On the possibility of successive approximation towards an equilibrium in a coalition game with reiterating collective action
Table of contents
Share
Metrics
On the possibility of successive approximation towards an equilibrium in a coalition game with reiterating collective action
Annotation
PII
S042473880012405-4-1
DOI
10.31857/S042473880012405-4
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Elena Skarzhinskaya 
Occupation: Professor
Affiliation: Nekrasov Kostroma State University
Address: Kostroma, Russian Federation
Vladimir I. Tsurikov
Occupation: Professor
Affiliation: Kostroma State Agricultural Academy
Address: Kostroma, Russian Federation
Pages
103-115
Abstract

The study investigates the possibility for the participants of collective action of avoiding a Nash equilibrium trap resulting from a non-coalition game, and of achieving a Pareto-preferable outcome. It is assumed that individual efforts invested by all members of a collective create revenue of which each member is entitled to a certain share. Each agent’s efforts have a positive effect on the value of marginal revenue per effort of any other agent. Each agent aims to maximize their own individual gain. It is further assumed that the lack of trust prevents members of the collective to coordinate their efforts in such a way that allows them to break out of the initial Nash-ineffective equilibrium which occurs in a non-coalition game setting. A small group (coalition) in which agents are united by mutual trust deploys a coalition strategy aimed at maximizing coalitional gains. As a result, not only do gains increase for each member of the larger collective, but also their marginal revenue per effort. The corresponding shift of the individual gain maximum point per each non-cooperated agent towards increasing the volume of effort invested thereby creates the prerequisites for the successive increase of effort invested in a reiterating game not only by coalition members, but also by non-cooperated agents. It is shown that the outcome in each consecutive game dominates over Pareto in the preceding game. Limit of an infinite sequence of outcomes corresponds with a Nash-balanced outcome of a coalition game, where non-cooperated agents assume that all coalition members will necessarily adhere to the coalition strategy.

Keywords
collective actions, Nash equilibrium, Pareto efficiency, trust, coalition, marginal revenue
Received
01.12.2020
Date of publication
16.12.2020
Number of purchasers
6
Views
110
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf 100 RUB / 1.0 SU

To download PDF you should sign in

Full text is available to subscribers only
Subscribe right now
Only article
100 RUB / 1.0 SU
Whole issue
792 RUB / 15.0 SU
All issues for 2020
2534 RUB / 50.0 SU
1 ВВЕДЕНИЕ
2 Если попытаться описать проблему коллективных действий в простейшем варианте, то можно сказать, что взаимодействие членов коллектива имеет два альтернативных исхода: равновесный, но неэффективный, и эффективный, но неравновесный (Капелюшников, 2010, с. 9). Вот к этому «плохому» равновесному и склоняются члены коллектива. Для достижения эффективного результата требуется координация действий и приложение усилий со стороны членов коллектива в объемах, превышающих равновесные. Казалось бы, если все члены коллектива понимают проблему и способны видеть перспективы сотрудничества, то проблема должна легко разрешаться путем заключения соответствующего соглашения и неуклонного его выполнения. Однако на этом пути встают проблемы безбилетника и оппортунизма. Каждому члену коллектива выгодно прилагать собственные усилия только в равновесном объеме, но чтобы при этом остальные члены коллектива прилагали усилия в объемах, превышающих равновесные.
3 Полевые и лабораторные исследования Элинор Остром показали, что наряду с факторами, подталкивающими членов коллектива к неэффективному равновесию, существуют и такие, которые позволяют преодолеть «плохое» равновесие и в течение длительного промежутка времени (на протяжении веков) осуществлять эффективное управление общим ресурсом (Остром, 2011). В цикле наших статей, посвященных математическому моделированию коллективных действий (Скаржинская, Цуриков, 2014; 2017а; 2017б; 2017в, 2019), на первое место среди такого рода факторов претендует доверие. Именно доверие позволяет снизить трансакционные издержки и мониторинга, и улаживания конфликтов, и достижения кооперативного соглашения, и применения наказаний за его нарушение. Однако межличностное доверие среди всех членов сколько-нибудь многочисленного коллектива очень маловероятно. Поэтому в наших моделях центральная роль отводится малой группе (коалиции), выделившейся в большом коллективе на основе достаточно глубокого чувства взаимного доверия среди ее членов1.
1. В полном соответствии с концепцией Мансура Олсона некоторые проблемы, непреодолимые в большой группе, разрешаются в малой (Olson, 1965).
4 В предлагаемой здесь модели рассматривается коллектив, производящий на принципах самоуправления и самоорганизации делимое, конкурентное благо и обладающий исключительным правом на его потребление. Вклады (усилия) членов коллектива в его производство, являющиеся индивидуальными невозвратными (специфическими) инвестициями, как и величина самого блага, выражаются в денежном эквиваленте. Постановка задачи и модель наиболее близки к тем, которые фигурируют в работе Бенгта Хольмстрёма (Holmstrom, 1982) и в (Цуриков, 2010), а также в самых общих чертах к моделям неполного контракта Гроссмана–Харта–Мура2 и Тироля–Фуруботна–Рихтера3. Общими для указанных работ являются проблемы достижения эффективного результата, роли ex ante правила распределения ожидаемого дохода, стимулов и асимметрии информации.
2. См., например, (Grossman, Hart, 1986; Hart, Moore, 1988; Харт, 2001; Скоробогатов, 2007).

3. См. (Тироль, 2000, т. 1, с. 50–54; Фуруботн, Рихтер, 2005, с. 293–301; Шаститко, 2001).
5 Следует отметить, что в моделях неполного контракта рассматривается, как правило, взаимодействие двух агентов и поэтому многие проблемы коллективной деятельности никак не проявляются и не затрагиваются. В модели Хольмстрёма рассматривается многочисленный коллектив, но он предстает в виде однородной массы, не способной к самоорганизации и самоуправлению и потому нуждающиеся в центральном агенте.
6 В работах (Скаржинская, Цуриков, 2017а, 2017б) были найдены условия для преодоления коллективом неэффективного равновесия Нэша и достижения предпочтительного по Парето равновесия Штакельберга. В этих работах предполагается образование в коллективе малой группы агентов (коалиции), объединенных доверием друг к другу, позволяющее им не опасаться оппортунистического поведения4. Необходимым условием достижения равновесия по Штакельбергу выступает достаточно высокий уровень доверия со стороны всех некооперированных агентов к членам коалиции. В предлагаемой статье, напротив, рассматривается возможность преодоления неэффективного равновесия Нэша при отсутствии всякого доверии со стороны некооперированных агентов к членам коалиции5.
4. Результаты полевых и лабораторных исследований Э. Остром однозначно указывают на необходимость некоторого уровня доверия между членами коллектива для успешной кооперации локальных сообществ, совместно использующих общий ресурс (Остром, 2011).

5. Нужно отметить, что в современной России получило распространение недоверчивое отношение друг к другу. Для этого имеются свои причины, которых мы здесь касаться не будем. Однако «если в обществе сложился низкий уровень доверия, то стратегия взаимной “проверки” партнеров, или стратегия взаимного недоверия, может оказаться взаимно наилучшей, т.е. равновесной» (Белянин, Зинченко, 2010, с. 35–36).
7 Здесь мы предполагаем, что межличностным доверием охвачены только члены коалиции. Все остальные члены коллектива верят только тому, что видят. Фактически мы считаем, что коалиция представляет собой своеобразный очень небольшой островок доверия в океане недоверия. Кроме того, мы предполагаем, что усилия каждого члена коллектива, направленные на создание совокупного дохода, оказывают положительное влияние на величину предельного дохода по усилиям любого другого члена коллектива.
8 Цель работы состоит в том, чтобы показать, что в повторяющихся играх коалиционная стратегия создает стимулы для постоянного повышения уровня усилий, прилагаемых каждым членом коллектива. Поэтому в каждой последующей игре достигаемый исход доминирует по Парето над исходом предыдущей игры. Доказано, что бесконечная последовательность исходов имеет предел, совпадающий с равновесным по Нэшу исходом в той коалиционной игре, в который коалиция играет роль агента, максимизирующего коалиционный выигрыш, а все некооперированные агенты воспринимают ее именно в этом качестве.
9 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
10 Обозначим через n число индивидов, составляющих коллектив, в котором путем осуществления индивидуальных усилий σ1,  ...,σn создается совокупный доход D=D(σ1,...,σn) . Величина дохода возрастает с ростом прилагаемых усилий и поэтому
11 D/σi>0, σi0,   .(1)
12 Потребуем выполнение закона убывающей отдачи, т.е.
13 2D/σi2<0. (2)
14 Предполагаем, что усилия каждого агента оказывают положительное влияние на величину предельного дохода по усилиям любого другого члена коллектива:
15 2D/σiσk>0 при ik .(3)
16 Для того чтобы решение не уходило в нуль или на бесконечность, выполняются условия:
17 limσi+0Dσi= , limσiDσi=0 .(4)
18 Отметим, что в (1)–(4) индексы i,  k=1,  ...,  n. .
19 Согласно стандартному в неоклассической экономике условию мы считаем, что функция совокупного дохода D строго выпукла вверх. Такая функция может иметь не более одной стационарной точки, т.е. той точки, в которой выполняются условия максимума первого порядка, причем в этой точке (при ее наличии) функция достигает свой глобальный максимум. Поэтому при отыскании максимума достаточно ограничиться условиями первого порядка. Важно подчеркнуть, что, как будет ясно ниже, именно закон убывающей отдачи наряду с эгоистическими устремлениями агентов порождает проблемы безбилетника и оппортунистического поведения. Ниже будет подробно рассмотрен демонстрационный пример с использованием конкретной функции дохода, удовлетворяющей всем перечисленным условиям.
20 Будем считать, что функция дохода известна всем членам коллектива, а размеры инвестирования являются наблюдаемыми для них. Но данная информация является неверифицируемой, что влечет за собой исключительно внутренний характер управления коллективными действиями и улаживания конфликтов (Шаститко, 2007, с. 85). С точки зрения теории игр мы будем рассматривать повторяющуюся игру с коалиционной структурой и ограниченной коммуникацией (Парилина, Седаков, 2018; Петросян, Зенкевич, 2009). На этапе ex ante в коллективе устанавливается правило распределения ожидаемого совокупного дохода D, согласно которому агенту i принадлежит относительная доля αi : 0<αi<1 , i=1nαi=1.
21 Преследуемая каждым агентом цель состоит в максимизации собственного выигрыша. Выигрыш (чистый доход, прибыль) каждого из них равен разности между получаемой частью дохода и денежным эквивалентом приложенных им усилий, т.е. выигрыш агента i
22 Ui=αiD-σimax , σi0 ; i=1,  ...,  n. (5)
23 В условиях полной автономии всех членов коллектива выбираемые ими уровни усилий удовлетворяют условиям
24 αi  D/σi=1,    i=1,  ...,  n. (6)
25 Система уравнений (6) имеет единственное решение, которое мы обозначим как
26 σi(1)=σiN. (7)
27 Соответствующие решению (7) индивидуальные выигрыши агентов обозначим через UiN . Легко видеть, что решение (7) отвечает равновесному по Нэшу исходу N(σ1N,  ...,  σnN) , достигаемому в бескоалиционной игре G. Как показано в работе (Скаржинская, Цуриков, 2017в), этот исход не является эффективным по Парето, так как справа от него (т.е. при σi>σiN ) находятся Парето-предпочтительные состояния. В этом нетрудно убедиться, если обратиться к полному дифференциалу индивидуального выигрыша:
28 dUi=αij=1nDσjdσj-dσi=αiDσi-1dσi+αikiDσkdσk. (8)
29 В таком виде дифференциал (8) представляет собой сумму двух слагаемых, из которых первое определяется приращением инвестиций самого агента i, а второе – приращением инвестиций его партнеров. Из второго слагаемого следует, что i-му агенту всегда выгодно, чтобы его партнеры инвестировали как можно больше, так как чем больше dσk , где ki , тем выше доход агента i. А вот самому агенту i всегда наиболее выгодно осуществлять инвестирование в том объеме, при котором его индивидуальный предельный доход равен величине предельных издержек, т.е. в объеме, отвечающем уравнению (6).
30 В равновесном по Нэшу исходе первое слагаемое в правой части (8), согласно уравнениям (6), равно нулю. Следовательно, повышение выигрыша игрока i при переходе от равновесного исхода N к доминирующему его исходу может осуществляться только за счет приращения усилий остальных участников игры. Если приращение усилий осуществит только один игрок, то его выигрыш не увеличится6. Поэтому переход к исходу, в котором индивидуальные выигрыши всех членов коллектива выше, чем в равновесном N, осуществим только при условии, что помимо игрока i объем прилагаемых усилий увеличит относительно равновесного еще хотя бы один член коллектива.
6. Точнее, в силу условия (2) его выигрыш понизится на бесконечно малую второго порядка.
31 Мы считаем, что наши агенты рациональны, но недоверчивы. А так как любому агенту выгодно, чтобы доинвестирование сверх равновесного уровня осуществил не он, а его партнер, то каждый из них, опасаясь обмана со стороны партнера, предпочитает не рисковать. Соответственно, недоверчивые агенты оказываются запертыми в «плохом» (неэффективном) равновесии (Капелюшников, 2010).
32 КОАЛИЦИОННАЯ СТРАТЕГИЯ
33 Предположим, что к началу повторения игры в коллективе сложилась малая группа агентов (коалиция), объединившая тех членов коллектива, которые испытывают друг к другу чувство доверия, позволяющее им не опасаться проявления оппортунистического поведения. Множество членов коалиции обозначим через C, а множество не вошедших в коалицию агентов (некооперированных) обозначим через NC. Для повышения индивидуальных выигрышей члены коалиции принимают решение осуществить собственные усилия в тех объемах, при которых достигается максимум их суммарного коалиционного выигрыша UC=kCUk=DkCαk-kCσk.
34 С использованием обозначения kCαk=αC найдем, что члены коалиции выбирают уровень своих усилий из условий:
35 αCDσi=1 , iC ,(9)
36 σj=σjN , jNC .(10)
37 Условие (10) означает, что коалиция не рассчитывает на то, что некооперированные агенты учтут стремление членов коалиции максимизировать не собственные индивидуальные выигрыши, а коалиционный.
38 Система (9) при условии (10) имеет единственное решение, которое мы обозначим как
39 σk=σk(2) , где k=1,  ...,  n. (11)
40 Соответствующие этому решению индивидуальные выигрыши и коалиционный обозначим через Uk(2) и UC(2) соответственно. Так как, согласно (9), величина совокупного предельного дохода по усилиям члена коалиции D/σi=1/αC<1/αi, то в соответствии с (2) и (4) объем прилагаемых им усилий превысил равновесный7, т.е.
7. Строгое доказательство этого утверждения приводится в Приложении.
41 σi(2)>σiN , iC .(12)
42 Так как решение (11) отвечает единственному максимуму коалиционного выигрыша, то суммарный выигрыш членов коалиции стал выше, чем в равновесном по Нэшу исходе N:
43 UC(2)>iCUiN. (13)
44 Итак, в результате успешно осуществленной коалиционной стратегии, направленной на максимизацию коалиционного выигрыша, все члены коалиции увеличили размер своих усилий, что привело к росту совокупного дохода и к росту коалиционного выигрыша. Так как все некооперированные агенты сохранили и свои относительные доли в совокупном доходе, и уровни своих усилий, то выигрыш каждого из них возрос. Естественно считать, что члены коалиции распределят в своем кругу возросший коалиционный выигрыш так, что индивидуальный выигрыш каждого члена коалиции увеличится по сравнению с равновесным. Таким образом, коалиционная стратегия (9)(10) приводит к росту индивидуального выигрыша каждого члена коллектива8.
8. В силу этого обстоятельства члены коалиции могут в соответствии с концепцией С. Кроуфорда и Э. Остром о дельта-параметрах (Crawford, Ostrom, 1995) получить от осознания своей миссии еще и дополнительную полезность в нематериальной форме.
45 Так как, согласно условию (3), увеличение усилий со стороны того или иного агента ведет к росту предельного дохода по усилиям любого другого агента, то успешно осуществленная коалиционная стратегия приводит к росту предельных доходов по инвестициям всех некооперированных агентов. Поэтому к началу третьей игры некооперированные агенты обнаруживают, что им следует скорректировать свои оптимальные стратегии, с учетом того что члены коалиции увеличили свои усилия относительно их значений в равновесии Нэша. Возрастание в результате успешной коалиционной стратегии выигрышей всех членов коллектива позволяет некооперированным агентам быть уверенными в том, что и в третьей игре члены коалиции опять осуществят инвестирование в объемах (12). Соответственно (см. следствие 2 Приложения), каждому некооперированному агенту выгодно увеличить размер своих усилий до уровня, отвечающего максимуму его индивидуального выигрыша в новых условиях:
46 αjDσj=1 , jNC ; σi=σi(2) , iC .(14)
47 Обозначим решение системы (14) через
48 σk=σk(3) , где k=1,...,n. (15)
49 Так как σi(3)=σi(2)>σiN , где iC , то, согласно условию (3),
50 σj(3)>σj(2)=σjN , jNC. (16)
51 Как видно, коалиционная стратегия вынуждает некооперированных агентов в силу их стремления к максимизации собственных индивидуальных выигрышей повысить уровень своих усилий. В результате этого повышения возрастает совокупный доход и увеличиваются индивидуальные выигрыши всех членов коллектива.
52 Теперь перед началом четвертой игры члены коалиции, наблюдая инвестирование со стороны некооперированных агентов в объеме (16), понимают, что для максимизации коалиционного выигрыша им следует учесть возрастание усилий, предпринятое некооперированными агентами. Поэтому в четвертой игре коалиция выберет уровень усилий своих членов, исходя из уравнений (9) и условий:
53 σj=σj(3) , jNC. (17)
54 Обозначим соответствующее решение через
55 σk=σk(4) , k=1,  ...,  n. (18)
56 Как видно, согласно следствию 3 из Приложения,
57 σi(4)>σi(3)=σi(2)>σiN , iC ,(19)
58 σj(4)=σj(3)>σj(2)=σjN , jNC. (20)
59 В результате обобщения приходим к рекуррентным соотношениям. Коалиция в каждой четной по номеру игре проявляет инициативу и корректирует уровень усилий своих членов в сторону увеличения. В игре с номером 2k коалиция выбирает уровень усилий σi=σi(2k) своих членов, согласно уравнениям (9) и усилиям некооперированных агентов:
60 σj=σj(2k-1) , jNC. (21)
61 Некооперированные агенты реагируют на инициативу членов коалиции в следующей (с нечетным номером) игре, корректируя в сторону повышения уровень своих усилий. В игре с номером 2k+1 некооперированные агенты выбирают размер своих усилий σj=σj(2k+1) исходя из уравнений (14) и усилий членов коалиции:
62 σi=σi(2k) , iC .(22)
63 В результате последовательно выбираемые в процессе повторений игры объемы прилагаемых усилия удовлетворяют следующим условиям:
64 σi(2k+1)=σi(2k)>σi(2k-1) , iC , k=1,  2,  .... ,(23)
65 σj(2k+1)>σj(2k)=σj(2k-1) , jNC , k=1,  2,  .... .(24)
66 Как мы видим, по мере повторения игры члены коллектива увеличивают свои выигрыши, иначе говоря, последовательности размеров их усилий (23) и (24) являются возрастающими. Обратимся к вопросу о пределах этих последовательностей.
67 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К РАВНОВЕСНОМУ ИСХОДУ
68 В исходной игре G, в которой все члены коллектива независимо друг от друга выбирают размеры своих усилий для максимизации собственных индивидуальных выигрышей, коллектив достигает равновесный по Нэшу исход N, определяемый системой уравнений (6) с решением (7). Эта игра G в результате образования коалиции С, реализующей свою коалиционную стратегию, преобразуется в другую игру GC , в которой стремятся максимизировать свои выигрыши коалиция как единый агрегированный агент и некооперированные агенты. Теперь равновесие по Нэшу достигается в исходе, определяемом системой уравнений, состоящей из уравнений (14), отвечающих условиям максимума выигрышей некооперированных агентов, и уравнений (9), отвечающих условиям максимума коалиционного выигрыша. Эта система имеет единственное решение, определяющее равновесие по Нэшу в игре GC , которое мы обозначим через NC .
69 Здесь важно отметить следующее. Если бы предельный доход каждого агента i не зависел от величины усилий агента j, где ji (иными словами, если бы все недиагональные элементы матрицы Гессе функции D равнялись нулю), то решение каждого уравнения i систем (9) и (14) также не зависело бы от значений усилий агентов j. В этом случае сразу в первой же игре GC , в которой коалиция реализует свою стратегию, было бы достигнуто равновесие по Нэшу NC .
70 В силу условий (3) левые части уравнений (14), которые можно интерпретировать как предельные индивидуальные доходы некооперированных агентов, являются возрастающими функциями по усилиям членов коалиции. Соответственно, левые части уравнений (9) являются возрастающими функциями по усилиям некооперированных агентов. Следовательно, исход игры зависит от взаимных ожиданий агентов относительно размера усилий, которые они намерены в этой игре осуществить.
71 Обозначим кортеж значений, которые согласно предположениям членов коалиции принимают усилия некооперированных агентов, как [σj] . Тогда решения системы уравнений (9), получаемые при соответствующих значениях усилий некооперированных агентов, являются функциями от [σj] σj , которые мы обозначим как
72 σi=Fi([σj]),    iC,  jNC . (25)
73 Аналогично, усилия некооперированных агентов
74 σj=Rj([σi]),    iC,  jNC (26)
75 представляют собой решения уравнений (14), получаемые при убежденности некооперированных агентов в том, что члены коалиции приложат усилия в размерах [σi] σi . Согласно условиям (3) функции (25) и (26) являются монотонно возрастающими по всем аргументам. Будем считать их непрерывными.
76 Совместное решение уравнений (9) и (14) удовлетворяет, таким образом, следующей системе уравнений:
77 σi=Fi([σj]),  iC,  jNC,σj=Rj([σi]),  iC,  jNC. (27)
78 Обозначим размеры усилий, прилагаемых членами коалиции в равновесном исходе NC через σiC,   где iC , а равновесные значения усилий некооперированных агентов – через σjC=Rj([σiC]),    iC,  jNC . Соответственно, в равновесном по Нэшу исходе NC игры GC, и только в нем, справедливы следующие выражения для величины усилий некооперированных агентов:
79 σjC=Rj([Fi([σjC])]),    iC,  jNC .(28)
80 Следует еще раз подчеркнуть, что равновесный исход NC может быть достигнут только при выполнении двух условий.
81 Условие 1: все некооперированные агенты максимизируют свои индивидуальные выигрыши, исходя из предположения, что все члены коалиции следуют коалиционной стратегии, т.е. максимизируют коалиционный выигрыш.
82 Условие 2: члены коалиции максимизируют коалиционный выигрыш исходя из предположения, что условие 1 строго выполняется.
83 Для выполнения условия 1 необходимо, чтобы информация о том, что сформирована коалиция С, все члены которой неукоснительно будут следовать коалиционной стратегии, была воспринята всеми некооперированными агентами как достоверный сигнал. Если члены коалиции не проявляют, по крайней мере в рамках коалиции, оппортунистического поведения и доверяют друг другу, то сигнал об осуществлении коалиционной стратегии будет соответствовать действительности. В этом случае усилия некооперированных агентов, удовлетворяющие системе (27), действительно обеспечат им максимальные индивидуальные выигрыши. Однако на этом пути коллектив могут подстерегать различные препятствия.
84 Во-первых, нельзя исключить возможности, что коалиция не сможет осуществить свою стратегия в силу оппортунистического поведения кого-либо из ее членов. Во-вторых, само предположение о возможности проявления оппортунизма среди членов коалиции способно оказывать отрицательное влияние на размер усилий некооперированных агентов. В-третьих, условие (3) создает стимулы для блефа, так как каждому агенту выгодна ошибочная, а именно завышенная, оценка любым другим агентом объемов усилий, которые намерены осуществить его партнеры. Таким образом, некооперированные агенты оценивают достоверность информации о коалиционной стратегии в зависимости от их мнения относительно сплоченности коалиции.
85 Теперь непосредственно обратимся к возрастающей последовательности усилий, прилагаемых членами коллектива в повторяющихся играх GC в случае отсутствия у некооперированных агентов уверенности в сплоченности членов коалиции. Так как, согласно изложенному в предыдущем разделе статьи, а также (25) и (26),
86 σj(2k+1)=Rj([σi(2k)]), а σi(2k)=Fi([σj(2k-1)]), где   iC,  jNC , k=1,  2,  .... ,
87 то для значений усилий некооперированных членов коллектива в игре с номером 2k+1 получим выражение
88 σj(2k+1)=Rj([Fi([σj(2k-1)])]) .(29)
89 Как видно из (24) и из того, что функции (25) и (26) являются монотонно возрастающими (доказательство приводится в Приложении), σj(2k+1)>σj(2k)=σj(2k-1), т.е. в каждой игре усилия некооперированных агентов ниже равновесных σjC :
90 σj(k)<σjC,    jNC,    k=1,  2,... .(30)
91 Аналогичные неравенства, как нетрудно видеть, справедливы и для последовательности значений усилий членов коалиции, а значит, и для соответствующих последовательностей совокупного дохода и выигрыша всего коллектива.
92 Итак, значения усилий, прилагаемых членами коалиции и некооперированными агентами в повторяющейся игре, представляют собой бесконечные, возрастающие и ограниченные сверху последовательности. Следовательно, каждая из них имеет конечный предел, не превышающий значений усилий, прилагаемых соответствующим агентом в равновесном по Нэшу исходе NC :
93 limkσi(k)=σiσiC,  iC; limkσj(k)=σjσjC,  jNC.
94 В результате предельного перехода в выражениях (29) получим
95 σj()=Rj([Fi([σj()])]),    iC,  jNC .(31)
96 Из сравнения (31) с (28) следует, что в силу единственности решения (28) предельные значения усилий некооперированных агентов совпадает с равновесными значениями
97 limkσj(k)=σj=σjC,  jNC .
98 Для усилий членов коалиции справедливо аналогичное заключение:
99 limkσi(k)=σi=σiC,  iC.
100 Таким образом, мы приходим к выводу о том, что в результате бесконечного повторения коалиционной игры GC образуется последовательность исходов, каждый из которых является доминирующим по Парето над предыдущим, причем последовательность исходов стремится к равновесию по Нэшу NC .
101 ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ПРИМЕР
102 Рассмотрим несколько упрощенный вариант функции дохода, использованной нами в (Скаржинская, Цуриков, 2017б). Пусть величина совокупного дохода задана выражением:
103 D=λi=1nσia ,(32)
104 где λ – постоянный положительный коэффициент, а показатель степени: 0<a<1/n . В этом случае функция (32) строго выпукла вверх и полностью удовлетворяет условиям (1)–(4). Для определенности будем считать, что коалиция состоит из m первых членов коллектива и все агенты имеют одинаковые доли в доходе. Так как выигрыш агента i в этом случае равен
105 Ui=D/n-σi, (33)
106 то в условиях полной автономии всех членов коллектива размер усилий каждого из них будет определяться системой уравнений
107 λanσia-1kiσka=1 ; i,  k=1,...,n. (34)
108 Решение системы (34) отвечает равновесному по Нэшу исходу N, достигаемому в бескоалиционной игре G:
109 σi(1)=σN=λa/n1/(1-an), i=1,...,n. (35)
110 Во всех последующих играх с четными порядковыми номерами коалиция выбирает уровень усилий своих членов из условия максимума коалиционного выигрыша:
111 UC=mnD-h=1mσh. (36)
112 Так как некооперированные агенты в этих играх сохраняют тот размер своих усилий σjNC(2k-1) , которые они выбирали в предыдущей игре, то функцию дохода можно представить в виде
113 D=λh=1mσhaj=m+1nσj(2k-1)a=λσjNC  (2k-1)a(n-m)h=1mσha, k=1,  2,...  . (37)
114 Система уравнений (9) принимает вид
115 mλanσjNC(2k-1)a(n-m)σia-1hiσha=1, i,hC .(38)
116 Прологарифмируем обе части уравнения (38) и с учетом симметрии относительно неизвестных σi перепишем его в виде
117 lnm+lnλan+a(n-m)lnσj(2k-1)=(1-am)lnσi. (39)
118 Используя (35), преобразуем уравнение (39) следующим образом:
119 lnm+(1-an)lnσN+a(n-m)lnσN+lnσj(2k-1)/σN=(1-am)lnσi,
120 откуда получим:
121 lnσiσN=lnσi(2k)σN=11-amlnm+a(n-m)1-amlnσj(2k-1)σN ; iC ; jNC. (40)
122 Выражение (40) связывает размеры усилий, которые прилагают члены коалиции в четной по порядку следования игре под номером 2k, с теми усилиями, которые прилагают некооперированные агенты в играх с номерами 2k-1 и 2k . Найдем к примеру с его помощью размер усилий членов коалиции, в первый раз реализующих коалиционную стратегию. Для этого положим в (40) k=1 . Так как σj(1)=σN , то получим
123 σi(2)=σNm1/(1-am), (41)
124 т.е. каждый член коалиции более чем в m раз (при m>1 ) увеличивает объем своих усилий.
125 Аналогично, найдем соотношение между оптимальными значениями усилий некооперированных агентов в нечетной по порядку игре и членов коалиции в предыдущей игре
126 lnσj(2k+1)σN=am1-a(n-m)lnσi(2k)σN ; iC , jNC. (42)
127 Подставив в правую часть (42) соответствующее выражение из (40), найдем, как изменяются усилия некооперированных агентов в результате двух последовательных корректировок:
128 lnσj(2k+1)/σN=am(1-am)(1-a(n-m))lnm+a(n-m)lnσj(2k+1)/σN. (43)
129 Воспользуемся для краткости следующими обозначениями:
130 lnσj(2k+1)/σN=x2k+1 ; am(1-am)(1-a(n-m))lnm=α; a2m(n-m)(1-am)(1-a(n-m))=β, (44)
131 тогда соотношение (43) примет вид
132 x2k+1=α+βx2k-1. (45)
133 Используя (45), имеем
134 x2k+1=α+βx2k-1=α+β(α+βx2k-3)=α+αβ+αβ2+...  +αβk-1+βkx1. (46)
135 Уравнение (46) показывает, что последовательность x2k+1 является возрастающей, т.е. действительно некооперированные агенты воспринимают действия коалиции как сигналы к наращиванию собственных усилий. Так как x1=0 , а 0β<1 , то
136 x2k+1=α-αβk/1-β. (47)
137 В пределе при k для усилий некооперированных агентов получим x=lnσj()/σN=α/1-β   σj()=σNeα/(1-β), откуда следует
138 σj()=σNmam/1-an , jNC. (48)
139 Так как условия максимума (9) и (14) для функции (32) можно записать в виде maD/nσi=1, aD/nσj=1 , iC, jNC, то для предельного случая получим D()=nσi()/am=nσj()/a, откуда следует σi()=mσj() , т.е. усилия члена коалиции превосходят усилия некооперированного агента ровно в m раз. Соответственно, с учетом (48) имеем
140 σi()=σNm1-a(n-m)/1-an , iC. (49)
141 Путем непосредственной подстановки величин (48) и (49) в уравнения (9) и (14) нетрудно убедиться в том, что эти объемы усилий, найденные в результате предельного перехода, являются единственными решениями этой системы уравнений. Таким образом, значения усилий (48) и (49) отвечают равновесному по Нэшу исходу, достигаемому в коалиционной игре. При выполнении условий (3) и m>1 совместная система уравнений (9) и (14) предполагает достаточно высокий уровень доверия между всеми членами коллектива.
142 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
143 Если бы все некооперированные агенты были уверены, что все члены коалиции придерживаются коалиционной стратегии, то они максимизировали бы свои индивидуальные выигрыши исходя из условий (9). Если бы при этом члены коалиции были уверены, что все некооперированные агенты исходят из условий (9), и некооперированные агенты знали бы об этом, то оптимальные значения усилий каждого агента определялись бы из решения системы уравнений (9), (14). В результате сразу же достигалось бы равновесие NC , в котором оптимальные значения усилий определяются уравнениями (27). Однако в условиях недостаточного уровня доверия и коалиция, и некооперированные агенты предпочитают действовать наощупь, пошагово, реагируя только на сигналы, получаемые в предыдущей игре.
144 Необходимой предпосылкой для такого процесса последовательного повышения уровня усилий в условиях взаимного недоверия между некооперированными агентами и членами коалиции является существование положительного влияния усилий членов коалиции на отдачу от усилий некооперированного агента, и наоборот. Его математическая суть выражается в положительном значении второй смешанной производной от величины совокупного дохода по усилиям члена коалиции и некооперированного агента. Здесь мы исходили из предположения о том, что такая связь существует между усилиями всех без исключения членов коллектива. На самом деле, для вовлечения того или иного некооперированного агента в процесс последовательного повышения величины прилагаемых им усилий достаточно, чтобы такая связь существовала только между его усилиями и усилиями хотя бы одного из членов коалиции. Этого достаточно для вовлечения данного некооперированного агента и соответствующего члена коалиции в рассмотренный здесь процесс последовательного повышения уровня прилагаемых усилий.
145 ПРИЛОЖЕНИЕ
146 Теорема. Пусть действительная функция n действительных аргументов f(x1,...,  xn) удовлетворяет следующим условиям:
147 1) определена и непрерывна при всех xi0 , где i=1,  ...,  n;
148 2) дважды непрерывно дифференцируема при xi>0 ( i=1,  ...,  n; );
149 3) при всех xi>0,  xk>0 , где i,k=1,  ...,  n,
150 fxi>0 , 2fxi2<0 , 2fxixk>0 при ik ;(П1)
151 4) при всех положительных значениях аргументов строго выпукла вверх, и i,  k=1,  ...,  n, xk>0
152 limxi+0fxi= , limxifxi=0 .(П2)
153 Тогда система уравнений
154 f/xi=ai, (П3)
155 где параметры ai>0 ( i=1,  ...,  n ), имеет решение x1,  ...,  xn , представляющее собой функции правых частей xi=xi(a1,  ...,  an) , каждая из которых является убывающей функцией аргумента a1 .
156 Доказательство. Существование и единственность решения системы (1) при любой заданной правой части доказаны в работе (Скаржинская, Цуриков, 2017в). Поэтому каждому набору значений параметров ai соответствует решение системы (П3), представимое в виде вектора x=(x1,  ...  ,  xn). . Докажем, что при уменьшении значения параметра a1 каждая координата решения x системы (П3) возрастает.
157 Запишем систему (П3) в виде:
158 f/x1=a1; (П4)
159 f/xj=aj , j=2,  ...,n .(П5)
160 Обозначим через [xj] кортеж значений xj , где j=2,  ...,n . Так как в систему (П5) параметр a1 не входит, то при любом положительном конкретном значении x1 кортеж [xj] определятся только значениями параметров a2,  ...,  an . Соответственно, каждую величину xj (j1) можно рассматривать как функцию этих параметров и x1 , т.е.
161 xj=Fj(a2,  ...,  an,  x1), j1 .(П6)
162 Величина x1 , согласно уравнению (П4), определяется значениями a1 и xj с j1 :
163 x1=F1(a1,  [xj]) .(П7)
164 Так как 2f/x1xj>0 , рост x1 влечет за собой возрастание левой части каждого уравнения системы (П5), и, соответственно, в силу условий 2f/xj2<0 рост функций xj=Fj(a2,  ...,  an,  x1). Другими словами, каждая из функций (П6) является возрастающей по x1 . По той же причине функция x1=F1(a1,  [xj]) возрастает по всем аргументам xj с j=2,  ...,  n и убывает, согласно условию 2f/x12<0 , по аргументу a1 . С учетом (П6) перепишем (П7) в виде:
165 x1=F1a1,  [Fj(a2,  a3,  ...,  an,  x1)] . (П8)
166 Зафиксируем произвольные положительные значения правых частей системы (П3) a1,  ...,  an и обозначим соответствующее решение системы через xi(0) с i=1,  ...,  n . Уравнение (П8) примет вид:
167 x1(0)=F1a1,  [Fj(a2,  ...,  an,  x1(0))] .(П9)
168 Рассмотрим систему уравнений, состоящую из уравнений (П5) и уравнения
169 f/x1=b1 , (П10)
170 где 0<b1<a1 . Обозначим решение системы уравнений (П5) и (П10) как xi* с i=1,  ...,  n и покажем, что x1*>x1(0) , xj*>xj(0) , где j=2,  ...,  n . Запишем x1* в виде
171 x1*=F1b1,  [Fj(a2,  a3,  ...,  an,  x1*)] .(П11)
172 Составим следующую последовательность {x1(k)} : для k=1
173 x1(1)=F1b1,  [Fj(a2,  ...,  an,  x1(0))] и x1(k)=F1b1,  [Fj(a2,  a3,  ...,  an,  x1(k-1))] , k=2,  3,  ...  . (П12)
174 Из сравнения x1(0) из (П9) с x1(1) из (П12) при k=1 видно, что они отличаются только значениями первого аргумента. А так как функция F1 убывает по этому аргументу и b1<a1 , то
175 x1(1)>x1(0). (П13)
176 В силу того что функция x1=F1(a1,  [xj]) возрастает по своим аргументам, xj=Fj(a2,  ...,  an,  x1) с j=2,  ...,  n , а функции Fj возрастают по аргументу x1 , из (П12) и неравенства (П13) следует неравенство x1(2)>x1(1) . Соответственно, для любого натурального k справедливы неравенства
177 x1(k)>x1(k-1). (П14)
178 Так как возрастающая последовательность {x1(k)} является ограниченной, то она имеет предел x1() , для которого, в силу (П14), справедливо неравенство:
179 x1()>x1(0) .(П15)
180 Устремив к бесконечности k в уравнении (П12), в пределе получим:
181 x1()=F1b1,  [Fj(a2,  ...,  an,  x1())]. (П16)
182 Из сравнения (П11) и (П16) с учетом единственности решения системы уравнений (П5) и (П10) найдем, что x1()=x1* . Откуда с учетом (П15) следует:
183 x1*>x1(0). (П17)
184 Так как, согласно (П6), значения xj* с j=2,  ...,  n определяются выражениями xj*=Fj(a2,  ...,  an,  x1*) , где все Fj являются возрастающими функциями по аргументу x1 , из неравенства (П13) следуют неравенства
185 xj*>xj(0) , j=2,  ...,  n .(П18)
186 Тем самым теорема доказана.
187 Следствие 1. Теорема справедлива и в том случае, в котором снижение правой части имеет место в одном любом уравнении системы (П3).
188 Следствие 2. Уменьшение правых частей в нескольких уравнениях системы (П3) также приводит к возрастанию каждой из величин x1,  ...,  xn , образующих решение системы (П3). Для доказательства рассмотрим наряду с системой, состоящей из уравнений (П5) и (П10), систему f/x1=b1 , f/x2=b2 , f/xj=aj , j=3,  ...,  n , где 0<b2<a2 . Обозначим решение этой системы как xi** с i=1,  ...,  n . Так как, согласно доказанной выше теореме и следствию 1, xi**>xi* , то с учетом (П17) и (П18) получим xi**>xi(0) и xj**>xj(0) , что и требовалось доказать. Аналогично получаем доказательство для случая снижения значений правых частей в произвольном количестве уравнений.
189 Следствие 3. Пусть первые m ( 1m<n ) уравнений системы (П3) заменены условиями xk=Ck , где k=1,  ...,  m , а Ck — заданные положительные числа. Если Ck>xk(0) , где xk(0)  — первые m координат вектора, являющегося решением (П3), то в результате такой замены остальные координаты вектора–решения системы увеличатся. Действительно, для фиксированных значений xk>xk(0) с k=1,  ...,  m при xj=xj(0) , где j=m+1,  ...,  n , согласно (П1), f/xj=aj+Δaj , где Δaj>0 . Отсюда, согласно доказанной теореме, следует, что для выполнения условий f/xj=aj необходим рост всех координат xj с j=m+1,  ...,  n .
190 Следствие 4. Пусть в условиях теоремы (П1) строгие неравенства 2f/xixk>0 заменены на нестрогие 2f/xixk0 для всех i,  k=1,  ...,  n при ik . Тогда справедливы следующие утверждения:
191
  1. уменьшение правых частей в первых m ( 1m<n) уравнениях системы (П3) приводит к возрастанию каждой из величин x1,  ...,  xm и неубыванию каждой из остальных, где x1,  ...,  xn — решение соответствующей системы;
  2. в результате замены первых m ( 1m<n ) уравнений системы (П3) условиями xk=Ck , где k=1,  ...,  m , а Ck — заданные числа, причем Ckxk(0) , величины xj с j>m , образующие решение соответствующей системы, не уменьшатся.