Value-at-Risk and Expected Shortfall approaches for option premiums and the probability of default estimation based on ARMA models
Table of contents
Share
Metrics
Value-at-Risk and Expected Shortfall approaches for option premiums and the probability of default estimation based on ARMA models
Annotation
PII
S042473880016417-7-1
DOI
10.31857/S042473880016417-7
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Nikolai Berzon 
Affiliation: National Research University Higher School of Economics
Address: Moscow, Russian Federation
Dmitry Bobrovsky
Affiliation: Joint Stock Company "VTB Capital"
Address: Moscow, Russian Federation
Daniil Vilkul
Affiliation: National Research University Higher School of Economics
Address: Moscow, Russian Federation
Vyacheslav Mezentsev
Affiliation: National Research University Higher School of Economics
Address: Moscow, Russian Federation
Dmitry Dubinsky
Affiliation: National Research University Higher School of Economics
Address: Moscow, Russian Federation
Pages
126-139
Abstract

The need to address the issue of risk management has given rise to a number of models for estimation the probability of default, as well as a special tool that allows to sell credit risk – a credit default swap (CDS). From the moment it appeared in 1994 until the crisis of 2008, that the CDS market was actively growing, and then sharply contracted. Currently, there is practically no CDS market in emerging economies (including Russia). This article is to improve the existing CDS valuation models by using discrete-time models that allow for more accurate assessment and forecasting of the selected asset dynamics, as well as new option pricing models that take into account the degree of risk acceptance by the option seller. This article is devoted to parametric discrete-time option pricing models that provide more accurate results than the traditional Black-Scholes continuous-time model. Improvement in the quality of assessment is achieved due to three factors: a more detailed consideration of the properties of the time series of the underlying asset (in particular, autocorrelation and heavy tails), the choice of the optimal number of parameters and the use of Value-at-Risk approach. As a result of the study, expressions were obtained for the premiums of European put and call options for a given level of risk under the assumption that the return on the underlying asset follows a stationary ARMA process with normal or Student's errors, as well as an expression for the credit spread under similar assumptions. The simplicity of the ARMA process underlying the model is a compromise between the complexity of model calibration and the quality of describing the dynamics of assets in the stock market. This approach allows to take into account both discreteness in asset pricing and take into account the current structure and the presence of interconnections for the time series of the asset under consideration (as opposed to the Black–Scholes model), which potentially allows better portfolio management in the stock market.

Keywords
option pricing models, ARMA, parametric models, discrete-time models, VaR, Expected Shortfall
Received
15.09.2021
Date of publication
22.09.2021
Number of purchasers
1
Views
181
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf 100 RUB / 1.0 SU

To download PDF you should sign in

Full text is available to subscribers only
Subscribe right now
Only article and additional services
Whole issue and additional services
All issues and additional services for 2021
1

1. ВВЕДЕНИЕ

2 При принятии инвестиционных решений вопрос о том, насколько вероятен дефолт, иными словами, насколько велик кредитный риск, имеет первостепенное значение. Потребность в решении этого вопроса породила ряд моделей для оценки вероятности дефолта, а также специальный инструмент, позволяющий продавать кредитный риск, — кредитный дефолтный своп (сredit default swap, CDS). С момента своего появления в 1994 г. и до кризиса 2008 г. рынок CDS активно рос, а затем резко сжался. Причем в настоящий момент в странах с развивающимися экономиками (в том числе в России) рынок CDS практически отсутствует. В настоящей статье делается попытка усовершенствовать существующие модели оценки CDS за счет использования моделей дискретного времени, позволяющих точнее оценивать и прогнозировать динамику выбранного актива, а также за счет новых моделей ценообразования опционов, которые позволяют продавцам опционов учитывать степень принятого ими риска.
3 Первая формула для оценки европейского опциона была получена в работе (Black, Scholes, 1973). В дальнейшем эмпирический анализ показал, что при применении данного подхода наблюдаются систематические ошибки, в частности так называемая улыбка волатильности и тенденция недооценки краткосрочных опционов «вне денег», — связанные с предположениями этой модели о постоянстве дисперсии и логнормальности распределения.
4 Авторы предложенных впоследствии моделей корректировали эти предпосылки таким образом, чтобы они соответствовали наблюдаемым свойствам временных рядов доходности актива. В частности, учитывали предсказуемость доходности (Fama, French, 1988; Jegadeesh, 1990; Lo, MacKinlay, 1988); кластеризацию волатильности (Hull, White, 1987; Wiggins, 1987; Bakshi, Cao, Chen, 1997; Lo, Wang, 1995; Bates, 2000) и тяжелые хвосты.
5 При этом параллельно развивались модели в непрерывном времени (к которым относится классическая модель Блэка–Шоулза (далее — B–S)) и модели в дискретном времени, основой для которых стали работы (Brennan, 1979; Rubinstein, 1976). Следует отметить (Stentoft, 2011), что до недавнего времени дискретные и непрерывные модели исследовали независимо друг от друга. К тому же отсутствовали эмпирические исследования, которые бы сравнивали эффективность этих двух классов моделей.
6 Среди предложенных моделей можно выделить три основные группы. Модели, основывающиеся на предположении о предсказуемости доходности актива, построены на процессе Кокса–Ингерсолла–Росса (Heston, 1993), процессе Орнштейна–Уленбека (Barndorff-Nielsen, Shephard, 2001) и ARMA-процессе (Hafner, Herwartz, 2000; Hsu, Breidt, 2009; Wu, 2008; Liu et al., 2011). Модели, реализующие идею кластеризации волатильности, представляют собой различные разновидности GARCH (Duan, 1995; Christoffersen, Jacobs, 2004; Hsieh, Ritchken, 2005). Также были предложены модели, объединяющие авторегрессионную и гетороскедастичную составляющие, ARMA-GARCH (Goode, Kim, Fabozzi, 2015; Xi, 2013), в том числе с учетом тяжелых хвостов (Spierdijk, 2014).
7 Данная статья продолжает развивать тему оценки опционов, уделяя особое внимание автокорреляции временного ряда доходностей базового актива в дискретном времени. При этом если классическая оценка опциона, ранее полученная в рамках данного подхода, не учитывает отношения продавца опциона к риску, то предлагаемая нами модель включает расчет уровня убытков продавца опциона, который не будет превышен с вероятностью 95%, а также ожидаемое значение убытков в оставшихся 5% случаев (т.е. расчет Value-at-Risk (VaR), или expected shortall (ES)). С учетом того что убытки продавца опциона теоретически неограничены, представляется, что учет показателей риска в рамках модели может существенно повысить ее ценность для практического использования.
8 Основным результатом данной работы является вывод формул для премии опциона с учетом VaR, или ES, в предположении, что динамика цены базового актива подчиняется ARMA-процессу с гауссовскими или стьюдентовскими инновациями. Кроме того, в заключительной части статьи получено выражение, которое позволяет рассчитать кредитный спред для заданной цены опциона.
9 При расчете кредитного спреда в данной работе используется подход, основанный на структурной модели, которая получила такое название в литературе (Sundaresan, 2013; Jovan, 2010), в силу того что она связывает риск дефолта со структурой активов фирмы (Merton, 1974). В основе структурных моделей лежит идея о том, что стоимость акций компании является опционом колл на активы компании с ценой сделки «страйк», равной стоимости ее обязательств. Основоположниками данного класса моделей считаются Ф. Блэк и М. Шоулз, а также Р. Мертон. Мертон рассмотрел кредиторскую задолженность компании как требование, которое может быть обращено на ее стоимость, и использовал формулу ценообразования опционов Блэка–Шоулза для оценки вероятности дефолта компании. В рамках данной модели предоставление кредита трактуется как покупка активов компании у акционеров и передача им опциона колл на данные активы с ценой исполнения, равной стоимости кредита, и временем исполнения, равным сроку погашения кредита.
10 Кратко остановимся на истории этой модели. В 1973 г. в статье «Оценка опционов и корпоративных обязательств» американские ученые Ф. Блэк и М. Шоулс (Black, Scholes, 1973) предложили принципиально новый подход к оценке стоимости опционов, основанный на стоимости компании. В статье была высказана идея, что подобным образом можно оценивать и обязательства компании: держатели акций могут рассматриваться как обладатели опциона колл на стоимость ее активов, при том что этим правом их наделили держатели облигаций. Через год данный подход расширил Р. Мертон (Merton, 1974) для анализа и оценки корпоративных облигаций и появился класс моделей оценки активов Блэка–Шоулза–Мертона (BSM).
11 Структурные модели, они же модели стоимости фирмы, или модели на основе стоимости акций, являются расширенными версиями изначальной модели BSM. Они ставят перед собой достаточно фундаментальные цели — получить взаимосвязь стоимости акций и долговых инструментов, выпущенных компанией, иначе говоря, найти зависимость между акционерным капиталом и долгом компании. Известно, что держатели долговых инструментов имеют первоочередное право получать инвестированные в компанию средства, и только потом свои средства получают акционеры. Таким образом, капитализация — остаточная стоимость компании, или то, что остается после выплаты долговых обязательств. Следовательно, теоретически, капитализация может быть отрицательной величиной, если стоимость активов меньше долговых обязательств (это и есть момент дефолта). Заметим, что на практике под рыночной капитализацией компании понимают суммарную стоимость акций, которая, очевидно, неотрицательна. Однако в данном случае речь идет именно о справедливом значении капитализации, которое, очевидно, может отличаться от текущей оценки рынком. В случае если существует акционерный капитал с отрицательной стоимостью, то акционеры могут избавиться от него без каких-либо издержек для себя. Иначе говоря, акционеры не реализуют опцион колл и оставляют фирму кредиторам — держателям долга, и в этом случае компания объявляет дефолт. Таким образом, с помощью структурной модели можно оценить практически любой инструмент, зависящий от кредитного спреда, так как любой чувствительный к кредитному качеству инструмент можно представить как опцион на стоимость компании.
12

2. РАСЧЕТ ПРЕМИЙ ОПЦИОНОВ В МОДЕЛИ МЕРТОНА И ЕЕ МОДИФИКАЦИЯХ

13 Динамика стоимости активов компании в модели Мертона (и классической модели Блэка–Шоулза) записывается в виде стохастического дифференциального уравнения, определяющего геометрическое броуновское движение:
14 dSt=μStdt+σStdWt,
15 где St  — стоимость актива в момент времени t, μ  — дрифт цены, или ожидаемая доходность; σ  — волатильность актива, dWt — винеровский процесс.
16 Исходя из предположений классической модели, премии опционов описываются следующими формулами:
17 CallS,t=SΦd1-Strikee-rT-tΦd2,
18 PutS,t=Strike e-rN Ф-d2-SФ-d1t,N,
19 где
20 d1=lnS/Strike+r+0,5σ2T-t/σT-t, d2=d1-σT-t,
21 CallS,t  — текущая стоимость опциона колл в момент t; S  — текущая цена базисного актива; Ф  — кумулятивная функция плотности вероятности для стандартного нормального распределения; Strike  — цена исполнения опциона; r  — непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка; T  — момент экспирации опциона; σ  — волатильность непрерывной доходности базисного актива.
22 Описанная выше модель, основанная на геометрическом броуновском движении, является далеко не единственным способом описания динамики базового актива и, вероятнее всего, нелучшим — в силу наличия ряда явных недостатков. В частности, неизменность параметров μ  и  σ противоречит наблюдаемым фактам, связанным с кластеризацией волатильности, а нормальность распределения цены акции в момент Т и линейный характер ее изменения относительно текущего значения являются крайне жесткими ограничениями.
23 Необходимо отметить, что в качестве динамики базового актива могут рассматриваться и иные случайные процессы непрерывного времени, предполагающие те или иные дополнительные свойства случайного процесса, описывающего динамику базового актива (например, модель Орнштейна–Улунбека (Lo, Wang, 1995)).
24 В силу дискретности временного ряда биржевых котировок нам видится предпочтительным переход от моделей непрерывного времени к моделям дискретного времени в контексте параметрических моделей. Данные модели позволяют учитывать широкий спектр особенностей входящих данных. В данной статье будет рассмотрен один из типов таких моделей — ARMA-модели (авторегрессии скользящего среднего). Применение данных моделей основывается, с одной стороны, на большом числе эмпирических данных о наличии тех или иных особенностей временных рядов рыночных данных, например автокорелляции, гетероскедастичности, TS- и DS-трендов, а с другой стороны — простоту описания и разработанную методологию построения моделей: методы оценки параметров моделей, выбора наилучшей (с точки зрения описания текущего временного ряда, прогнозов и избыточности параметров) по различным критериями возможности построения прогноза динамики рыночной цены актива, возможность построения точечных и интервальных прогнозов для рассматриваемого временного ряда на заданном временном горизонте.
25 В работах (например, (French, Roll, 1986; Conrad, Kaul, 1988; Fama, French, 1988; Lo, MacKinlay, 1988; Jegadeesh, 1990; Lehmann, 1990) приведены исследования, подтверждающие наличие автокорелляций и временных рядов финансовых данных; в статьях (Duan, 1995; Hsieh, Ritchken, 2000; Stentoft, 2011) подтверждается наличие гетероскедастичности. В работе (Huang, Wu, 2008) для оценки европейских опционов колл и пут была получена формула, аналогичная формуле Блэка–Шоулза в классическом случае:
26 Call S,  t=S Фd1t,N- Strike e-rN Фd2t,N,
27 PutS,t=Strike e-rN Ф-d2-SФ-d1t,N,
28 где Tt = N,
29 d1t,n=lnSStrike+r+12 σn2n/σnn ,    d2t,n=d1t,n-σnn,
30 σn2=i=1n(σBin)2/n, BiN= x=0N-iθxx,
31 yjk=ϕjy1k-1+1(j<p)yj+1k-1, j=1,., p ;
32 θjk=βj-ky1k-1+1(j<k+q)θjk-1,  jk;θjj,  j<k;
33 y1-1=1;    yj0=φi;    θj0=βj;    i=1, , p;     j=0, , q.
34 Цена базового актива в данном случае подчиняется соотношению
35 lnStSt-1=φ0+i=1pφilnSt-iSt-i-1+σj=0qβjZt-jP,
36 где p и q — порядки AR- и MA-частей рассматриваемого процесса φiR и βjR  — соответствующие коэффициенты AR- и MA-частей, причем β0=1 ; φ0  — произвольное, σ>0  — волатильность; Zt+1P  — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение.
37 Соотношения для ARMA(p, q)-европейского опциона отличаются от формулы Блэка–Шоулза только тем, что волатильность σn зависит от параметров AR и MA вместо постоянной волатильности σ .
38 Данный подход хотя и является некоторым расширением базовой модели, но при этом сохраняет большую часть присущих данной модели недостатков, так как не учитывает прогноза динамики базового актива.
39 В статье делается попытка дополнить ARMA-подход за счет перехода к цене опциона не непосредственно, а с учетом уровня принятия риска, иными словами, дополнительно применить идеи VaR и CVaR.
40 Определение. Пусть X  — стоимость портфеля в момент времени t. Тогда VaR с доверительным уровнем вероятности 1-α определяется как VaRαX :
41 VaRαX= infxRPXx1-α=FXx=1-α,
42 CVaRαX=EXXVaRαX =11-α01-αVaRγXdγ.
43 Согласно определению премия опциона равна денежной сумме, которую покупатель по опционному договору платит продавцу.
44 В рамках Value-at-Risk -подхода премии опциона будут равны:
45 CallSt, T, Strike, α=exp-rT-tmax-VaRαStrike-ST, 0,
46 PutSt, T, Strike, α=exp-rT-tmax-VaRαST-Strike, 0 , —
47 и для Expected Shortfall-подхода:
48 CallSt, T, Strike, α=exp-rT-tmax-СVaRαStrike-ST, 0==exp-rT-tmax-11-α01-αVaRγStrike-STdγ, 0,
49 PutSt, T, Strike, α=exp-rT-tmax-СVaRαST-Strike, 0==exp-rT-tmax-11-α01-αVaRγST-Strikedγ, 0.
50 Пусть t  — текущий момент времени, T=t+N  — время экспирации опциона. Опишем подход продавца европейского опционов колл и пут с использованием подхода Value-at-Risk. Продавец опциона заинтересован в том, чтобы его доход на момент T экспирации опциона был неотрицательным, т.е. PremiumT-maxST-Strike,     00 для опциона колл и PremiumT-maxStrike-ST,  00 для опциона пут.
51 В условиях положительной безрисковой ставки продавец опциона может реинвестировать полученную премию, следовательно, данное условие выполняется для PremiumT=Premiumtexp-rT-t , где, как обычно, r — непрерывно начисляемая безрисковая ставка.
52 Допустим, что продавец знает FSTx  — функцию распределения базового актива в момент времени T. Определим уровень принятия риска α как соответствующую квантиль, определяемую продавцом в момент продажи опциона. Тогда с вероятностью 1-α  убыток продавца опциона колл в момент времени T составит не более max-VaRαStrike-ST, 0  для подхода Value-at-Risk и max-CVaRαStrike-ST, 0 — для подхода Expected Shortfall.
53 Полагая величиной премии опциона соответствующий потенциальный убыток, определенный с соответствующим уровнем принятия риска продавцом опциона с учетом безрисковой ставки, получаем приведенные выше соотношения.
54 Введем ряд обозначений. Пусть Stt=0N  — последовательность котировок базового актива во времени. Определим доходность как Rt=lnSt/St-1,     t=1,  ...,  N .
55 Определим SN+K в качестве будущей цены базового актива. Для нее в момент времени t= N+K выполняется равенство SN+K=SNexpj=1KRN+j .
56 Для VaRαSN+K-Strike получаем:
57 VaRαSN+K-Strike=infxPSN+K-Strikex1-α== infxPSNexpj=1KRN+j-Strikex1-α==infxPexpj=1KRN+jx+Strike/SN1-α== infxPj=1KRN+jlnx+Strike/SN1-α==infxFj=1KRN+jlnx+Strike/SN1-α.
58 VaRαStrike-SN+K=infxPStrike-SN+Kx1-α= =infxPStrike- SNexpj=1KRN+jx1-α=infxP SNexpj=1KRN+j-Strike-x1-α==infx1-P SNexpj=1KRN+j-Strike-x1-α= =infx1-Pj=1KRN+jlnStrike-x/SN1-α=infx1-Fj=1KRN+jlnStrike-x/SN1-α. Так как истинные RN+jj=1,  ...,  K недоступны, необходимо использовать оценки доходностей – R^N+jj=1,  ...,  K , которые можно получить исходя из модели прогнозирования временных рядов, в нашем случае — из авторегрессионной модели скользящего среднего (ARMA-модель). Такая модель предполагает, что динамика доходности базового актива задается разностным уравнением
59 Rt=φ0+ i=1pφiRt-i+εt+j=1qθjεt-j,
60 где p  — порядок авторегрессии модели (AR), q  — порядок скользящего среднего модели (MA), εt  — белый шум, φi, θj — параметры моделей.
61 Применительно к этому соотношению следует сделать два замечания. Во-первых, мы сознательно записали ARMA-процесс не для цены актива Stt00 , а для доходности Rt , поскольку в этом случае можно использовать распределения с областью значений (–∞; +∞). Во-вторых, в данной статье мы налагаем требование слабой стационарности на процесс, что позволяет нам пользоваться двумя эквивалентными представлениями для Rt (Box, Jenkins, Reinsel, 1994):
62 1) в виде полной MA модели — Rt=j0ψjεt-j ,     ψ01;
63 2) в виде усеченной MA модели — Rt=j=0t-k-1ψjεt-j + Ckt-k,     ψ01, где Ckt-k  — решение разностного уравнения φLCkt-k=0, φL=1-i=1pφiL  — лаговый оператор.
64 Для вычисления VaRαS^N+K-Strike , входящего в выражение для премии опциона при VaR-подходе, нам необходимо рассчитать R^N+jj=1,  ...,  K  — прогнозы доходностей на j шагов вперед.
65 Это можно сделать, записав уравнение для Rt+j в усеченной форме и взяв t=k в Ckt-k+j , получим Rt+j= εt+j+ψ1εt+j-1++ψj-1εt+1+Ctj. Применив оператор условного математического ожидания к обеим частям уравнения, имеем R^t+j=EtRt+j=Ctj .
66 Учитывая, что Rt+j= etj+R^t+j , где etj=j=0jψjεt-j,  ψ01  — ошибка прогноза на шаге j, можно составить представление о свойствах полученного прогноза доходности базисного актива.
67 Во-первых, среднеквадратичная ошибка прогноза, определяемая как Dtetj= DtRt+j-R^t+j , не коррелирована с прошлыми значениями:
68 DtRt+j-R^t+j=DRt+j-R^t+j=ERt+j-R^t+j2.
69 Во-вторых, среднее квадратичное отклонение, ошибки прогноза с учетом усеченной формы MA представления процесса Rt+j , может быть представлено в виде
70 Detj= 1+ψ12++ψj-12σε,
71 где σε  — дисперсия белого шума, определяемая в процессе калибровки модели на исторических данных.
72 Учитывая, что в выражение для цены актива SN+K=SNexpj=1KRN+j входят не отдельные значения будущих доходностей актива, а их сумма, удобно ввести обозначение υN+K=j=1KRN+j. Прогноз υ^N+K=j=1KRN+j является оптимальным прогнозом для υN+K . При этом ошибка прогноза
73 υN+K- υ^N+K=j=1KeN+j=εN+k+(1+ψ1)εN+K-1++ (1++ψK-1)εN+1=j=0K-1l=0jψlεN+K-j,     ψ01.
74 Cреднеквадратичное отклонение ошибки прогноза:
75 DυN+K- υ^N+K=Dj=1KeN+j=Ej=0K-1l=0jψlεN+K-j2=j=0K-1l=0jψl2σε2,     ψ01.
76 Последнее равенство имеет место в силу условия εt  — белый шум.
77 Таким образом, вычисление прогноза доходности базового актива при ARMA-модели (который, в свою очередь, войдет в выражение для VaR базового актива и выражение для премии опциона) требует вычисления весов ψi . Найти последние можно исходя из MA -представления рассматриваемой ARMAp, q -модели через решение соответствующего уравнения для лаговых операторов:
78 φLψL=θL, 1-φ1L- ... - φpL1+ψ1L+ψ2L+ ...= 1-θ1L-  ...-θqL.
79 Сгруппировав соответствующие коэффициенты при соответствующих степенях L , получаем итерационную систему:
80 ψ1=φ1-θ1;ψ2=φ1ψ1+φ2-θ2;...ψj=φ1ψj-1+...+φpψj-p-θj;ψ01;     ψj-p=0,     j-p0;   θj=0,  jq.
81 Приведенные выше рассуждения позволяют нам в конечном итоге найти распределение будущей цены базового актива, что при VaR-подходе позволяет непосредственно оценить опцион, пользуясь формулами, приведенными выше:
82 CallSt, T, Strike, α=exp-rT-tmax-VaRαStrike-ST, 0, (1)
83 PutSt, T, Strike, α=exp-rT-tmax-VaRαST-Strike, 0. (2)
84 Ниже получены распределения будущей цены актива для двух типов моделей: а) в предположении, что случайная ошибка ARMA-модели распределена нормально, εt~N0, σε; б) в предположении, что случайная ошибка ARMA-модели имеет распределение Стьюдента εt~tm .
85 2.1. Случай нормально распределенной ошибки
86 Пусть εn~Nμn, σε . Согласно свойствам независимых гауссовых случайных величин:
87 iψiεi~Niψiμi,iψi2σε,      ψiR. 
88 Используя данное свойство, получаем υN+K= j=1KRN+j~Nυ^N+K,     σεj=0K-1l=0jψl-2==Nj=1KRN+j,     σεj=0K-1l=0jψl-2,    ψ01, таким образом, FυN+Kx=Φx-j=1KR^N+j/σεj=0K-1l=0jψl2 , ψ01.
89 2.2. Случай тяжелых хвостов (ошибки с распределением Стьюдента)
90 Пусть случайная ошибка имеет распределение Стьюдента, т.е. εt~tn. Введем обозначения для линейных комбинаций некоторых случайных величин T*=i=1kcitni, где tni~tni  — случайная величина с распределением Стьюдента с ni степенями свободы, ciR ; T=i=1kχiXni, где Xni=tni/ni,  χi=cini/ω,  ω=cini,  χi0,    i=1kχi =1. Из этого следует, что Pi=1kcitniy=Pi=1kχiXniy', где y'=y/ω.
91 Воспользовавшись результатом (Walker, Saw, 1978), получаем
92 Pi=1kcitniy=Pi=1kχiXniy'=i=0SηiHiy'=i=0SηiHiωy,
93 где Hiy=PX2i+1y,  S=i=1kmi ,     ni=2mi+1 , а коэффициенты ηi определяются из уравнений
94 ηT=λTQ-1;λTΘ1=j=1kQmjΘχj,
95 Где
96 Θc= 1χcχc2...,  Qi,j=i!2i-j!2j2i!j!i-j!,     0ji,     i0;0,     j>i;
97 Qmj=Qmj, k1,    Q-1m, j=-1m-j2j!m+1!2mm-j!j!2j-m+1!,     jm2j+1;0     -  иначе,
98 tn : Fx=1-0,5In/x2+n0,5n;    0,5,
99 Ixa;b  — регуляризованная неполная бета-функция.
100 Для рассматриваемой задачи mi=m=0,5n-1. Выпишем решение для коэффициентов ηi в замкнутой форме. Согласно статье (Walker, Saw, 1978):
101 exp-υj=1nQmΘχj=exp-υλTΘ1.
102 Из определения Θc : Θχj= I~χjΘ1,  
103  I~c=100...0c0...00c2...............=ciδi,j,
104 δi,j  — символ Кронекера,
105 j=1nQmΘχj=Qmj=1nΘχj=Qmj=1nI~χjΘ1=Qmj=1nI~χjΘ1=  Qmδi,jk=1nαkiΘ.
106 Следовательно, λT=Qmδi,jk=1nχki . Тогда
107 ηT= Qmδi,jk=1nχkiQ-1=Qmδi, jk=1nχki2j!/2jj!.
108 Для рассматриваемой задачи имеем
109 ω=j=0K-1l=0jψl,     χi=l=0iψl/j=0K-1l=0jψl,     mi=m=0,5n-1. Следовательно, S=0,5Kn-1 ,
110 υN+K=υ^N+K+i=0K-1l=0jψlεN+K-j=υ^N+K+i=0K-1l=0jψl  tN+K-jn.
111 Используя полученные результаты, определим
112 FυN+Kx=i=0SηiPt2i+1ωx2i+1=i=00,5Kn-1ηiFt2i+1ωx2i+1= =i=00,5Kn-1ηi1-0,5I1/ω2x2+1i+0,5;   0,5.
113 Приведенные выше характеристики распределения будущей доходности базового актива в предположении, что его динамика подчиняется ARMA-модели с нормальными или стьюдентовскими инновациями, соответственно, позволяют рассчитать Var для любого заданного уровня риска и получить премии европейских опционов пут и колл.
114 Таким образом, итоговые выражения для премий европейских опционов выглядят следующим образом.
115 I. VaR-подход:
116
  1. для случая нормальных ошибок —
117 PutSN,N+K, Strike, α=e-rKmax-infx |  FυN+Klnx+Strike/SN1-α, 0==e-rKmax-infxΦlnx+Strike/SN-j=1KR^N+jσεj=0K-1l=0jψl21-α, 0,
118 CallSN, N+K, Strike, α==e-rKmax-infx1-Φlnx+Strike/SN-j=1KR^N+jσεj=0K-1l=0jψl21-α, 0;
119
  1. случай стьюдентовских ошибок tn :
120 PutSN, N+K, Strike, α=e-rKmax-infx | FυN+Klnx+Strike/SN1-α, 0==e-rKmax-infx | Z1-α, 0,
121 CallSN, N+K, Strike, α=e-rKmax-infx1-Z1-α, 0, ,
122 где Z=i=00,5Kn-1ηi1-0,5I1/ω2lnx+Strike/SN2+1i+0,5;     0,5.
123 II. Для расчета CVaR в замкнутой форме воспользуемся результатами из (Rachev, Stoyanov, Fabozzi, 2008):
124
  1. для случая нормального распределения —
125 CVaRαX= σXα2πexp-0,5VaRαY2-EX,
126 где Y~N0,1  — случайная величина; EX  — математическое ожидание X;
127
  1. для случая распределения Стьюдента с υ степенями свободы —
128 CVaRαX= Г0,5ν+1Г0,5υυαυ-1π1+VaRαX2/υ0,51-υ.
129 Исходя из приведенных формул, получаем, что для нормального распределения
130 CVaRαSN+K-Strike= σSN+Kj=0K-1l=0jψl2/1-α2π××exp-0,5VaRαY2-SNexpj=1KR^N+j+Strike.
131 Для случая распределения Стьюдента c n степенями свободы имеем
132 CVaRαSN+K-Strike= Γ0,5n+1/Γ0,5nn1-αn-1π××1+infxi=00,5Kn-1ηi1-0,5Iω2lnx+Strike/SN2+1-1i+0,5;   0,51-α2/n0,51-n.
133 В качестве апробации модели попробуем рассчитать премии опционов по предложенной модели и модели B–S со сроком семь дней (для упрощения будут приведены примеры расчетов премий опционов по B–S и по VaR/CVaR с доверительной вероятностью 95% для модели с нормальным распределением ошибок).
134 Приведем примеры расчетов P&L для продавцов опционов при использовании Блэка–Шоулза/VaR/CVaR-подходов в период с 29.05.2019 по 31.12.2019. Из приведенных данных видно, что использование VaR/CVaR-подходов позволяет увеличить доход по сравнению с использованием подхода Блэка–Шоулза (рис. 1, 2).
135

136 Рис. 1. Финансовый результат продавца опциона колл, долл. США
137

Рис. 2. Финансовый результат продавца опциона пут, долл. США

138 3. Использование VaR- и CVaR-подходов для определения кредитного спреда
139 Полученные нами результаты могут быть использованы не только непосредственно для оценки европейских пут и колл опционов, но и для определения кредитного спреда s=R-rf, где  rf  — безрисковая ставка; R — доходность облигации.
140 Для этого необходимо сделать предположения относительно структуры капитала фирмы. Мы воспользуемся подходом, реализованным в модели Мертона, который предполагает, что совокупный долг состоит только из одной бескупонной (дисконтной) облигации и никаких дополнительных заимствований до момента погашения данной облигации не производится. Кроме того, собственный капитал компании состоит только из обыкновенных акций.
141 При таких предположениях стоимость активов в каждый момент времени представляет собой сумму долга и собственного капитала Vt=Bt+Et , где Vt  — стоимость активов компании в момент времени t; Bt — стоимость совокупного долга компании в момент времени t, представленного одной бескупонной облигацией с номиналом D и датой погашения Т; Et  — стоимость собственного капитала в момент времени t.
142 Учитывая данное соотношение, мы можем оценить облигацию (долг компании) двумя способами. Традиционно, как приведенный денежный поток Bt=De-RT-t, а также как портфель, состоящий из безрисковой облигации и европейского опциона пут на активы с ценой исполнения (страйком) D и временем до экспирации Т.
143 Действительно, если в момент времени Т стоимость активов компании превышает D, то владельцы облигаций получают ее номинал D, а акционеры — остаточную стоимость активов  VT-D . В противном случае владельцы облигаций получают активы компании в размере VT , а акционеры не получают ничего. Иными словами, компания допускает дефолт. Заметим, что акционеру никогда не приходится компенсировать потери держателю облигации, то есть ET0 .
144 Из сказанного следует, что выплата держателю облигации определяется как BT=minVT, D. Выражение для выплат держателям облигаций в момент ее погашения T включает слагаемое, характерное для опционов: BT=D-maxD-VT, 0.
145 Из этого следует, что выплата держателю облигации эквивалентна выплате от портфеля, состоящего из длинной позиции на безрисковую облигацию с номиналом D и короткой позиции по европейскому опциону пут на активы компании со страйком D и датой экспирации T.
146 Таким образом, получаем еще одно выражение для цены облигации (долга компании): Bt=e-rfT-tD-PutVt, T, D, α. Приравняв данные выражения, получаем De-RT-t= D e-rfT-t-PutVt, T, D, α. Отсюда выразим кредитный спред:
147 s= R-rf= -ln1-erfT-tPutVt, T,  D, α/D/T-t.
148 Подставляя в формулу для s значения T-t=K, t0=N, Si= Vi и применяя формулы для расчета стоимости опционов пут, получим значение кредитного спреда.
149 Например, для VaRα -подхода с нормально распределенными ошибками получаем
150 s= -1Kln1-max-infxΦlnx+DVN-j=1KR^N+j/σεj=0K-1l=0jψl21-α, 0/D.