О влиянии избыточного документооборота на трудовую активность сотрудника бюджетной организации

Цуриков Владимир И.

doi:10.31857/S042473880024882-9

1

ВВЕДЕНИЕ

2

Статья посвящена вопросу влияния избыточного документооборота на трудовую активность сотрудника бюджетной организации. Анализируемое влияние обусловлено возможностью чиновника обременять сотрудников нижестоящей или подконтрольной бюджетной организации написанием различных отчетов, разработкой и составлением разнообразных справок, планов, программ, заполнением анкет, таблиц и т.п. Эту проблему удачно обозначил на XVIII Общероссийском форуме, проходившем в октябре 2019 г. в Санкт-Петербурге, Максим Орешкин, руководивший в то время Министерством экономического развития РФ.

3

«“Госаппарат тратит огромное количество времени и ресурсов на ненужную отчетность, это одно из препятствий на пути к реализации национальных целей”, — считает глава Минэкономразвития РФ Максим Орешкин. В качестве примера избыточного “бумажного” регулирования он назвал число справок, которые приходится готовить по требованию Счетной палаты»¹.

1. См. (Орешкин предложил Кудрину …, 2019).

4

«Среди других проблем министр выделил сложность бюрократических процедур и отчетности. По каждому нацпроекту сотрудники министерства регулярно отправляют справки. “Все это происходит на бумаге, каждый раз происходит зачастую в новой форме, под новым углом. Сотрудники сидят и пишут-пишут-пишут, отправляют”, — отметил министр. В качестве примера Максим Орешкин вспомнил шпиона Ми-6 Кима Филби, который работал на советскую разведку: “Когда мой сотрудник начинал активно вести работу — вербовать агентуру, выявлять резидентов, я заваливал его никому ненужной бумажной рутиной, и его активность очень быстро сводилась на нет. Я горжусь тем, что лично разработал и ввел несколько новых форм отчетов”»².

2. «Максим Орешкин рассказал о проблемах реализации нацпроектов» (Министерство экономического развития РФ, >>>>

5

На сложившуюся избыточность документооборота указывают сотрудники и других бюджетных организаций. В последние годы в научной литературе появилось немало статей, посвященных проблеме засилья отчетности в высшей и средней школе.

6

Например, в исследовании (Вольчик и др., 2016), основу которого составило 50 глубинных интервью, взятых у студентов, преподавателей и руководителей организаций высшего образования Ростовской области, одна из задач состояла в выделении институциональных изменений в высшем образовании. Авторы пришли к выводу, что в качестве одного из важнейших изменений респонденты усматривают бюрократизацию. В качестве примеров приводятся следующие высказывания респондентов: «Огромное количество ненужной, бессмысленной работы», «Эта нагрузка не связана с преподаванием, она бессмысленна», «Мы тратим так много сил и времени на обеспечение учебного процесса, что до самого процесса часто руки просто не доходят» (Вольчик и др., 2016, с. 65).

7

Бессмысленность отчетной нагрузки в вузе, непродуктивная трата сил и времени преподавателя на ее выполнение в ущерб учебной и научной работы, необходимость дебюрократизации деятельности высшей и средней школы, отрицательные последствия реформ отмечаются в работах (Тамбиянц, Шалин, 2021; Осипов, 2020; Тощенко, 2019; Курбатова, Донова, 2019; Амбарова, 2018; Смолин, 2015; Слива и др., 2015). Показателен следующий результат Интернет-анкетирования 450 вузовских преподавателей: «Три четверти опрошенных преподавателей (74,5%) посчитали, что в первую очередь необходимо уменьшить учебную нагрузку и сократить количество отчетной документации» (Красинская, 2016, с. 77).

8

Исследование бюрократизации учебного процесса в общеобразовательных школах Мясниковского района Ростовской области показало, что наибольшее число запросов поступает в школы из районного отдела образования, причем большинство из них — это ретранслированные запросы из областного Министерства образования. К ним относятся запросы многочисленных отчетов и фотоотчетов «о проведении Всероссийских тематических уроков и образовательных событий, приуроченных к государственным и национальным праздникам Российской Федерации, памятным датам российской истории и культуры, а также памятным датам и событиям Ростовской области» (Каплун, Труханович, 2020, с. 93).

9

Отвечая на вопрос, насколько остра проблема отчетности, председатель Комитета Государственной думы по образованию Вячеслав Никонов сказал: «Да просто стон вселенский стоит во всех образовательных организациях, особенно после перехода на программные, проектные методы финансирования. Организации готовят в год порядка 300 отчетов, что больше количества рабочих дней в году, с числом показателей около 15 тысяч. Из них около 80 процентов первично заполняется непосредственно педагогическими работниками» (Никонов, 2015).

10

Бюрократизация проникла не только в образование. Например, в работе (Фризен, 2019, с. 346) указывается излишняя бюрократизация в органах внутренних дел, которая существенным образом влияет на эффективность реализации управленческой функции государства. При этом возрастающий документооборот свидетельствует о постепенном увеличении нагрузки на руководящий и личный состав по исполнению документов и организации переписки.

11

Вопрос о бюрократизации науки поднимался на заседании Совета по науке и образованию, состоявшемся 20 декабря 2013 г. Вот цитата из выступления В.Е. Фортова, возглавлявшего в то время РАН: «Бюрократизм, волокита, бумаготворчество, а на самом деле безответственность, мелочная опека и диктат махрового чиновника превратились сегодня у нас в тяжелейшую, всеми признанную проблему, от этого страдают буквально все. Бюрократия кардинально снижает эффективность нашей работы, почти не оставляя времени для реальных исследований, убивает научную инициативу, творчество и губительным образом сказывается на конкурентной способности науки нашей страны»³.

3. Цитата приводится по стенографическому отчету: >>>>

12

В данной статье не ставится задача анализировать методы и результаты реформирования научной и образовательной деятельности. Этим вопросам посвящены работы (Голик, 2021; Курбатова, Левин, Саблин, 2021; Тамбовцев, 2020; Протасов, 2017; Курбатова, 2016; Тамбовцев, Рождественская, 2014). Наша задача состоит только в том, чтобы, исходя из предположения (очень похожего на достоверный факт) о существовании в бюджетных организациях избыточного документооборота, показать, что простая личная заинтересованность в получении справок и отчетов вполне заурядного рядового чиновника может играть роль основной причины, порождающей неудержимый вал отчетности, действительно способный создать серьезное препятствия на пути достижения национальных целей.

13

Такая задача может рассматриваться в качестве частного случая проблемы принципал-агентских отношений, возникающей в случае, когда агент, преследующий личные цели, выполняет поручение принципала в условиях асимметрично распределенной информации (Holmstrom, Milgrom, 1991; Furubotn, Richter, 2000). Фигурирующий в предлагаемой модели агент (нижестоящий сотрудник бюджетной организации) обладает определенным информационным преимуществом, в силу которого принципал (вышестоящий сотрудник) и требует от него предоставления тех или иных справок. Принципал способен конвертировать получаемые от агента данные в собственную полезность, но при этом несет издержки, обусловленные необходимостью составления инструкции (задания) для агента и обработки полученной информации.

14

В модели не предполагается оплаты оказываемых агентом услуг. Государственный служащий использует административный ресурс, и, соответственно, решаемая в статье задача относится к задачам экономики бюрократии, основные положения которой были сформулированы в работах (Tullock, 1965; Downs, 1967; Niskanen, 1968, 1975). По типологии мотивов бюрократов, предложенной Энтони Даунсом, рассматриваемый нами невраждебный чиновник является карьеристом («эгоистический чиновник»), преследующим исключительно личные цели — собственные престиж, власть, доход (Downs, 1967, p. 88).

15

К настоящему времени этот раздел экономики широко представлен математическими моделями, описывающими поведение бюрократа такого типа. В первую очередь — это модели особенностей коррупционного поведения чиновника в зависимости от его рода деятельности и таких факторов, как отношение к риску, степень неопределенности, наличие/отсутствие конкурентов, вероятность наказании и т.п. Например, Сьюзан Роуз-Аккерман разработала ряд моделей поведения коррумпированного чиновника, наделенного полномочиями заключать контракты на поставку продукции (Rose-Ackerman, 1978), а в моделях (Cadot, 1987) исследуется поведение чиновника, выдающего по результатам тестирования разрешение на осуществление некоторой деятельности. В работе (Choi, Thum, 2005) показана взаимосвязь бюрократической коррупции с развитием теневого сектора экономики.

16

Помимо работ, посвященных анализу коррупционного поведения эгоистического чиновника, исследуется роль бюрократов других типов (Abbott et al., 2001; Gailmard, Patty , 2007); изучается связь качества бюрократии и мотивации чиновников с политическими неудачами (Park, 2021) и экономическим развитием (Besley et al., 2022); ищутся причины низкой эффективности бюрократии. Например, в статье «Пределы бюрократической эффективности» автор (Prendergast, 2003), опираясь на построенную им математическую модель, анализирует причины широкого использования бюрократами таких инструментов, как бездействие, игнорирование законных жалоб, бессистемный мониторинг, общий низкий уровень исправления ошибок, затягивание процесса принятия решений и предоставление особо некомпетентным бюрократам возможности подвергаться незначительной проверке после жалобы. По мнению (Prendergast, 2003), подобные бюрократические практики обусловлены не присущей бюрократам неэффективностью как таковой, а природой благ, которые распределяют бюрократы и отсутствием легкодоступных показателей эффективности работы бюрократа и его стремлением избежать расследования своих действий.

Помимо работ, посвященных анализу коррупционного поведения эгоистического чиновника, исследуется роль бюрократов других типов (Abbott et al., 2001; Gailmard, <a target=_blank href="https://www.researchgate.net/scientific-contributions/John-W-Patty-72882754">Patty</a> , 2007); изучается связь качества бюрократии и мотивации чиновников с политическими неудачами (Park, 2021) и экономическим развитием (Besley et al., 2022); ищутся причины низкой эффективности бюрократии. Например, в статье «Пределы бюрократической эффективности» автор (Prendergast, 2003), опираясь на построенную им математическую модель, анализирует причины широкого использования бюрократами таких инструментов, как бездействие, игнорирование законных жалоб, бессистемный мониторинг, общий низкий уровень исправления ошибок, затягивание процесса принятия решений и предоставление особо некомпетентным бюрократам возможности подвергаться незначительной проверке после жалобы. По мнению (Prendergast, 2003), подобные бюрократические практики обусловлены не присущей бюрократам неэффективностью как таковой, а природой благ, которые распределяют бюрократы и отсутствием легкодоступных показателей эффективности работы бюрократа и его стремлением избежать расследования своих действий.

17

Интересно отметить, что бюрократизация, охватившая бюджетные организации, не является отечественным ноу-хау. Результаты исследования (Coccia, 2009), проведенного на основе данных, взятых из ежегодников Итальянского национального института статистики за 1991–2004 гг. и отчетов Итальянского национального исследовательского совета, позволяют сделать вывод о том, что сотрудники итальянских научно-исследовательских учреждений и университетов так же страдают от возрастающего документооборота и избыточного администрирования, как российские ученые и преподаватели.

18

Предлагаемая в статье математическая модель анализирует то влияние на трудовую активность сотрудника бюджетной организации, которое может оказывать как обычный, не преследующий каких-то враждебных целей чиновник, так и враждебный чиновник, сознательно стремящийся нанести ущерб деятельности бюджетной организации.

19

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ

20

Сделаем два важных замечания.

21

Замечание 1. Предлагаемая модель описывает взаимодействие двух индивидов: агента и чиновника. Агент — сотрудник бюджетной организации (т.е. подконтрольной), не имеющий возможности игнорировать требования своего руководства составлять тот или иной документ. Чиновник — представитель контролирующей организации (т.е. органов государственного управления или вышестоящей организации), имеющий возможность требовать от подконтрольной организации предоставления в назначаемый им срок документов, составленных по предлагаемой им форме. Между агентом и чиновником не предполагается наличия непосредственной связи. Их взаимодействие может осуществляться через одно или несколько иерархических звеньев. Суть взаимодействия состоит исключительно в следующем: чиновник направляет свои усилия на разработку формы документа, составление задания для агента и последующую работу с уже полученным от агента материалом, а агент прилагает свои усилия для выполнения соответствующего задания.

Замечание 1. Предлагаемая модель описывает взаимодействие двух индивидов: агента и чиновника. Агент — сотрудник бюджетной организации (т.е. подконтрольной), не имеющий возможности игнорировать требования своего руководства составлять тот или иной документ. Чиновник — представитель контролирующей организации (т.е. органов государственного управления или вышестоящей организации), имеющий возможность требовать от подконтрольной организации предоставления в назначаемый им срок документов, составленных по предлагаемой им форме. Между агентом и чиновником не предполагается наличия непосредственной связи. Их взаимодействие может осуществляться через одно или несколько иерархических звеньев. Суть взаимодействия состоит исключительно в следующем: чиновник направляет свои усилия на разработку формы документа, составление задания для агента и последующую работу с уже полученным от агента материалом, а агент прилагает свои усилия для выполнения соответствующего задания.

22

Замечание 2. Для того чтобы не утяжелять получаемые в модели формулы излишними коэффициентами, будем считать все используемые величины безразмерными.

23

Представим доход агента в виде суммы двух частей. Первая — фиксированная заработная плата

D_{0}

, начисляемая ему за определенный минимальный размер прилагаемых усилий

σ_{0}

. Кроме этого агент может проявить активность и за счет своих дополнительных усилий⁴ сформировать вторую часть дохода, размер которой пропорционален его дополнительным усилиям

σ_{a k}

. Общий объем усилий агента, направленных на создание дохода, представим в виде

4. На практике оплата труда в бюджетной организации чаще всего принята в повременной форме или в сочетании повременной и сдельной. Здесь используется термин «усилия» — как принято в экономической теории контрактов вследствие того, что он точнее отражает суть дела, так как повременной принцип оплаты не исключает отсутствия каких-либо усилий работника, когда он просто отсиживает время на работе.

Представим доход агента в виде суммы двух частей. Первая — фиксированная заработная плата 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, начисляемая ему за определенный минимальный размер прилагаемых усилий 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
. Кроме этого агент может проявить активность и за счет своих дополнительных усилий4 сформировать вторую часть дохода, размер которой пропорционален его дополнительным усилиям 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>k</mi></mrow></msub></math>
. Общий объем усилий агента, направленных на создание дохода, представим в виде

24

σ = σ_{0} + σ_{a k}

.(1)

25

Если использовать линейную шкалу стимулирования активности, то для всего дохода агента получим выражение

26

D = D_{0} + K (σ - σ_{0})

,(2)

27

где

K (σ - σ_{0})

— составляющая дохода, которая образуется за счет дополнительных усилий, обусловленных активностью агента. Если речь идет исключительно о доходе в виде оплаты труда, то коэффициент пропорциональности K имеет смысл размера (нормы) оплаты единицы усилий агента. В качестве единицы усилий можно рассматривать усилия, приложенные в течение учебного или календарного года. К примеру, у преподавателя вуза или школы эта составляющая дохода может формироваться за счет проведения дополнительных платных курсов или часов, оплачиваемой подготовки учащихся к экзамену, конкурсу или олимпиаде, премий за публикационную активность и т.п.

28

В гипотетическом случае отсутствия какого бы то ни было внешнего (чиновничьего) участия, зависимость издержек агента от размера его усилий можно представить в виде возрастающей и строго выпуклой вниз функции:

29

I = 0,5 σ^{2}, σ \geq σ_{0} .

(3)

30

Множитель

0,5

выбран для краткости, так как с ним норма роста предельных издержек прилагаемых агентом усилий (

I' = σ

) равна 1, что избавляет от необходимости увеличивать число используемых коэффициентов.

31

Обозначим прилагаемые для выполнения требований чиновника неоплачиваемые усилия агента через

σ_{b}

. Так как над документом трудятся и чиновник, и агент, то объем этих усилий агента пропорционален усилиям чиновника, т.е.

32

σ_{b} = a x

,(5)

33

где коэффициент пропорциональности

a > 0

,

x

— размер усилий чиновника. Заметим, что значение коэффициента пропорциональности a определяется не только профессиональными качествами агента, но и волей чиновника. Например, в школу спускается распоряжение департамента образования представить в определенный срок некую справку об учащихся, которая может содержать как 10 пунктов, так и 100 или 200.

34

С учетом введенных обозначений выражение для чистого дохода (выигрыш)

U_{i}

агента i примет вид

35

U_{i} = D_{i 0} + K_{i} (σ_{i} - σ_{i 0}) - 0,5 (σ_{i} + a_{i} x)^{2} .

(6)

36

Сотрудник бюджетной организации может получать определенное моральное удовлетворение от выполнения некоторых видов формально неоплачиваемой работы. Например, он может из чисто внутренних побуждений, добровольно и без всякой оплаты выполнять обязанности члена диссертационного совета или редакционной коллегии, состоять в той или иной комиссии либо комитете по организации и проведению конкурса, олимпиады, конференции, осуществлять работу рецензента, безвозмездно проводить научные исследования и т.п. Подобная деятельность влечет за собой определенное моральное удовлетворение, испытываемое агентом от осознания хорошо выполняемой социально значимой работы. Это нематериальное вознаграждение аналогично

Δ

-параметру, предложенному в работе (Crawford, Ostrom, 1995). Если агент за свое добровольно участие в подобной деятельности действительно испытывает определенное моральное удовлетворение, то соответствующие усилия мы также будем считать оплачиваемыми. В таком случае выражение (6) надо трактовать не как чистый доход или выигрыш агента, а как его полезность.

Сотрудник бюджетной организации может получать определенное моральное удовлетворение от выполнения некоторых видов формально неоплачиваемой работы. Например, он может из чисто внутренних побуждений, добровольно и без всякой оплаты выполнять обязанности члена диссертационного совета или редакционной коллегии, состоять в той или иной комиссии либо комитете по организации и проведению конкурса, олимпиады, конференции, осуществлять работу рецензента, безвозмездно проводить научные исследования и т.п. Подобная деятельность влечет за собой определенное моральное удовлетворение, испытываемое агентом от осознания хорошо выполняемой социально значимой работы. Это нематериальное вознаграждение аналогично 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi></math>
-параметру, предложенному в работе (Crawford, Ostrom, 1995). Если агент за свое добровольно участие в подобной деятельности действительно испытывает определенное моральное удовлетворение, то соответствующие усилия мы также будем считать оплачиваемыми. В таком случае выражение (6) надо трактовать не как чистый доход или выигрыш агента, а как его полезность.

Сотрудник бюджетной организации может получать определенное моральное удовлетворение от выполнения некоторых видов формально неоплачиваемой работы. Например, он может из чисто внутренних побуждений, добровольно и без всякой оплаты выполнять обязанности члена диссертационного совета или редакционной коллегии, состоять в той или иной комиссии либо комитете по организации и проведению конкурса, олимпиады, конференции, осуществлять работу рецензента, безвозмездно проводить научные исследования и т.п. Подобная деятельность влечет за собой определенное моральное удовлетворение, испытываемое агентом от осознания хорошо выполняемой социально значимой работы. Это нематериальное вознаграждение аналогично <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Δ</mi></math> -параметру, предложенному в работе (Crawford, Ostrom, 1995). Если агент за свое добровольно участие в подобной деятельности действительно испытывает определенное моральное удовлетворение, то соответствующие усилия мы также будем считать оплачиваемыми. В таком случае выражение (6) надо трактовать не как чистый доход или выигрыш агента, а как его полезность.

37

Объем усилий, прилагаемых чиновником, также состоит из минимальной части

x_{0}

, величины

x - x_{0}

, обусловленной его активностью и величиной неоплачиваемых усилий

x_{b}

, направленных на его собственную отчетность. Размер усилий, затрачиваемых чиновником на собственную отчетность, также прямо пропорционален тем усилиям, которые прилагает его руководитель или другой служащий, имеющий возможность обременять нашего чиновника требованием оформить по просьбе внешних организаций те или иные документы. Будем считать эти усилия чиновника постоянной величиной и обозначим ее значение через

b

.

Объем усилий, прилагаемых чиновником, также состоит из минимальной части 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, обусловленной его активностью и величиной неоплачиваемых усилий 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msub></math>
, направленных на его собственную отчетность. Размер усилий, затрачиваемых чиновником на собственную отчетность, также прямо пропорционален тем усилиям, которые прилагает его руководитель или другой служащий, имеющий возможность обременять нашего чиновника требованием оформить по просьбе внешних организаций те или иные документы. Будем считать эти усилия чиновника постоянной величиной и обозначим ее значение через 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>b</mi></math>
.

38

Если считать избыточность сложившегося в ряде бюджетных учреждений документооборота, превосходящего по инициативе контролирующих организаций своими размерами всякие разумные пределы, действительным фактом мы должны признать, что сотрудники этих организаций имеют свой интерес в таком документообороте с подотчетными им учреждениями. Другими словами, чиновник получает некоторую полезность от предоставляемых ему сотрудниками подконтрольной организации подготавливаемых ими справок и отчетов.

39

Эта полезность может быть обусловлена различными факторами. Следует учесть, что чиновнику всегда выгодно продемонстрировать руководству свою компетентность. Еще со школьной скамьи, при ознакомлении на уроках истории с биографией А.В. Суворова он может проникаться пониманием того, что начальство негативно относится к «немогузнайкам». Кроме того, он заинтересован в подаче сигналов своему руководителю о затраченных им усилиях в целях создания имиджа старательного, трудолюбивого и перспективного работника, способного ответить на любой вопрос о состоянии дел в курируемой им бюджетной организации и всегда готового подтвердить свое мнение соответствующей справкой, заверенной руководителем этой организации. Стремление чиновника получать различные справки и отчеты может быть обусловлено и какими-то другими причинами, например сбором материала для написания им или его родственником диссертации.

40

Функцию полезности

U^{H}

невраждебного чиновника в том случае, когда он обременяет отчетностью только одного агента, можно записать в виде

41

U^{H} = D_{0}^{H} + q (x - x_{0}) + a h (x - x_{0}) - 0,5 (x + b)^{2},

(7)

42

где

D_{0}^{H}

— величина заработной платы, начисляемой чиновнику за определенную минимальную величину усилий

x_{0}

, коэффициенты пропорциональности

q, h > 0

. Слагаемое

a h (x - x_{0})

является той частью полезности, которую чиновник получает от усилий агента, представляющего ему документы.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
 — величина заработной платы, начисляемой чиновнику за определенную минимальную величину усилий 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, коэффициенты пропорциональности 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>h</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
. Слагаемое 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math>
 является той частью полезности, которую чиновник получает от усилий агента, представляющего ему документы.

43

В случае произвольного числа агентов функция полезности чиновника примет вид:

44

U^{H} = D_{0}^{H} + q (x - x_{0}) + (x - x_{0}) \sum_{i \in N} a_{i} h_{i} - 0,5 (x + b)^{2},

(8)

45

где N — множество агентов, привлеченных к работе над документами, предназначенными для чиновника.

46

Теперь обратимся к функции полезности такого чиновника, который, по утверждению М. Орешкина, является скрытым врагом, так как сознательно навязывает бюджетной организации излишний документооборот с целью снизить активность сотрудников данной организации до нуля. Функция полезности такого чиновника будет отличаться от функции полезности (8) невраждебного чиновника.

47

Так же, как для Кима Филби, который с целью понизить активность своего подчиненного «заваливал его никому ненужной бумажной рутиной», для чиновника-врага значение параметра

h

, характеризующего для него степень полезности усилий агента, роли не играет. Однако если чиновник будет завалить сотрудников внешней для него бюджетной организации большим количеством абсолютно ненужных бумаг, он рискует навлечь на себя подозрение. Поэтому чиновнику-врагу, не являющемуся руководителем сотрудника бюджетной организации, выгодно придать делу такой вид, будто требуемые им от этого сотрудника документы полезны для успешной деятельности его (чиновника) организации. Другими словами, ему желательно демонстративно использовать в своей работе, по крайней мере в глазах руководства, получаемые от агента материалы. Поэтому мы по-прежнему должны полагать, что

h > 0

и учитывать слагаемое

a h (x_{0} - x)

в функции полезности враждебного чиновника.

Так же, как для Кима Филби, который с целью понизить активность своего подчиненного «заваливал его никому ненужной бумажной рутиной», для чиновника-врага значение параметра 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math>
, характеризующего для него степень полезности усилий агента, роли не играет. Однако если чиновник будет завалить сотрудников внешней для него бюджетной организации большим количеством абсолютно ненужных бумаг, он рискует навлечь на себя подозрение. Поэтому чиновнику-врагу, не являющемуся руководителем сотрудника бюджетной организации, выгодно придать делу такой вид, будто требуемые им от этого сотрудника документы полезны для успешной деятельности его (чиновника) организации. Другими словами, ему желательно демонстративно использовать в своей работе, по крайней мере в глазах руководства, получаемые от агента материалы. Поэтому мы по-прежнему должны полагать, что 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 и учитывать слагаемое 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mi>h</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math>
 в функции полезности враждебного чиновника.

Так же, как для Кима Филби, который с целью понизить активность своего подчиненного «заваливал его никому ненужной бумажной рутиной», для чиновника-врага значение параметра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math> , характеризующего для него степень полезности усилий агента, роли не играет. Однако если чиновник будет завалить сотрудников внешней для него бюджетной организации большим количеством абсолютно ненужных бумаг, он рискует навлечь на себя подозрение. Поэтому чиновнику-врагу, не являющемуся руководителем сотрудника бюджетной организации, выгодно придать делу такой вид, будто требуемые им от этого сотрудника документы полезны для успешной деятельности его (чиновника) организации. Другими словами, ему желательно демонстративно использовать в своей работе, по крайней мере в глазах руководства, получаемые от агента материалы. Поэтому мы по-прежнему должны полагать, что <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> и учитывать слагаемое <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>a</mi><mi>h</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> в функции полезности враждебного чиновника.

48

Кроме того, полезность чиновника-врага должна возрастать по мере приближения к своей цели, т.е. при убывании активности агента. Поэтому его функцию полезности в этом случае можно записать в виде

49

U^{B} = D_{0}^{B} + q (x - x_{0}) + (x - x_{0}) \sum_{i \in N} a_{i} h_{i} + C - r \sum_{i \in N} (σ_{i} - σ_{i 0}) - 0,5 (x + b)^{2},

(9)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>+</mo><mi>C</mi><mo>-</mo><mi>r</mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></math>
(9)

50

где

r > 0

,

C - r (σ_{i} - σ_{i 0}) > 0

. Слагаемое

C - r (σ_{i} - σ_{i 0})

играет роль вознаграждения чиновника за достигнутые результаты по снижению активности агента i. Это вознаграждение может иметь материальный характер в качестве платы от соответствующих вражеских спецслужб или каких-то заинтересованных лиц, либо нематериальный характер — в виде чувства удовлетворения от проделанной работы.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mo>-</mo><mi>r</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
. Слагаемое 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mo>-</mo><mi>r</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math>
 играет роль вознаграждения чиновника за достигнутые результаты по снижению активности агента i. Это вознаграждение может иметь материальный характер в качестве платы от соответствующих вражеских спецслужб или каких-то заинтересованных лиц, либо нематериальный характер — в виде чувства удовлетворения от проделанной работы.

51

При сравнении функций (8) и (9) видно, что они отличаются между собой только наличием в функции полезности врага слагаемого

C - r \sum_{i \in N}^{} (σ_{i} - σ_{i 0})

. Если положить

C = 0

и

r = 0

, то функции (8) и (9) станут тождественными. Поэтому функцию полезности (8) можно рассматривать в качестве частного случая функции (9).

При сравнении функций (8) и (9) видно, что они отличаются между собой только наличием в функции полезности врага слагаемого 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mo>-</mo><mi>r</mi><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mrow></math>
. Если положить 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>C</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
, то функции (8) и (9) станут тождественными. Поэтому функцию полезности (8) можно рассматривать в качестве частного случая функции (9).

52

«КТО ЗДЕСЬ ВРАГ ТАИНСТВЕННЫЙ?»

53

Оба актора — и агент, и чиновник — заинтересованы в максимуме своей полезности. При этом агент j выбирает уровень своих усилий

σ_{j}

, а чиновник — уровень

x

. Функция полезности агента (6) строго выпукла вверх и поэтому может иметь не более одного максимума. В качестве переменных величин пока будем рассматривать только усилия чиновника и агентов.

54

Так как производная функции (6) по размеру усилий агента j имеет вид

55

\partial U_{j} / \partial σ_{j} = K_{j} - σ_{j} - a_{j} x,

(10)

56

максимум функции

U_{j}

удовлетворяет условию

57

σ_{j} = K_{j} - a_{j} x

.(11)

58

С учетом (11) функции (9) и (8), если рассматривать (8) как частный случай (9) при

C = 0

и

r = 0

, принимают вид

59

U = D_{0} + (x - x_{0}) (q + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i}) + C - r \sum_{i \in N} (K_{i} - a_{i} x - σ_{i 0}) - 0,5 (x + b)^{2} .

(12)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>U</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>C</mi><mo>-</mo><mi>r</mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>
(12)

60

Функция (12) строго выпукла вверх, и ее производная по x равна

61

\frac{d U}{d x} = q + \sum_{i \in N} a_{i} (h_{i} + r) - x - b .

(13)

62

Для определенности будем полагать, что параметры

q, b, x_{0}

удовлетворяют условию

q - b > x_{0}

. Функция полезности чиновника (12) имеет максимум, который достигается при

63

x = x_{m} = q + \sum_{i \in N}^{} a_{i} (h_{i} + r) - b .

(14)

64

Если при этом для

j \in N

справедливо неравенство

65

K_{j} - a_{j} x_{m} > σ_{j 0}

, (15)

66

агенту j наиболее выгодны собственные усилия в объеме

67

σ_{j} = K_{j} - a_{j} x_{m}

.(16)

68

С учетом (14) перепишем неравенство (15) в виде

69

a_{j}^{2} (h_{j} + r) + a_{j} (q - b + \sum_{k \neq j}^{} a_{k} (h_{k} + r)) - (K_{j} - σ_{j 0}) < 0,

k, j \in N

.(17)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>-</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&lt;</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></math>
 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
.(17)

70

Решив его относительно

a_{j}

и используя для краткости обозначение

a_{j 1}

, получим неравенство, равносильное (15):

71

0 < a_{j} < a_{j 1} = \frac{1}{2 (h_{j} + r)} (\sqrt{Q_{j}^{2} + 4 (h_{j} + r) (K_{j} - σ_{j 0})} - Q_{j})

,(18)

72

где

Q_{j} = q - b + \sum_{i \neq j} a_{i} (h_{i} + r)

;

i, j \in N

.

73

Для того чтобы различать значения параметров для случаев чиновника-врага и невраждебного чиновника будем использовать верхние индексы B и Н соответственно. Для невраждебного чиновника (

r = 0

) значение порогового параметра

a_{j}

принимает вид

74

a_{j 1}^{H} = \frac{1}{2 h_{j}} (\sqrt{{(q - b + \sum_{k \neq j} a_{k} h_{k})}^{2} + 4 h_{j} (K_{j} - σ_{j 0})} - (q - b + \sum_{k \neq j} a_{k} h_{k})) .

(19)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><msqrt><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></msqrt><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>
(19)

75

Из (14) и (15) следует, что с ростом значения r величина

x_{m}

возрастает, а значение

a_{j}

при выполнении неравенства (15), соответственно, снижается. В частности, из сравнения (19) и (18) для

a_{j 1} = a_{j 1}^{B}

, (т.е. когда

r = 0

и

r > 0

) при равных значениях всех остальных параметров вытекает неравенство

Из (14) и (15) следует, что с ростом значения r величина 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math>
 возрастает, а значение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 при выполнении неравенства (15), соответственно, снижается. В частности, из сравнения (19) и (18) для 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
, (т.е. когда 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
) при равных значениях всех остальных параметров вытекает неравенство

76

a_{j 1}^{H} > a_{j 1}^{B}

.(20)

77

Рассмотрим случай невраждебного чиновника. Его функция полезности (8) не зависит от усилий агентов, и поэтому ее максимальное значение при любых усилиях агентов достигается при

78

x_{m}^{H} = q + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i} - b

.(21)

79

Если при этом для некоторого агента j выполняется неравенство

a_{j} < a_{j 1}^{H}

, равносильное неравенству (15), то его функция полезности достигает свой единственный максимум при

80

σ_{j} = K_{j} - a_{j} x_{m}^{H} > σ_{j 0}

,

a_{j} < a_{j 1}^{H}

.(22)

81

Если же оказывается справедливым неравенство

a_{j} \geq a_{j 1}^{H}

, агенту j наиболее выгоден уровень усилий

82

σ_{j} = σ_{j 0}

,

a_{j} \geq a_{j 1}^{H}

.(23)

83

Эти значения усилий (21)–(23) приводят всех участников к равновесному по Нэшу состоянию. Ни чиновнику, ни одному из агентов невыгодно, по крайней мере в одностороннем порядке, использовать другой уровень своих усилий при фиксированных значениях всех параметров (табл. 1, строка 1).

84

Таблица 1. Равновесные по Нэшу исходы для случая невраждебного чиновника

85

№	Усилия чиновника и агентов в равновесном исходе	Условия достижения равновесных исходов
1	$x = x_{m}^{H} = q + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i} - b$ , $σ_{j} = K_{j} - a_{j} x_{m}^{H} > σ_{j 0}$ , $σ_{k} = σ_{k 0}$	$a_{j} < a_{j 1}^{H}$ , $a_{k} \geq a_{k 1}^{H}$ ; $j, k \in N$
2	$x = x_{m}^{H} = q + \sum_{i \in N} a_{i m}^{H} h_{i} - b$ , $σ_{j} = K_{j} - a_{j m}^{H} x_{m}^{H} > σ_{j 0}$ , $σ_{k} = σ_{k 0}$	$a_{j m}^{H} < a_{j 1}^{H}$ , $a_{k m}^{H} \geq a_{k 1}^{H}$ ; $j, k \in N$
3	$x = x_{m}^{H}$ , $σ_{j} = K_{j} - a_{j m}^{H} x_{m}^{H} > σ_{j 0}$	$a_{j m}^{H} < a_{j 1}^{H}$ , $\forall j \in N$

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> №</td><td class="docx-publication-cell"> Усилия чиновника и агентов в равновесном исходе</td><td class="docx-publication-cell"> Условия достижения равновесных исходов</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
,<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∀</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> №</td><td class="docx-publication-cell"> Усилия чиновника и агентов в равновесном исходе</td><td class="docx-publication-cell"> Условия достижения равновесных исходов</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>></mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> ; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>></mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> ,<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> ; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>></mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∀</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math> </td></tr></table>

86

Полезность чиновника-врага в отличие от полезности невраждебного чиновника зависит от усилий агентов. Если неравенство (18), имеющее в этом случае вид

87

a_{j} < a_{j 1}^{B}

,(24)

88

выполняется для всех агентов, то полезность чиновника-врага (9) принимает максимальное значение при его усилиях в объеме

x = x_{m}^{B}

. Соответственно, равновесие Нэша достигается при условиях:

89

x = x_{m}^{B} = q + \sum_{i \in N} a_{i} (h_{i} + r) - b

,

σ_{j} = K_{j} - a_{j} x_{m}^{B} > σ_{j 0}

,

a_{j} < a_{j 1}^{B}

,

\forall j \in N

.(25)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∀</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
.(25)

90

(табл. 2, строка 1).

91

Таблица 2. Равновесные по Нэшу исходы для случая чиновника-врага

92

№	Усилия чиновника и агентов в равновесном исходе	Условия достижения равновесных исходов
1	$x = x_{m}^{B} = q - b + \sum_{i \in N} a_{i} (h_{i} + r)$ , $σ_{j} = K_{j} - a_{j} x_{m}^{B} > σ_{j 0}$	$a_{j} < a_{j 1}^{B} < a_{j 2}$ , $\forall j \in N$
2	$x = x_{m 1}^{B} = q - b + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i} + r \sum_{j \in A} a_{j}$ , $σ_{j} = K_{j} - a_{j} x_{m 1}^{B} > σ_{j 0}$ , $σ_{k} = σ_{k 0}$	$a_{j} < a_{j 2} < a_{j 1}^{H}$ , $a_{k} \geq a_{k 2}$ , $j \in A$ , $k \in N \ A$
3	$x = x_{m}^{H} = q - b + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i}$ , $σ_{i} = σ_{i 0}$	$a_{i} \geq a_{i 1}^{H}$ , $i \in N$
4	$x = x_{m}^{B}$ , $σ_{j} = K_{j} - a_{j m}^{B} x_{m}^{B} > σ_{j 0}$	$a_{j m}^{B} < a_{j 1}^{B}$ , $\forall j \in N$

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> №</td><td class="docx-publication-cell"> Усилия чиновника и агентов в равновесном исходе</td><td class="docx-publication-cell"> Условия достижения равновесных исходов</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∀</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>+</mo><mi>r</mi><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi><mo>\</mo><mi>A</mi></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∀</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
</td></tr></table>

<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> №</td><td class="docx-publication-cell"> Усилия чиновника и агентов в равновесном исходе</td><td class="docx-publication-cell"> Условия достижения равновесных исходов</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 1</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>></mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∀</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 2</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>+</mo><mi>r</mi><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>></mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo><</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi><mo>\</mo><mi>A</mi></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 3</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> 4</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>></mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math> , <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∀</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math> </td></tr></table>

93

Обратимся к ситуации, когда условие (24) выполняется не для всех агентов. Обозначим через A множество агентов, проявляющих активность. Если множество A непустое, функция полезности враждебного чиновника (9) преобразуется к виду

94

U^{B} = D_{0}^{B} + (x - x_{0}) (q + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i}) + C - r \sum_{j \in A} (K_{j} - a_{j} x - σ_{j 0}) - \frac{1}{2} (x + b)^{2}

.(26)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>C</mi><mo>-</mo><mi>r</mi><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></mrow></msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
.(26)

95

Функция (26) имеет максимум в точке

x = x_{m 1}^{B}

, где

96

x_{m 1}^{B} = q + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i} + r \sum_{j \in A} a_{j} - b

.(27)

97

Если множество

N \ A

непустое, то

x_{m 1}^{B} < x_{m}^{B}

, и выполнение условий (15) и, соответственно, (18) влечет за собой справедливость неравенств

98

K_{j} - a_{j} x_{m 1}^{B} > σ_{j 0}

,

\forall j \in A

. (28)

99

Неравенства (28) эквивалентны неравенствам:

100

0 < a_{j} < a_{j 2} = (\sqrt{Q_{2 j}^{2} + 4 (h_{j} + r) (K_{j} - σ_{j 0})} - Q_{2 j}) / 2 (h_{j} + r),

(29)

101

где

Q_{2 j} = q - b + \sum_{i \neq j} a_{i} h_{i} + r \sum_{s \neq j} a_{s}

,

j, s \in A

,

i \in N

,

A \neq

Ø,

N \ A \neq

Ø.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>+</mo><mi>r</mi><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>s</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mrow></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>A</mi><mo>≠</mo></math>
 Ø, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>\</mo><mi>A</mi><mo>≠</mo></math>
 Ø.

102

Таким образом, если для одной части агентов с

j \in A

справедливы неравенства (29), а для другой части — с

k \in N \ A

эти неравенства не выполняются, т.е.

103

K_{k} - a_{k} x_{m 1}^{B} \leq σ_{k 0}

,

k \in N \ A

,(30)

104

то равновесие по Нэшу будет достигнуто при выполнении условий:

105

x = x_{m 1}^{B}

,

σ_{j} = K_{j} - a_{j} x_{m 1}^{B} > σ_{j 0}

,

σ_{k} = σ_{k 0}

,

a_{j} < a_{j 2}

,

a_{k} \geq a_{k 2}

,

j \in A

,

k \in N \ A

.(31)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>&lt;</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math>
,
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi><mo>\</mo><mi>A</mi></math>
.(31)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>></mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo><</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi><mo>\</mo><mi>A</mi></math> .(31)

106

(табл. 2, строка 2).

107

Если множество A оказывается пустым, т.е. если для всех агентов справедливыми оказываются условия (30), из которых следует, что

108

a_{i} \geq a_{i 2}^{B}

,

\forall i \in N

,(32)

109

то все агенты выбирают свои усилия в объеме

σ_{i} = σ_{i 0}

,

i \in N

. Функция полезности чиновника (9) принимает вид

110

U^{B} = D_{0}^{B} + q (x - x_{0}) + (x - x_{0}) \sum_{i \in N} a_{i} h_{i} + C - 0,5 (x + b)^{2} .

(33)

111

В этом случае функции полезности невраждебного чиновника и враждебного отличаются только постоянным слагаемым. Поэтому максимум полезности (33) достигается при

x = x_{m}^{H}

. Если при таком уровне усилий чиновника-врага усилия всех агентов удовлетворяют неравенствам

K_{j} - a_{j} x_{m}^{H} \leq σ_{j 0}

, которые, как следует из (15) и (18), эквивалентны неравенствам

В этом случае функции полезности невраждебного чиновника и враждебного отличаются только постоянным слагаемым. Поэтому максимум полезности (33) достигается при 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
. Если при таком уровне усилий чиновника-врага усилия всех агентов удовлетворяют неравенствам 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>≤</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, которые, как следует из (15) и (18), эквивалентны неравенствам

112

a_{j} \geq a_{j 1}^{H}

,

j, k \in N

,(34)

113

то при усилиях в объемах

x = x_{m}^{H}

и

σ_{j} = σ_{j 0}

участники достигают равновесного по Нэшу исхода (табл. 2, строка 3).

114

Если для агента k окажется справедливым двойное неравенство

115

a_{k 1}^{H} > a_{k} \geq a_{k 2}^{B}

,

a_{j} \geq a_{j 1}^{H}

,

j \in N, j \neq k

,(35)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∈</mo><mi>N</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>j</mi><mo>≠</mo><mi>k</mi></math>
,(35)

116

возникает неопределенность. В силу справедливости неравенства (32) агенту k выгодно применять свои усилия в объеме

σ_{k} = σ_{k 0}

. Но тогда функция полезности чиновника принимает вид (33) с максимумом в точке

x = x_{m}^{H}

. При таком выборе усилий чиновника для агента k, согласно (35), выгоднее усилия в размере

σ_{k} = K_{k} - a_{k} x_{m}^{H} > σ_{k 0}

, при котором функция полезности чиновника принимает вид (26), где множество A состоит из одного элемента k , и, соответственно, достигает свой максимум в точке

x = x_{m 1}^{B} > x_{m}^{H}

. Для таких усилий чиновника агенту k, в силу условия

σ_{k} = K_{k} - a_{k} x_{m 1}^{B} \leq σ_{k 0}

, снова наиболее выгодны усилия в размере

σ_{k} = σ_{k 0}

. Нельзя исключить предположения, что и в этом случае существует равновесный по Нэшу исход с некоторыми значениями усилий

x = x^{*}

и

σ_{k} = K_{k} - a_{k} x^{*} > σ_{k 0}

, где значение

x^{*}

удовлетворяет двойному неравенству

x_{m}^{H} < x^{*} < x_{m 1}^{B}

, но этот вопрос остается открытым.

возникает неопределенность. В силу справедливости неравенства (32) агенту k выгодно применять свои усилия в объеме 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
. Но тогда функция полезности чиновника принимает вид (33) с максимумом в точке 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
. При таком выборе усилий чиновника для агента k, согласно (35), выгоднее усилия в размере 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, при котором функция полезности чиновника принимает вид (26), где множество A состоит из одного элемента k , и, соответственно, достигает свой максимум в точке 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
. Для таких усилий чиновника агенту k, в силу условия 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>≤</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, снова наиболее выгодны усилия в размере 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
. Нельзя исключить предположения, что и в этом случае существует равновесный по Нэшу исход с некоторыми значениями усилий 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, где значение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math>
 удовлетворяет двойному неравенству 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
, но этот вопрос остается открытым.

возникает неопределенность. В силу справедливости неравенства (32) агенту k выгодно применять свои усилия в объеме <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> . Но тогда функция полезности чиновника принимает вид (33) с максимумом в точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> . При таком выборе усилий чиновника для агента k, согласно (35), выгоднее усилия в размере <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>></mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> , при котором функция полезности чиновника принимает вид (26), где множество A состоит из одного элемента k , и, соответственно, достигает свой максимум в точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>></mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> . Для таких усилий чиновника агенту k, в силу условия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup><mo>≤</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> , снова наиболее выгодны усилия в размере <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> . Нельзя исключить предположения, что и в этом случае существует равновесный по Нэшу исход с некоторыми значениями усилий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>></mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math> , где значение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> удовлетворяет двойному неравенству <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo><</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo><</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math> , но этот вопрос остается открытым.

117

Все результаты, полученные в предположении, что переменными величинами являются только размеры усилий x и

σ_{i}

,

i \in N

, для удобства сведены в табл. 1 и 2. В них приведены объемы усилий чиновника и агентов в равновесных по Нэшу состояниях и условия достижения соответствующих состояний. Следует иметь в виду, что под равновесным по Нэшу исходом понимается такое состояние, выход из которого за счет одностороннего изменения тем или иным актором объема своих усилий при фиксированных значениях всех остальных параметров обернется снижением его полезности. Поэтому результаты, записанные в табл. 1 в строке 1 и в табл. 2, строки 1–3 описывают равновесные состояния, которые существуют только в предположении, что все параметры

a_{j}

имеют фиксированные значения.

Все результаты, полученные в предположении, что переменными величинами являются только размеры усилий x и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
, для удобства сведены в табл. 1 и 2. В них приведены объемы усилий чиновника и агентов в равновесных по Нэшу состояниях и условия достижения соответствующих состояний. Следует иметь в виду, что под равновесным по Нэшу исходом понимается такое состояние, выход из которого за счет одностороннего изменения тем или иным актором объема своих усилий при фиксированных значениях всех остальных параметров обернется снижением его полезности. Поэтому результаты, записанные в табл. 1 в строке 1 и в табл. 2, строки 1–3 описывают равновесные состояния, которые существуют только в предположении, что все параметры 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 имеют фиксированные значения.

118

Из формул в табл. 1 (строка 1) и табл. 2 (строки 1–3) видно, что с ростом значения параметра

a_{j}

, т.е. по мере того как возрастают неоплачиваемые усилия, затрачиваемые агентом j на отчетность, его активность снижается. Как только параметр

a_{j}

достигает значения

a_{j 1}

(18), активность агента j становится равной нулю. А вот активность чиновника с ростом параметра

a_{j}

только возрастает.

Из формул в табл. 1 (строка 1) и табл. 2 (строки 1–3) видно, что с ростом значения параметра 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, т.е. по мере того как возрастают неоплачиваемые усилия, затрачиваемые агентом j на отчетность, его активность снижается. Как только параметр 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 достигает значения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 (18), активность агента j становится равной нулю. А вот активность чиновника с ростом параметра 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 только возрастает.

119

Теперь разберем случай, когда чиновник имеет возможность влиять на значения этих параметров путем изменения трудоемкости своих заданий. Поэтому обратимся к зависимости полезности чиновника от значений параметров

a_{j}

.

120

Для этого предположим, что параметры

a_{j}

,

j \in N

являются переменными величинами. Теперь подставим в функцию полезности невраждебного чиновника (8) значение

x = x_{m}^{H}

и полученное выражение продифференцируем по

a_{j}

, тогда

Для этого предположим, что параметры 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
 являются переменными величинами. Теперь подставим в функцию полезности невраждебного чиновника (8) значение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
 и полученное выражение продифференцируем по 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, тогда

121

\frac{\partial U^{H}}{\partial a_{j}} = h_{j} (q + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i} - b - x_{0}) = h_{j} (x_{m} - x_{0}) > 0

,

j \in N

. (36)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msup><mrow><mi>U</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
. (36)

122

Аналогично, подставив в функцию полезности враждебного чиновника (26) значение

x = x_{m 1}^{B}

и продифференцировав соответствующее выражение по

a_{j}

с

j \in A

и по

a_{k}

с

k \in N \ A,

получим:

Аналогично, подставив в функцию полезности враждебного чиновника (26) значение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
 и продифференцировав соответствующее выражение по 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 с 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∈</mo><mi>A</mi></math>
 и по 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 с 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi><mo>\</mo><mi>A</mi><mo>,</mo></math>
 получим:

123

\frac{\partial U^{B}}{\partial a_{j}} = h_{j} (x_{m 1}^{B} - x_{0}) + r x_{m 1}^{B} > 0

,

j \in A

(37)

124

\frac{\partial U^{B}}{\partial a_{k}} = h_{k} (x_{m 1}^{B} - x_{0}) > 0

,

k \in N \ A

.(38)

125

Из неравенств (36)–(38) следует, что во всех случаях независимо от того, является ли чиновник скрытым врагом (37), (38) или нет (36), проявляет ли агент активность (37) или уже не проявляет в силу высоких издержек неоплачиваемых усилий (38), полезность чиновника возрастает с ростом значения параметра

a_{j}

. И это неудивительно, так как выгоды от роста параметров

a_{i} \forall i \in N

получает чиновник, а агентам достаются только издержки. Поэтому чиновнику выгодно неограниченно увеличивать значение

a_{j}

. Для этого ему достаточно (конечно, в силу своих возможностей) требовать от агентов предоставлять более детальные и обстоятельные отчеты и справки с обилием различных материалов, в том числе и не особенно нужных. В результате его полезность будет только увеличиваться.

Из неравенств (36)–(38) следует, что во всех случаях независимо от того, является ли чиновник скрытым врагом (37), (38) или нет (36), проявляет ли агент активность (37) или уже не проявляет в силу высоких издержек неоплачиваемых усилий (38), полезность чиновника возрастает с ростом значения параметра 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. И это неудивительно, так как выгоды от роста параметров 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
 получает чиновник, а агентам достаются только издержки. Поэтому чиновнику выгодно неограниченно увеличивать значение 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. Для этого ему достаточно (конечно, в силу своих возможностей) требовать от агентов предоставлять более детальные и обстоятельные отчеты и справки с обилием различных материалов, в том числе и не особенно нужных. В результате его полезность будет только увеличиваться.

Из неравенств (36)–(38) следует, что во всех случаях независимо от того, является ли чиновник скрытым врагом (37), (38) или нет (36), проявляет ли агент активность (37) или уже не проявляет в силу высоких издержек неоплачиваемых усилий (38), полезность чиновника возрастает с ростом значения параметра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> . И это неудивительно, так как выгоды от роста параметров <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math> получает чиновник, а агентам достаются только издержки. Поэтому чиновнику выгодно неограниченно увеличивать значение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> . Для этого ему достаточно (конечно, в силу своих возможностей) требовать от агентов предоставлять более детальные и обстоятельные отчеты и справки с обилием различных материалов, в том числе и не особенно нужных. В результате его полезность будет только увеличиваться.

126

С ростом значения параметра

a_{j}

неуклонно снижается активность агента j и увеличивается активность чиновника. Таким образом, если чиновник в стремлении к повышению собственной полезности неограниченно увеличивает издержки агента, обусловленные отчетностью, он добивается того, что агент снижает свою активность до нуля в полном соответствии с алгоритмом Филби.

127

Интересно отметить, что на XVIII Общероссийском форуме, на котором М. Орешкин сетовал на чрезмерное «бумажное регулирование», он после своего рассказа о найденном Филби способе парализовать успешную активность любого контрразведчика предложил Л. Кудрину поискать в своем ведомстве скрытых врагов. По его словам, только их наличием можно объяснить требования Счетной палаты заполнять огромное число ненужных справок, создавая тем самым препятствия для работы Министерства экономического развития РФ. Как следует из модели, М. Орешкин не вполне прав. Неограниченный рост отчетной нагрузки на сотрудников его министерства могут обеспечивать не только преследующие враждебные цели чиновники Счетной палаты, но и обычные невраждебные чиновники в силу стремления к увеличению собственной полезности.

128

Фактически результаты активности враждебного и невраждебного чиновников отличаются только количественными показателями. Из сравнения табл. 1 и 2 следует, что условия

r > 0

в случае врага и

r = 0

в случае невраждебного чиновника при прочих равных условиях отражаются на размерах усилий и значениях пороговых параметров

a_{j 1}

и

a_{j 2}

. Враждебный чиновник прикладывает больше усилий. Соответственно, объемы усилий агентов и значения параметров

a_{j 1}

и

a_{j 2}

в его случае ниже.

Фактически результаты активности враждебного и невраждебного чиновников отличаются только количественными показателями. Из сравнения табл. 1 и 2 следует, что условия 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></math>
 в случае врага и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>
 в случае невраждебного чиновника при прочих равных условиях отражаются на размерах усилий и значениях пороговых параметров 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math>
. Враждебный чиновник прикладывает больше усилий. Соответственно, объемы усилий агентов и значения параметров 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow></msub></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>2</mn></mrow></msub></math>
 в его случае ниже.

129

Перейдем к вопросу о том, как можно остановить этот возрастающий вал отчетной нагрузки, выгодный только чиновнику.

130

ТРИ СПОСОБА ОГРАНИЧЕНИЯ ОБЪЕМА ОТЧЕТНОЙ НАГРУЗКИ

131

Самый простой (теоретически) способ обуздать стремление чиновника к неограниченному росту документооборота состоит во введении в его функцию полезности отрицательного слагаемого, нелинейного по усилиям агента, затрачиваемых им на отчетность. Если обозначить соответствующее слагаемое как

- f_{i} (a_{i} x)

, функция полезности чиновника (9) примет вид

132

U = D_{0} + (x - x_{0}) (q + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i}) + C - r \sum_{i \in N} (σ_{i} - σ_{i 0}) - \sum_{i \in N} f_{i} (a_{i} x) - 0,5 (x + b)^{2} .

(39)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>U</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>C</mi><mo>-</mo><mi>r</mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>.</mo></math>
(39)

133

Для сохранения вида зависимости

x_{m}

(14) и

σ_{j}

(16) от значений параметров

K_{i}, q, a_{i}, a_{j}, h_{i}, h_{j}, b, r

в качестве

f_{i} (a_{i} x)

следует взять функцию, зависящую только от величины параметра

a_{i}

. Если использовать самый простой вариант в виде степенной функции аргумента

a_{i}

, функция полезности (39) приобретет вид

Для сохранения вида зависимости 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math>
 (14) и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 (16) от значений параметров 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>q</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>b</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></math>
 в качестве 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>x</mi><mo>)</mo></math>
 следует взять функцию, зависящую только от величины параметра 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
. Если использовать самый простой вариант в виде степенной функции аргумента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, функция полезности (39) приобретет вид

Для сохранения вида зависимости <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> (14) и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> (16) от значений параметров <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>q</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>b</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>r</mi></math> в качестве <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>x</mi><mo>)</mo></math> следует взять функцию, зависящую только от величины параметра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> . Если использовать самый простой вариант в виде степенной функции аргумента <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> , функция полезности (39) приобретет вид

134

U = D_{0} + (x - x_{0}) (q + \sum_{i \in N} a_{i} h_{i}) + C - r \sum_{i \in N} (σ_{i} - σ_{i 0}) - \sum_{i \in N} p_{i} a_{i}^{α} - 0,5 (x + b)^{2},

(40)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>U</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>C</mi><mo>-</mo><mi>r</mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></math>
 (40)

135

где

p_{i} > 0, α > 2

. Если подставить в (40)

x = x_{m}

(14) и

σ_{j} = K_{j} - a_{j} x_{m}

(16), то функцию полезности чиновника можно рассматривать как функцию переменных

a_{i}

:

U = U (a_{1}, . . ., a_{n})

, где n — число элементов множества N. Ее производная по

a_{j}

имеет вид

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>&gt;</mo><mn>2</mn></math>
. Если подставить в (40) 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math>
 (14) и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math>
 (16), то функцию полезности чиновника можно рассматривать как функцию переменных 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
: 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>U</mi><mo>=</mo><mi>U</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math>
, где n — число элементов множества N. Ее производная по 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 имеет вид

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>></mo><mn>2</mn></math> . Если подставить в (40) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> (14) и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> (16), то функцию полезности чиновника можно рассматривать как функцию переменных <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> : <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>U</mi><mo>=</mo><mi>U</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> , где n — число элементов множества N. Ее производная по <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> имеет вид

136

\begin{matrix} \frac{\partial U}{\partial a_{j}} = x_{m} (h_{j} + r) - h_{j} x_{0} - α p_{j} a_{j}^{α - 1} = (h_{j} + r) (q - b + \sum_{k \neq j} a_{k} (h_{k} + r)) - h_{j} x_{0} + \\ + a_{j} ((h_{j} + r)^{2} - α p_{j} a_{j}^{α - 2}) . \end{matrix}

(41)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>U</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>α</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>-</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mi>α</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math>
(41)

137

Из (41) видно, что с возрастанием значения

a_{j}

производная убывает, проходя через ноль при условии

138

a_{j} (α p_{j} a_{j}^{α - 2} - (h_{j} + r)^{2}) = (h_{j} + r) (q - b + \sum_{k \neq j} a_{k} (h_{k} + r)) - h_{j} x_{0} .

(42)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>α</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>-</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>.</mo></math>
(42)

139

Так как левая часть (42), начиная со своего нулевого значения, т.е. с того значения

a_{j}

, при котором

α p_{j} a_{j}^{α - 2} = (h_{j} + r)^{2}

, монотонно возрастает с ростом

a_{j}

при неизменном положительном значении правой части, то уравнение (42) имеет единственное решение, которое обозначим как

a_{j m}^{B}

для случая враждебного чиновника и как

a_{j m}^{H}

для случая невраждебного чиновника. В силу того что при этом значении параметра

a_{j}

полезность чиновника принимает максимальное значение, теперь ему от него отклоняться невыгодно.

Так как левая часть (42), начиная со своего нулевого значения, т.е. с того значения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
, при котором 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">α</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>
, монотонно возрастает с ростом 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 при неизменном положительном значении правой части, то уравнение (42) имеет единственное решение, которое обозначим как 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
 для случая враждебного чиновника и как 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
 для случая невраждебного чиновника. В силу того что при этом значении параметра 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 полезность чиновника принимает максимальное значение, теперь ему от него отклоняться невыгодно.

Так как левая часть (42), начиная со своего нулевого значения, т.е. с того значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> , при котором <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">α</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> , монотонно возрастает с ростом <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> при неизменном положительном значении правой части, то уравнение (42) имеет единственное решение, которое обозначим как <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math> для случая враждебного чиновника и как <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math> для случая невраждебного чиновника. В силу того что при этом значении параметра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> полезность чиновника принимает максимальное значение, теперь ему от него отклоняться невыгодно.

140

Решение уравнения (42) зависит от коэффициента

p_{j}

. С его ростом значения

a_{j m}^{B}

и

a_{j m}^{H}

уменьшаются. Отсюда следует, что вариацией его величины и значения показателя степени

α

можно регулировать уровень активности и чиновника, и агента j. Например, для частного случая

α = 3

получим:

Решение уравнения (42) зависит от коэффициента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
. С его ростом значения 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
 и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
 уменьшаются. Отсюда следует, что вариацией его величины и значения показателя степени 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi></math>
 можно регулировать уровень активности и чиновника, и агента j. Например, для частного случая
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math>
 получим:

141

a_{j m}^{H} = \frac{1}{6 p_{j}} (h_{j}^{2} + \sqrt{h_{j}^{4} + 12 p_{j} h_{j} (q - b - x_{0} + \sum_{k \neq j} a_{k} h_{k})})

,(43)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msqrt><msubsup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn>12</mn><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced></msqrt></mrow></mfenced></math>
,(43)

142

a_{j m}^{B} = \frac{1}{6 p_{j}} ((h_{j} + r)^{2} + \sqrt{(h_{j} + r)^{4} + 12 p_{j} R_{j}})

,(44)

143

где

R_{j} = (h_{j} + r) (q - b + \sum_{k \neq j}^{} a_{k} (h_{k} + r)) - h_{j} x_{0}

. Из (44) видно, что при любом фиксированном значении коэффициента

p_{j}

величина

a_{j m}^{B}

быстро возрастает с ростом r. Поэтому чем лучше оплачиваются услуги враждебного чиновника, тем выше для сохранения стимула у агента j к проявлению активности должно быть значение коэффициента

p_{j}

.

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mi>q</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mrow><mrow/></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>-</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math>
. Из (44) видно, что при любом фиксированном значении коэффициента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
 величина 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msubsup></math>
 быстро возрастает с ростом r. Поэтому чем лучше оплачиваются услуги враждебного чиновника, тем выше для сохранения стимула у агента j к проявлению активности должно быть значение коэффициента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math>
.

144

При выборе значений

p_{j}

такими, чтобы для всех агентов выполнялись условия

145

σ_{j} = K_{j} - a_{j m}^{B} x_{m}^{B} > σ_{j 0}, \forall j \in N,

(45)

146

состояние с усилиями враждебного чиновника в объеме

x = x_{m}^{B}

и агентов в объемах (45) будет равновесным по Нэшу. Неравенства (45) равносильны неравенству (18) при

r > 0

(см. табл. 2, строка 4).

147

Так как полезность невраждебного чиновника не зависит от усилий агента, равновесие по Нэшу достигается во всех случаях, в которых чиновник прилагает свои усилия в размере

148

x_{m}^{H} = q + \sum_{i \in N} a_{i m}^{H} h_{i} - b

,(46)

149

а агенты — в размерах

150

σ_{j} = K_{j} - a_{j m}^{H} x_{m}^{H} > σ_{j 0}

,

a_{j m}^{H} < a_{j 1}^{H}

;

σ_{k} = σ_{k 0}

,

a_{k m}^{H} \geq a_{k 1}^{H}

.(47)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
; 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
.(47)

151

(см. табл. 1, строка 2). Если неравенство

K_{j} - a_{j m}^{H} x_{m}^{H} > σ_{j 0}

выполняется для всех

j \in N

, то равновесие Нэша достигается (см. табл. 1, строка 3) при

152

x_{m}^{H} =

,

σ_{j} = K_{j} - a_{j m}^{H} x_{m}^{H} > σ_{j 0}

,

a_{j m}^{H} < a_{j 1}^{H}

,

\forall j \in N

.(48)

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup><mo>&lt;</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>H</mi></mrow></msubsup></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>∀</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
.(48)

153

Таким образом, если функция полезности чиновника имеет вид (40), всегда можно так подобрать соответствующие коэффициенты p и

α

, что значение параметра

a_{j m}

, отвечающего максимуму полезности чиновника, станет сколь угодно малым. Как только его значение станет меньше величины

a_{j 1}

, равновесие по Нэшу будет достигаться при ненулевой активности агента. Изменением значений коэффициентов

p_{i}

при любом

α > 2

можно регулировать активность и чиновника, и агентов.

Таким образом, если функция полезности чиновника имеет вид (40), всегда можно так подобрать соответствующие коэффициенты p и 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">α</mi></math>
, что значение параметра 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>m</mi></mrow></msub></math>
, отвечающего максимуму полезности чиновника, станет сколь угодно малым. Как только его значение станет меньше величины 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn>1</mn></mrow></msub></math>
, равновесие по Нэшу будет достигаться при ненулевой активности агента. Изменением значений коэффициентов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
 при любом 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>&gt;</mo><mn>2</mn></math>
 можно регулировать активность и чиновника, и агентов.

154

Представляется, что при практической реализации такого способа обуздания объема отчетной нагрузки нецелесообразно непосредственно подвергать каждого чиновника воздействию сдерживающего механизма, который отражается слагаемым

- \sum_{i \in N} p_{i} a_{i}^{α}

в его функции полезности (40). Предпочтительнее использовать сдерживающий механизм путем обложения контролирующей организации корректирующим налогом (пигуанским) на использование трудовых ресурсов бюджетных организаций. Величина налога должна быть пропорциональна степенной функции с показателем степени

α > 2

, зависящей от количества и размеров подготавливаемых для контролирующей организации документов.

Представляется, что при практической реализации такого способа обуздания объема отчетной нагрузки нецелесообразно непосредственно подвергать каждого чиновника воздействию сдерживающего механизма, который отражается слагаемым 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mrow><msub><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow></math>
 в его функции полезности (40). Предпочтительнее использовать сдерживающий механизм путем обложения контролирующей организации корректирующим налогом (пигуанским) на использование трудовых ресурсов бюджетных организаций. Величина налога должна быть пропорциональна степенной функции с показателем степени 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>α</mi><mo>&gt;</mo><mn>2</mn></math>
, зависящей от количества и размеров подготавливаемых для контролирующей организации документов.

155

Вторая возможность для ограничения отчетной нагрузки обусловлена тем, что порождаемая активностью чиновника отрицательная экстерналия относится к числу принципиально компенсируемых. Поэтому для ограничения активности чиновника достаточно ее интернализации. Другими словами, достаточно переложить на получателя выгоды (т.е. на чиновника) все издержки, которые несет агент i в результате выполнения отчетной нагрузки. Так как величина этих издержек, которую обозначим через

Δ I_{i}

, равна

156

Δ I_{i} = 0,5 (σ_{i} + a_{i} x)^{2} - 0,5 σ_{i}^{2} = σ_{i} a_{i} x + 0,5 a_{i}^{2} x^{2},

(49)

157

то следует ввести это слагаемое со знаком «плюс» в функцию полезности (6) агента

i \forall i \in N

и со знаком «минус» в функцию полезности чиновника (9). Теперь издержки агента принимают вид (3), и полезность агента полностью утрачивает зависимость и от параметров

a_{i}

, и от усилий чиновника. Максимум полезности агента i достигается при

σ_{i} = K_{i} > σ_{i 0}

.

то следует ввести это слагаемое со знаком «плюс» в функцию полезности (6) агента 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>∀</mo><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi></math>
 и со знаком «минус» в функцию полезности чиновника (9). Теперь издержки агента принимают вид (3), и полезность агента полностью утрачивает зависимость и от параметров 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math>
, и от усилий чиновника. Максимум полезности агента i достигается при 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&gt;</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">σ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></math>
.

158

На практике также представляется целесообразным для сокращения трансакционных издержек возложить компенсационные выплаты не на отдельных чиновников, а на контролирующую организацию в целом. В этом случае ситуация равносильна покупке у подконтрольной организации нужных справок и отчетов.

159

Третий способ состоит во введении на законодательном уровне ограничения на объем тех усилий, которые требуются для выполнения отчетной нагрузки. Для этого достаточно ограничить число документов, которые должен оформлять агент, и закрепить форму каждого документа. В этом случае оба типа чиновников окажутся в равных условиях, так как деятельность враждебного чиновника, стремящегося парализовать активность сотрудников бюджетной организации, будет полностью нивелирована.

160

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

161

В предложенной модели анализируется взаимодействие двух индивидов — чиновника и агента, — где каждый стремится к максимуму своей функции полезности. Модель построена в предположении, что чиновник, представляющий органы государственного управления или вышестоящую организацию, может получать некоторую полезность от тех документов, которые по его требованию готовят сотрудники подконтрольной бюджетной организации. Моделирование показало: данного условия достаточно, чтобы такой чиновник при отсутствии контроля над его активностью был склонен неограниченно увеличивать документооборот, вынуждая сотрудников подконтрольной организации затрачивать на излишнюю отчетность огромное количество времени и ресурсов.

162

В результате анализа были выявлены три возможности ограничения активности чиновника, направленной на создание избыточного документооборота, конечно, если не считать самую очевидную и надежную – кардинальное сокращение числа чиновников. Наиболее фундаментальным выглядит предложение обложить контролирующую организацию корректирующим налогом, величина которого нелинейно возрастает с ростом количества и размера получаемых от подконтрольной организации документов. К его недостатку можно отнести возможность углубления бюрократизации, обусловленной проблемой измерения и необходимостью постоянно вычислять величину налога.

163

Вторая возможность состоит в полной компенсации издержек, обусловленных подготовкой сотрудниками бюджетной организации требуемых от них документов. Эту компенсацию можно рассматривать как покупку контролирующей организацией у подконтрольной того справочного и отчетного материала, который превышает некоторый установленный минимум. Этот вариант тем ближе к оптимальному, чем ниже трансакционные издержки его реализации.

164

Третья возможность состоит во введении ограничений, имеющих силу закона, на виды и размеры документов, которые контролирующая организация может требовать от подконтрольной бюджетной организации. К нежелательным особенностям этого способа можно отнести недостаточную степень гибкости и оперативности с возможностью углубления бюрократизации.

ГОСТ	Цуриков В. И. О влиянии избыточного документооборота на трудовую активность сотрудника бюджетной организации // Экономика и математические методы. – 2023. – T. 59. – № 1 C. 65-78 . URL: https://emm.jes.su/s042473880024882-9-1/. DOI: 10.31857/S042473880024882-9
MLA	Tsurikov, Vladimir "On the impact of excessive document flow on the labor activity of a budgetary organization employee." Economics and the Mathematical Methods. 59.1 (2023).:65-78. DOI: 10.31857/S042473880024882-9
APA	Tsurikov V. (2023). On the impact of excessive document flow on the labor activity of a budgetary organization employee. Economics and the Mathematical Methods. vol. 59, no. 1, pp.65-78 DOI: 10.31857/S042473880024882-9

Комментарии

Войти через