приращения собственных значений задавались на основе анализа чувствительностей, но с ориентацией на уровень 10-3. Малые приращения обусловлены необходимостью гарантировать линейность модели (5), а результат шага такой оптимизации представлен в таблице. Контрольные суммы спектра суммы собственных значений матрицы состояния межотраслевой модели, приведенные в таблице, свидетельствуют о склонности к росту валового производства уже при малом шаге оптимизации. Выполненный шаг легко позволяет определить, что полученные приращения инерционностей увеличивают валовое производство на 1,1%. Выполнение следующих шагов позволяет идти по пути увеличения роста, однако увлечение оптимизацией непременно приведет к результатам, не имеющим отношения к экономической жизни. Завершение этого процесса находится в руках исследователя. Здесь следует обратить внимание на актуальность постановки и решения задачи перевода элементов Δbij в термины инвестиционного проектирования, в интерпретации этих элементов в плоскости анализа и оценки влияния инвестиционных проектов на рост валового производства, валовой добавленной стоимости, на экономический рост. Но это задача — вне рамок нашей статьи.
77 Таблица. Собственные значения матрицы состояния до и после шага оптимизации
78
До оптимизации После оптимизации Разность Δλ
0,1310 0,1255 0,1250 0,1230 0,1020 0,1000 0,0990 0,0960 0,0940 0,0935 0,0930 0,0890 0,0850 0,0840 0,0810 0,0740 0,0700 0,0660 0,0650 0,0580 0,1380 0,1337 0,1322 0,1319 0,1111 0,1084 0,1071 0,1022 0,0976 0,0961 0,0955 0,0917 0,0877 0,0854 0,0814 0,0745 0,0705 0,0668 0,0655 0,0595 0,0070 0,0082 0,0072 0,0089 0,0091 0,0084 0,0081 0,0062 0,0036 0,0026 0,0025 0,0027 0,0027 0,0014 0,0004 0,0005 0,0005 0,0008 0,0005 0,0015
∑λ=1,854 ∑λ=1,937 ∑Δλ=0,083
79 Источник: расчеты авторов.
80 Заключение
81 Завершая данное изложение, отметим, что в настоящей работе предложен метод оптимизации/повышения собственных динамических свойств экономических систем, формализованных динамическим межотраслевым балансом в виде системы дифференциальных уравнений. При этом оптимизация выполняется за один шаг решением модели (5), а длина вектора варьируемых параметров модели ограничена только ее размерностью и в этом смысле может быть произвольной при сохранении высокой работоспособности метода. Такой вычисленный или модельный рост структурной эффективности экономики предоставляет только некоторые необходимые условия общего экономического роста. Достаточные условия этого роста создаются контуром управления, в котором формируется экономическая политика и принимаются экономические решения.

References

1. Almon Cl., Grassini M. (2010). The changing structure of employment in Italy 1980–2010: Can investment affect the outcome? INFORUM Working Papers.

2. Almon K. (2021). The Art of economic modeling. Moscow: INP RAS, MAX Press (in Russian).

3. Andrukovich P.F. (2020). Notes on the principles of constructing models for forecasting economic indicators (on the example of the forecast system “prorosec”). Economics and Mathematical Methods, 56, 2, 66–76 (in Russian).

4. Ashimov A.A., Aisakova B.A., Alshanov R.A. (2014). Parametric regulation of economic growth based on non-autonomous computable general equilibrium models. Automation and Remote Control, 6, 69–85 (in Russian).

5. Baranov A.O. (2017). Recovery from the crisis and prospects for economic growth in Russia in 2018–2019. ECO Journal, 12, 5–17 (in Russian).

6. Baranov A.O., Kvaktun M.I. (2020). Forecasting accelerated renewal of fixed capital in Russia using a dynamic intersectoral model. Studies on Russian Economic Development, 2, 48–59 (in Russian).

7. Baranov A.O., Shirov A.A. (2020). Economic policy of Russia in the intersectoral and spatial di-mension: Materials of the 2nd conference of INP RAS and IEPP SB RAS on intersectoral and regional analysis and forecasting. Novosibirsk: Publishing House of IEOPP SB RAS (in Russian).

8. Baranov E.F., Elsakova A.V., Korneva E.S. (2015). Decomposition analysis based on input-output tables from the WIOD database. Moscow: Publishing House of the Higher School of Economics (in Russian).

9. Bertsekas D. (1982). Constrained optimization and multiplier methods. New York, London: Aca-demic Press, Inc.

10. Bertsekas D. (1987). Constrained optimization and lagrange multiplier methods. Transl. from the English. Moscow: Radio i Svjaz'. 400 p. (in Russian).Originally published by Academic Press, 1982.

11. Brunet F. (2011). Basics on Continuous Optimization. Available at: https://www.brnt.eu/phd/node10.html

12. Chen X., Guo J., Yang C. (2004). Chinese economic development and input-output extension. In-ternational Journal of Applied Economics and Econometrics, 12, 1, 43–88.

13. Dennis J.E., Schnabel R.B. (1988). Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations (Prentice-Hall, 1983). Moscow: Mir (in Russian).

14. Dennis J.E., Schnabel R.B. (1983). Numerical methods for unconstrained optimization and nonli-near equations. New Jersey: Prentice Hall Inc.

15. Dotsenko E.Yu. (2019). Structural inertia as a methodological tool for the study of structural shifts in the economy. Economics and Innovation Management. Scientific & Practical Journal, 1, 4–17 (in Russian).

16. Duszynski R.R., Toroptsev E.L., Marakhovsky A.S. (2018). Integration of information and ana-lytical opportunities of equilibrium and dynamic input-output models. Economic Analysis: Theory and Practice, 17, 4, 736–753. DOI: 10.24891/ea.17.4.736 (in Russian).

17. Duszynski R.R., Toroptsev E.L., Marakhovsky A.S. (2017). Systemic problems of economic growth in modern Russia. Economic Analysis: Theory and Practice, 16, 2, 204–220 (in Rus-sian).

18. Forsythe J., Malcolm M., Mouler K. (1980). Machine methods of mathematical calculations. Moscow: Mir (in Russian).

19. Glazyev S.Yu. (2012). The modern theory of long waves in the development of the economy. Eco-nomics of Contemporary Russia, 2 (57), 8–27 (in Russian).

20. Glazyev S.Yu. (2016). Applied results of the theory of world economic patterns. Economics and Mathematical Methods, 52, 3, 3–21 (in Russian).

21. Golub J., Lone C.W. (1999). Matrix calculations. Moscow: Mir (in Russian).

22. Grinberg R.S. (2015). The economy of modern Russia: Status, problems, prospects. Overall results of the system transformation. Journal of Globalization Studies, 1 (15), 166–182 (in Russian).

23. Grinberg R.S., Rubinstein A.Ya. (2008). The foundations of a mixed economy. Economic soci-odynamics. Moscow: IE RAS (in Russian).

24. Hemdi A.T. (2005). Introduction to operations research. 6th ed. Trans. from the English. Moscow: Williams (in Russian).

25. Ivanter V.V. (2017). Structural and investment policy for sustainable growth and modernization of the economy. Moscow: INP RAS (in Russian).

26. Kantorovich L.V. (2011). Selected works. Economic and mathematical works. S.L. Sobolev Insti-tute of Mathematics, SB RAS (in Russian).

27. Kasimov A.A., Bogatyrev A.V. (2009). Optimization of the resource policy of the enterprise. Rus-sian Journal of Entrepreneurship, 10, 4, 46–50 (in Russian).

28. Kleiner G.B. (2020). The intellectual economy of the digital age. Economics and Mathematical Methods, 56, 1, 18–33 (in Russian).

29. Kolemaev V.A. (2005). Economic and mathematical modeling. Modeling of macroeconomic processes and systems. Moscow: UNITY-DANA (in Russian).

30. Kondratiev N.D., Yakovets Yu. V., Abalkin L.I. (2002). Large cycles of conjuncture and the theory of foresight. Selected works. Moscow: Ekonomika (in Russian).

31. Krutko P.D., Maksimov A.I., Skvortsov L.M. (1988). Algorithms and programs for designing automatic systems. Moscow: Radio i Svjaz' (in Russian).

32. Kryukov V.A., Baranov A.O., Pavlov V.N., Suslov V.I., Suslov N.I. (2020). Problems of devel-opment of a single set of tools for macroeconomic interregional intersectoral analysis and forecasting. Economy of Region, 16, 4, 1072–1086 (in Russian).

33. Ksenofontov M.Yu., Shirov A.A., Polzikov D.A., Yantovsky A.A. (2018). Estimation of multip-licative effects in the Russian economy based on input-output tables. Studies on Russian Economic Development, 2 (167), 3–13 (in Russian).

34. Leontiev V.V. (1990). Economic essays. Theory, research, facts and policies. Moscow: Politi-cheskaja literatura (in Russian).

35. Madsen K., Nielsen H.B., Tingleff O. (2004). Methods for non-linear least squares problems. 2nd ed. Informatics and Mathematical Modelling (IMM), Technical University of Denmark (DTU), Lyngby.

36. Mirolyubova T.V., Karlina T.V., Nikolaev R.S. (2020). Digital economy: Problems of identifica-tion and measurement in the regional economy. Economics of Region, 16, 2, 377–390 (in Russian).

37. Mohajan H.K. (2012). Aspects of mathematical economics, social choice and game theory. PhD Dissertation, Lambert Academic Publishing, Germany.

38. Mohajan H.K. (2017). Optimization models in mathematical economics. Journal of Scientific Achievements, 2 (5), 30–42.

39. Mohajan H.K., Islam J.N., Moolio P. (2013). Optimization and social welfare in economics. Saarbrücken: Lambert Academic Publishing, Germany.

40. Petrikova E.M. (2011). Interrelation of indicators of payment and intersectoral balances. Voprosy Statistiki, 7, 59–68 (in Russian).

41. Pozamantir E.I. (2014). Computable general equilibrium of the economy and transport (transport in a dynamic intersectoral balance). Moscow: Poli Print Servis (in Russian).

42. Shirov A.A., Yantovsky A.A. (2017). Inter-industry macroeconomic model of RIM — develop-ment of tools in modern Russian conditions. Studies on Russian Economic Development, 162, 3, 3–19 (in Russian).

43. Smirnov V.I., Krylov V.I., Kantorovich L.V. (1933). Calculus of variations. Leningrad: Kubuch (in Russian).

44. Suvorov N.V., Crack S.V., Beletsky Yu. V. (2017). Balance and factor models as a tool for ana-lyzing and forecasting the structure of the economy. Moscow: MAKS Press (in Russian).

45. Svetunkov S.G., Abdullaev I.S. (2009). Economic dynamics and production functions. Vestnik of the Orenburg State University, 5 (99), 110–114 (in Russian).

46. Toroptsev E.L., Marakhovsky A.S. (2022a). Analysis of macrostructural dynamics within the framework of the input-output methodology. Journal of the New Economic Association, 1 (53), 12–30 (in Russian).

47. Toroptsev E.L., Marakhovsky A.S. (2022b). Structural inertia of economic systems. Economics and Mathematical Methods, 1, 58, 38–47 (in Russian).

48. Vojvodina V.V. (1968). Rounding errors in algebraic processes. Moscow: VC MSU (in Russian).

49. Wilkinson J. (1970). Algebraic problem of eigenvalues. Moscow: Nauka (in Russian).

50. Zaruk N.F., Galkin M.S., Svetlov N.M. (2019). Methodology of investment attractiveness analy-sis using economic and mathematical methods: Intersectoral aspect. Economy, Labor, Man-agement in Agriculture, 11, 63–76 (in Russian).

51. Zhang H., Chen X. (2008). An extended input-output model on education and the shortfall of hu-man capital in China. Economic Systems Research, 20, 2, 205–221.

Comments

No posts found

Write a review
Translate