Study of flow dynamics in the model of cargo transportation organization along a circular chain of stations
Table of contents
Share
Metrics
Study of flow dynamics in the model of cargo transportation organization along a circular chain of stations
Annotation
PII
S042473880013024-5-1
DOI
10.31857/S042473880013024-5
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Nerses Khachatryan 
Occupation: Deputy Director for Research, Central Economics and Mathematics Institute RAS
Affiliation: Central Economics and Mathematics Institute, Russian Academy of Sciences
Address: Moscow, Russian Federation
Levon Beklaryan
Affiliation: Central Economics and Mathematics Institute, Russian Academy of Sciences
Address: Russian Federation, Moscow
Pages
83-91
Abstract

 

The article is devoted to the construction and study of a model for organizing railway cargo transportation along a circular chain of stations. Each station is characterized by a certain number of roads, each of which can be involved at any time, as well as the efficiency of their use. Cargo traffic is carried out using two technologies. The first technology is based on the interaction of neighboring stations and sets the intensity of the flow between them, depending on the ratio of free roads on them and the normative coefficient characterizing the capacity of railway tracks (sections of the railway line between stations) and the technical characteristics of the railway rolling stock engaged in transportation. It is supplemented by a second technology, the task of which is to make full use of the capacity of stations, which is expressed in the amount of cargo transported per unit of time, depending on the congestion of stations and the efficiency of roads use. Such a model is described by a system of differential equations with discontinuous right-hand sides. The analytical solution of such a system is extremely difficult, therefore, it was investigated numerically. The results of a numerical study of this system are presented, the main purpose of which is to determine the dynamics of freight traffic, and also study its dependence on the model parameters characterizing the capacity of the stations and railway tracks, as well as the workload of the stations in the initial time.

 

 

Keywords
organization of railway cargo transportation, freight traffic intensity, differential equations, numerical solution, stationary flow
Received
25.03.2021
Date of publication
29.03.2021
Number of purchasers
0
Views
56
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf 100 RUB / 1.0 SU

To download PDF you should sign in

Full text is available to subscribers only
Subscribe right now
Only article
100 RUB / 1.0 SU
Whole issue
830 RUB / 15.0 SU
All issues for 2021
2534 RUB / 50.0 SU
1

ВВЕДЕНИЕ

2 Транспорт играет важную роль в экономике страны. Он обеспечивает развитие, связь и координацию работы всех отраслей экономики, а также связь между регионами страны. Развитие транспорта является важнейшим условием модернизации экономики. Оно невозможно без оптимального планирования сетей, улучшения организации движения и ряда других задач, решение которых невозможно без математического моделирования транспортных потоков. Здесь можно выделить два крупных направления: моделирование загрузки транспортных сетей городов и моделирование динамики транспортного потока (Швецов, 2003). Первое направление представлено моделями расчета корреспонденций такими как гравитационная модель (Carrothers G. A. P. 1956; Wilson A. G., 1971), энтропийная модель (Harris B., Wilson A. G., 1978; Popkov Yu. S., 1995), модели семейства конкурирующих центров (Fotheringham A. S., 1983; Fotheringham A. S., 1986), а также моделями распределения потоков по сети, включая различные варианты равновесного распределения и алгоритм оптимальных стратегий (Shvetsov V.I., 2009; Leventhal T., Nemhauser G.L., Trotter L., 1973; Lo H.K., Chen A., 2000; Bar-Gera H., 2002; Spiess H., Florian M., 1989). Второе направление представлено основными классами динамических моделей – макроскопическими (гидродинамическими), кинетическими (газодинамическими) и микроскопическими. Макроскопические модели (Daganzo C. F. 1994; Daganzo C. F. 1995; Гасников и др., 2013; Сухинова и др., 2009; Иносэ, Хамада, 1983) описывают движение транспортных средств в усредненных терминах, таких как плотность, средняя скорость, поток и др. При таком подходе транспортный поток уподобляется движению специфической жидкости, поэтому модели этого класса также называют гидродинамическими. Микроскопическими называются модели, в которых явно моделируется движение каждого автомобиля. Такой подход позволяет теоретически достичь более точного описания движения транспортных средств по сравнению с усредненным макроописанием, однако этот подход требует больших вычислительных ресурсов при практических применениях. Примерами таких моделей являются модели следования за лидером (Brackstone M., McDonald M., 2000), модели оптимальной скорости (Bando M., Hasebe K., Nakayama A., Shibata A., Sugiyama Y., 1995), модель Трайбера (Treiber M., Hennecke A., Helbing D., 2000), а также модели клеточных автоматов (Cremer M., Ludwig J., 1986; Chowdhury D., Santen L., Schadschneider A., 2000). Промежуточное место занимает кинетический подход, при котором поток описывается плотностью распределения транспортных средств в фазовом пространстве, т.е. пространстве координат и скоростей автомобилей (Helbing D., Treiber M., 1998; Nelson P., 1995). Динамика фазовой плотности описывается кинетическим уравнением. Это уравнение основано на усредненном описании эффектов взаимодействий индивидуальных транспортных средств, и в этом смысле оно ближе к микроуровню, чем гидродинамические уравнения. Отметим, что модели, в которых движение транспортного средства уподобляется какому-либо физическому потоку (гидро - и газодинамические модели), как правило применяются при описании движения автомобильного транспорта.
3 В данной статье представлена макроскопическая динамическая модель, описывающая движение железнодорожного транспорта по сети, представляющей собой круговую цепочку станций (Beklaryan L.A., Khachatryan N.K., 2006; Khachatryan N.K., Akopov A.S., 2017 ; Khachatryan N.K., Akopov A.S., Belousov F.A., 2018; Beklaryan Levon A., Khachatryan Nerses K., Akopov Andranik S., 2019; Бекларян Л.А., Хачатрян Н.К., 2013; Бекларян Л.А. , Хачатрян Н.К. , 2019). Транспортный поток в железнодорожной сети формируется в результате применения технологий, осуществляющих взаимодействие соседних станций с учетом их пропускной способности, а также пропускной способности перегонов. Такая модель позволяет прогнозировать загруженность станций и динамику потока, возникающего в железнодорожной сети. В отличие от аналогичных моделей, описанных в работах, указанных выше, станции имеют различные характеристики (количество путей и эффективность их использования).
4

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

5 Рассмотрим движение грузопотока по круговой цепочке, состоящей из n станций. Обозначим через Δi,    i=1,  2,...,n число путей на i-й станции. Каждая станция в произвольный момент времени характеризуется количеством задействованных путей. Пусть zi(t),    i=1,  2,...,n число путей, задействованных на i-й станции в момент времени t. Тогда Δi-zi(t),    i=1,  2,...,n - число свободных путей на i-й станции в момент времени t. Очевидно, что функции zi(t) должны удовлетворять следующим ограничениям:
6 0zi(t)Δi,    i=1,  2,...,n . (1)
7 Движение грузопотока осуществляется с помощью двух технологий. Первая технология основана на процедуре взаимодействия соседних станций. Согласно ей произвольная станция
8
  1. принимает груз с предыдущей станции, если число свободных путей на ней больше чем на предыдущей станции и предыдущая станция не пуста. При этом интенсивность приема пропорциональна как разности чисел свободных путей на этих станциях, так и числу свободных путей на данной станции.
  2. Отправляет груз на следующую станцию, если число свободных путей на ней меньше чем на следующей станции, и она не пуста. При этом интенсивность отправки пропорциональна как разности чисел свободных путей на этих станциях, так и числу свободных путей на следующей станции.
9 Таким образом, каждая станция с номером i ( 2in-1 ) в рамках первой технологии должна принять груз с предыдущей станции с интенсивностью, равной α[ (Δi-zi)-(Δi-1-zi-1)](Δi-zi)sign(Δi-zi)sign(zi-1) , если Δi-zi>Δi-1-zi-1 и отправлять груз на следующую станцию с интенсивностью, равной α[ (Δi+1-zi+1)-(Δi-zi)](Δi+1-zi+1)sign(Δi+1-zi+1)sign(zi) , если Δi+1-zi+1>Δi-zi .
10 Для 1 -й станции предыдущей является n -я станция, соответственно, для n -й станции последующей является 1 -я станция. Поэтому, 1 -я станция в рамках первой технологии должна принять груз с предыдущей станции с интенсивностью, равной α[ (Δ1-z1)-(Δn-zn)](Δ1-z1)sign(Δ1-z1)sign(zn) , если Δ1-z1>Δn-zn и отправлять груз на следующую станцию с интенсивностью, равной α[ (Δ2-z2)-(Δ1-z1)](Δ2-z2)sign(Δ2-z2)sign(z1) , если Δ2-z2>Δ1-z1 .
11 Аналогично, n -я станция должна принять груз с предыдущей станции с интенсивностью, равной α[ (Δn-zn)-(Δn-1-zn-1)](Δn-zn)sign(Δn-zn)sign(zn-1) , если Δn-zn>Δn-1-zn-1 и отправлять груз на следующую станцию с интенсивностью, равной α[ (Δ1-z1)-(Δn-zn)](Δ1-z1)sign(Δ1-z1)sign(zn) , если Δ1-z1>Δn-zn .
12 Функция sign(.) определяется следующим образом:
13 sign(t)=1,     t>00,    t0.
14 Параметр α характеризует потенциал первой технологии и ограничивается пропускной способностью перегонов (участков железнодорожной линии между станциями) и техническими характеристиками железнодорожного подвижного состава, осуществляющего перевозки.
15 Каждая станция обладает определенной пропускной способностью. В данной модели она выражается количеством перевозимого груза за единицу времени в зависимости от загруженности станций, причем в общем случае эта зависимость у каждой станции своя из-за разницы в числе путей и эффективности их использования. Предполагается, что станции стремятся использовать пропускную способность в полной мере. Данная задача решается в рамках второй технологии, согласно которой произвольная станция дополнительно принимают и отправляют грузопоток с интенсивностью, определяемой пропускной способностью, соответственно, на ней и на следующей станции. Она описывается с помощью непрерывных убывающих функций φi(.),    i=1,2,...,n , определенных на отрезке [0, Δi] , причем φi(Δi)=0,    i=1,2,...,n .
16 Таким образом, интенсивность движения грузопотока на станциях задается с помощью следующей системы дифференциальных уравнений:
17 z˙1(t)=α (Δ1-z1-Δn+zn)sign(Δ1-z1-Δn+zn)(Δ1-z1)sign(Δ1-z1)sign(zn)- -α (Δ2-z2-Δ1+z1)sign(Δ2-z2-Δ1+z1)(Δ2-z2)sign(Δ2-z2)sign(z1)+ +φ1(z1)-  φ2(z2),      t[0, +) ; (2)
18 z˙i(t)=α (Δi-zi-Δi-1+zi-1)sign(Δi-zi-Δi-1+zi-1)(Δi-zi)sign(Δi-zi)sign(zi-1)- -α (Δi+1-zi+1-Δi+zi)sign(Δi+1-zi+1-Δi+zi)(Δi+1-zi+1)sign(Δi+1-zi+1)sign(zi)+ +φi(zi)-  φi+1(zi+1),      i=2,  3,...,n-1,    t[0, +) ; (3)
19 z˙n(t)=α (Δn-zn-Δn-1+zn-1)sign(Δn-zn-Δn-1+zn-1)(Δn-zn)sign(Δn-zn)sign(zn-1)- -α (Δ1-z1-Δn+zn)sign(Δ1-z1-Δn+zn)(Δ1-z1)sign(Δ1-z1)sign(zn)+ +φn(zn)-  φ1(z1),      t[0, +). (4)
20 Отметим, что конструкция правых частей системы (2)-(4) гарантирует, что всякое ее решение, удовлетворяющее условию (1) в начальный момент времени, будет удовлетворять ему и в последующие моменты времени.
21 Перепишем систему (2)-(4) в следующем виде:
22 z˙1(t)=α (zn-z1+Δ1-Δn)sign(zn-z1+Δ1-Δn)(Δ1-z1)sign(Δ1-z1)sign(zn)- -α (z1-z2+Δ2-Δ1)sign(z1-z2+Δ2-Δ1)(Δ2-z2)sign(Δ2-z2)sign(z1)+ +φ1(z1)-  φ2(z2),      t[0, +) ; (5)
23 z˙i(t)=α (zi-1-zi+Δi-Δi-1)sign(zi-1-zi+Δi-Δi-1)(Δi-zi)sign(Δi-zi)sign(zi-1)- -α (zi-zi+1+Δi+1-Δi)sign(zi-zi+1+Δi+1-Δi)(Δi+1-zi+1)sign(Δi+1-zi+1)sign(zi)+ +φi(zi)-  φi+1(zi+1),      i=2,  3,...,n-1,    t[0, +) ; (6)
24 z˙n(t)=α (zn-1-zn+Δn-Δn-1)sign(zn-1-zn+Δn-Δn-1)(Δn-zn)sign(Δn-zn)sign(zn-1)- -α (zn-z1+Δ1-Δn)sign(zn-z1+Δ1-Δn)(Δ1-z1)sign(Δ1-z1)sign(zn)+ +φn(zn)-  φ1(z1),      t[0, +). (7)
25 Помимо системы (5)-(7) рассмотрим ее частный случай соответствующий идентичности всех станций. т.е. в предположении, что все станции содержат одинаковое число путей и с одинаковой эффективностью их могут использовать. В этом случае Δi=Δj=Δ,   φi(.)=φj(.)=φ(.) для всех i,j=1,2,...,n и система уравнений (5)-(7) приобретает вид:
26 z˙1(t)=α (zn-z1)sign(zn-z1)(Δ-z1)sign(Δ-z1)sign(zn)- -α (z1-z2)sign(z1-z2)(Δ-z2)sign(Δ-z2)sign(z1)+ +φ(z1)-  φ(z2),      t[0, +) ; (8)
27 z˙i(t)=α (zi-1-zi)sign(zi-1-zi)(Δ-zi)sign(Δ-zi)sign(zi-1)- -α (zi-zi+1)sign(zi-zi+1)(Δ-zi+1)sign(Δ-zi+1)sign(zi)+ +φ(zi)-  φ(zi+1),      i=2,  3,...,n-1,    t[0, +) ; (9)
28 z˙n(t)=α (zn-1-zn)sign(zn-1-zn)(Δ-zn)sign(Δ-zn)sign(zn-1)- -α (zn-z1)sign(zn-z1)(Δ-z1)sign(Δ-z1)sign(zn)+ +φ(zn)-  φ(z1),      t[0, +). (10)
29 Несложно заметить, что система уравнений (8)-(10) имеет бесконечное множество стационарных решений вида:
30 zi=c,    0cΔ,    i=1,  ...,n . (11)
31 Аналитическое исследование других решений системы (8)-(10), а также решений системы (5)-(7), крайне затруднительно так как правые части дифференциальных уравнений в общем случае являются разрывными функциями. В связи с этим, системы (8)-(10) и (5)-(7) были исследованы численно.
32

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

33 Перейдем к изложению результатов численных экспериментов, в которых функции φi(.) были определены следующим образом:
34 φi(zi)=ai(Δi2-zi2),    i=1,2,...,n . (12)
35 Напомним, что функции φi(.) должны быть убывающими и удовлетворяющими условию φi(Δi)=0 . Параметр ai , участвующий в определении этих функций описывает эффективность использования путей на i -ой станции. Также отметим, что определяя такой класс функций φi(.) , мы предполагаем, что пропускная способность станций зависит как от числа путей, так и от эффективности их использования, причем с ростом эффективности использования путей растет линейно, а с увеличением числа путей больше чем линейно. Основная задача численных экспериментов заключалась в исследовании динамики решений системы (5)-(7) (в частности (8)-(10)), определяющей динамику интенсивности грузопотока, а также ее зависимость от начальных значений и параметров модели α,  ai,  Δi,    i=1,2,...,n .
36 Начнем с численного исследования системы (8)-(10). Отметим, что для системы (8)-(10) φi(zi)=φ(zi)=a(Δ2-zi2),    i=1,2,...,n , т.е. параметрами являются α,  a,  Δ .
37 2.1. Численное решение системы (8)-(10)
38 Как было отмечено выше, система (8)-(10) имеет стационарные решения вида (11). Как показывают численные эксперименты при любых значениях параметров α,  a,  Δ система (8)-(10) имеет непрерывное решение, причем любое ее решение со временем выходит на стационарный режим, т.е. существует t->0 такое, что всякое решение {zi()}1n системы (8)-(10) удовлетворяет условию zi=c-,   t[t-, +) . Более того значение с- зависит только от начальных условий и определяется следующим образом:
39 c-=1ni=1nzi(0) .
40 Момент времени t- зависит как от начальных условий так и от параметров модели. На рис.1 приведен график решений системы (8)-(10) при α=2,  a=0.1,  Δ=10   и следующих начальных условиях: z1(0)=3,  z2(0)=2,  z3(0)=5,  z4(0)=3,  z5(0)=4,  z6(0)=4,  z7(0)=3,  z8(0)=2,  z9(0)=1,  z10(0)=4 .
41

42 Рис.1. График решения системы (8)-(10)
43 Из правых частей уравнений (8)-(10) следует что начиная с момента времени t- первые два слагаемых в них равны нулю, ненулевыми являются только слагаемые определяемые функцией φ(.) . Это означает, что со временем движение грузопотока осуществляется только в рамках второй технологии, каждая станция принимает груз с предыдущей станции и отправляет на следующую станцию с постоянной интенсивностью φ(c-) , т.е. в системе грузоперевозок устанавливается стационарный поток На рис.2. приведены графики интенсивностей потоков, возникающих между станциями.
44

Рис.2 Интенсивность потока в случае идентичных станций

45 Как следует из определения функции φ(.) величина этого потока прямо пропорциональна параметрам a,  Δ и обратно пропорциональна значению c- . Таким образом, в случае идентичности станций в системе грузоперевозок начиная с некоторого момента времени устанавливается стационарный поток, величина которого увеличивается по мере роста пропускной способности станций и уменьшается с увеличением загрузки станций в начальный момент времени ( c- ). Отметим, что величина этого потока не зависит от характеристики первой технологии, т.е. параметра α . От него зависит время выхода на стационарный поток ( t- ). Чем меньше значение параметра α , тем позже наступит это время. Наконец отметим, что все выводы полученные в этом параграфе относительно динамики решений системы (8)-(10) и интенсивности потока остаются справедливыми и при α=0 , т.е. в системе грузоперевозок устанавливается такой же стационарный поток как и при α>0 , но в более отдаленном будущем.
46 2.2. Численное решение системы (5)-(7)
47 Перейдем к исследованию общей системы (5)-(7). В результате численных экспериментов было установлено, что система (5)-(7) имеет два типа решений. Первый тип решений характеризуется непрерывными правыми частями. Существуют t~>0 такое, что zi=c-i,  0<c-i<Δi,   i=1,  2,...,n,    t[t~, +) . (13)
48 Кроме того, выполнятся условие
49 1ni=1nc-i=c- , где c-=1ni=1nzi(0) .
50 Второй тип решения системы (5)-(7) характеризуется разрывными правыми частями. Как показывают численные эксперименты такие решения являются следствием того, что одна или несколько компонент решения начинают колебаться в правой окрестности нуля, принимая периодически нулевые значения (терпят разрывы). Это приводит к разрывам остальных компонент решения. Вследствие такого поведения решений интенсивность грузопотока меняется скачкообразно. Отметим, что такое поведение характерно для решений с малыми начальными значениями и решениями, полученными при значениях параметра α , близкого к нулю. Также отметим, что при α=0 решения системы (5)-(7) являются разрывными независимо от начальных условий. На практике такой режим грузоперевозок крайне сложно реализуем, поэтому, такой тип решений мы в дальнейшем рассматривать не будем.
51 Итак, наши дальнейшие исследования связаны с первым типом решений. На рис.3 приведен пример такого типа решения при α=2 и следующих значениях остальных параметров и начальных условий:
52 Δ1=10,  Δ2=11,  Δ3=12,  Δ4=8,  Δ5=10,  Δ6=11,  Δ7=9,  Δ8=10,  Δ9=12,  Δ10=10 . a1=0.1,  a2=0.2,  a3=0.3,  a4=0.05,  a5=0.4,  a6=0.1,  a7=0.1,  a8=0.2,  a9=0.2,  a10=0.02 . (14) z1(0)=4,  z2(0)=2,  z3(0)=5,  z4(0)=7,  z5(0)=6,  z6(0)=8,  z7(0)=5,  z8(0)=6,  z9(0)=8,  z10(0)=3 .
53

Рис.3. Графики решений системы (5)-(7) первого типа

54 Из за симметричности правил приема и отправки грузов (отправка грузов с i -й станции на i+1 -ю станцию с определенной интенсивностью равносильна приему грузов на i+1 -й станции с той же интенсивностью) и условия (13) следует, что каждая станция принимает груз с предыдущей станции и отправляет на следующую станцию с постоянной и одинаковой интенсивностью т.е. в системе грузоперевозок, как и в случае идентичных станций, устанавливается стационарный поток (рис.4).
55

Рис.4. Интенсивность потока в общем случае

56 Величина данного потока зависит как от параметров модели, так и от начальных значений, а точнее от их среднего арифметического ( c- ). С помощью численных экспериментов исследуем эти зависимости.
57 Начнем с параметра α , который характеризует потенциал первой технологии. На рис.5 приведен график зависимости интенсивности стационарного потока от α при фиксированных значениях остальных параметров и начальных значений (см. (14)).
58

Рис.5. Зависимость интенсивности стационарного потока от параметра α

59 Как видим с увеличением параметра α увеличивается интенсивность стационарного потока, однако скорость ее роста уменьшается. Отметим, что при этом уменьшаются и слагаемые в правой части системы (5)-(7), отвечающие за прием и отправку грузов в рамках первой технологии. Это означает, что, имея большой потенциал первой технологии, его невозможно реализовать при сильно ограниченных пропускных способностях станций.
60 Перейдем к исследованию зависимости интенсивности стационарного потока от характеристик пропускной способности станций, т.е. от ai и Δi . Начнем с параметра ai . На рис. 6 приведена зависимость интенсивности стационарного потока от a1 при фиксированных значениях остальных параметров и начальных условий.
61

Рис.6. Зависимость интенсивности стационарного потока от a1 .

62 Как видно, с увеличением a1 увеличивается поток, причем вначале скорость роста является возрастающей, однако начиная с некоторого значения она становится убывающей. Такая же тенденция наблюдается для других параметров ai . Таким образом, увеличение эффективности использования путей на некоторой выбранной станции до определенного уровня дает неплохой вклад в увеличение интенсивности потока во всей системе грузоперевозок. Однако, в силу ограниченности пропускной способности на остальных станциях, дальнейшее увеличение эффективности использования путей на одной станции уже не может привести к ощутимому вкладу в увеличение интенсивности грузопотока.
63 Перейдем к исследованию зависимости стационарного потока от другой характеристики пропускной способности станций - числа путей на них ( Δi ). На рис. 7 приведена эта зависимость для числа путей на первой станции при фиксированных значениях остальных параметров и начальных условий. Как видно данная зависимость является линейной. Напомним, что пропускная способность станций зависит от количества путей согласно формуле (12). Такая же зависимость наблюдается и отношении других параметров.
64

Рис.7. Зависимость интенсивности стационарного потока от числа путей на 1-ой станции

65 Наконец, исследуем зависимость интенсивности стационарного потока от начальной загруженности станций ( c- ). Как показали эксперименты эта зависимость является убывающей. На рис.8 приведен график этой зависимости при фиксированных значениях параметров.
66

Рис.8. Зависимость интенсивности стационарного потока от начальной загруженности станций

67 Отметим, что максимальная начальная загруженность станций, равная 10.3 соответствует ситуации, когда в начальный момент времени на всех станциях все пути задействованы, т.е. zi(0)=Δi,   i=1,2,...,n . В этом случае организация грузопотока в рамках данной модели невозможна. Она также невозможна в случае, когда в начальный момент времени на всех станциях все пути свободны, т.е. zi(0)=0,   i=1,2,...,n .
68

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

69 Исследована модель организации грузоперевозок по круговой цепочке станций. Движение грузопотока осуществляется с помощью двух технологий, задающих интенсивность грузопотока в зависимости от пропускной способности станций и перегонов. Такая модель описывается системой дифференциальных уравнений с ограничениями, описывающими допустимый диапазон изменения числа задействованных путей на станциях. Эти ограничения могут порождать разрывы в правых частях уравнений. В силу сложности получения аналитического решения данная система была исследована численно. Проведенные эксперименты позволили выявить указанные разрывы. Они возникают вследствие того, что со временем некоторые компоненты решения начинают колебаться у левой границы указанных выше диапазонов (нуля) периодически выходя на нее. Такое поведение характерно для решений с малыми начальными значениями и решениями, полученными при значениях параметра α , близкого к нулю, т.е. в случае недостаточной обеспеченности станций грузом в начальный момент времени и низкой пропускной способности перегонов. Отметим, что данное свойство решений не распространяется на частный случай системы, описывающей модель с идентичными станциями (одинаковое число путей на всех станциях и эффективность их использования). В этом случае независимо от характеристик станций и перегонов, а также их начальной загруженности, в системе грузоперевозок устанавливается стационарный поток.
70 Разрывные решения приводят к большим колебаниям в величине потока, возникающего в системе грузоперевозок. На практике такой режим грузоперевозок крайне сложно реализуем, поэтому, более детально изучены режимы грузоперевозок, определяемые непрерывными решениями. Как показали численные эксперименты, такие режимы грузоперевозок приводят к установлению стационарного потока в системе грузоперевозок. Исследована зависимость величины такого потока от параметров модели, определяющих пропускную способность перегонов и станций, а также от загруженности станций в начальный момент времени. С помощью такой модели, предварительно оценив ее параметры на основе статистических данных, можно прогнозировать эффект, полученный от мероприятий, связанных с увеличением пропускной способности той или иной станции.

References

1. Bando M., Hasebe K., Nakayama A., Shibata A., Sugiyama Y. (1995). Dynamical model of tra?c congestion and numerical simulation. Physical Review E, 51, 1035–1042.

2. Bar-Gera H. (2002) Origin-based algorithm for the traffic assignment problem. Transportation Science, 36, 4, 398–417.

3. Beklaryan L.A., Khachatryan N.K. (2013). On One Class of Dynamic Transportation Models. [Ob odnom klasse dinamicheskikh modeley gruzoperevozok.] Computational Mathematics and Mathematical Physics, 53, 10, 1649–1667 (in Russian).

4. Beklaryan L.A., Khachatryan N.K. (2019). Dynamic Models of Cargo Flow Organization on Railway Transport. Economics and Mathematical Methods, 55 (3), 66-73 (in Russian).

5. Beklaryan L.A., Khachatryan N.K. (2006). Traveling Wave Type Solutions in Dynamic Transport Models. Functional Differential Equations, 13, 12, 125–155.

6. Beklaryan Levon A., Khachatryan Nerses K., Akopov Andranik S. (2019). Model for organization cargo transportation at resource restrictions. International Journal of Applied Mathematics, 32, 4, 627-640.

7. Brackstone M., McDonald M. (2000). Car following: A historical review. Transportation Research F, 2, 181–196.

8. Carrothers G. A. P. (1956). An historical review of the gravity and potential concepts of human interaction. J. American Instit. Planners, 22, 94–102.

9. Chowdhury D., Santen L., Schadschneider A. (2000). Statistical physics of vehicular tra?c and some related systems. Physics Reports, 329, 199–329.

10. Cremer M., Ludwig J. (1986). A fast simulation model for tra?c ?ow on the basis of Boolean operations. Mathematics and Computers in Simulation, 28, 297–303.

11. Daganzo C. F. (1994). The cell transmission model: A dynamic representation of highway tra?c consistent with the hydrodynamic theory. Transportation Research B, 28, 269–287.

12. Daganzo C. F. (1995). The cell transmission model, Part II: Network tra?c. Transportation Research B, 29, 79–93.

13. Fotheringham A. S. (1983). A new set of spacial-interaction models: the theory of competing destinations. Environment and Planning A, 15, 15–36.

14. Fotheringham A. S. (1986). Modelling hierarchical destination choice. Environment and Planning A, 18, 401–418.

15. Gasnikov A.V, Klenov S. L., Nurminskii E. A., Kholodov Ya.A., Shamrai N.B (2013). Introduction to Mathematical Model Operation of Traffic Flows. Gasnikov A.V. (ed.) Moscow: MCCME (in Russian).

16. Harris B., Wilson A. G. (1978). Equilibrium values and dynamics of attractiveness terms in production-constrained spatial-interaction models. Environment and Planning A, 10, 371–388.

17. Helbing D., Treiber M. (1998). Gas-kinetic-based tra?c model explaining observed hysteretic phase transition. Physical Review Letters, 81, 3042–3045.

18. Inose H., Hamada T. (1983). Road Traffic Control. Moscow: Transport (in Russian).

19. Khachatryan N.K., Akopov A.S. (2017). Model for Organizing Cargo Transportation with an Initial Station of Departure and a Final Station of Cargo Distribution. Business Informatics, 1, 25–35.

20. Khachatryan N.K., Akopov A.S., Belousov F.A. (2018). About Quasi-Solutions of Traveling Wave Type in Models for Organizing Cargo Transportation. Business Informatics,1 (43), 61–70.

21. Leventhal T., Nemhauser G.L., Trotter L. (1973) A column generation algorithm for optimal traffic assignment. Transportation Science, 7, 168–176.

22. Lo H.K., Chen A. (2000) Traffic equlibrium problem with route-specific costs: formulation and algorithms. Transportation Research B, 34, 6, 493–513.

23. Nelson P. (1995). A kinetic model of vehicular tra?c and its associated bimodal equilibrium solutions. Transport Theory and Statistical Physics, 24, 383–409.

24. Popkov Yu. S. (1995). Macrosystems theory and its applications. Berlin: Springer Verlag.

25. Prigogine I., Herman R. (1971). Kinetic Theory of Vehicular Tra?c. N.Y.: Elsevier.

26. Shvetsov V.I. (2003). Automation and Remote Control. Avtomatika i Telemekhanika, 11, 3–46 (in Russian).

27. Shvetsov V.I. (2009). Algorithms for distributing traffic flows. Automation and Remote Control, 70, 10, 1728–1736.

28. Spiess H., Florian M. (1989). Optimal strategies: a new assignment model for transit networks. Transportation Research B, 23, 83–102.

29. Sukhinova A.B., Trapeznikova M.A., Chetverushkin B.N., Churbanova N.G. (2009). Two-Dimensional Macroscopic Model of Traffic Flows. Mathematical Models and Computer Simulations, 1, 6, 669–676 (in Russian).

30. Treiber M., Hennecke A., Helbing D. (2000). Congested tra?c states in empirical observations and microscopic simulations. Physical Review E, 62, 1805–1824.

31. Wilson A. G. (1971). A family of spatial interaction models and associated developments. Environment and Planning A, 3, 255–282.