Herding Behaviour on Stock Market: Analysis and Forecasting
Table of contents
Share
Metrics
Herding Behaviour on Stock Market: Analysis and Forecasting
Annotation
PII
S042473880003987-4-1
DOI
10.31857/S042473880003987-4
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Kirill Svetlov 
Affiliation: Bank ‘Saint-Petersburg’ PJSC
Address: Saint-Petersburg, Russian Federation
Pages
81-97
Abstract

We study the Alfarano model, which describes the dynamics of the stock price under the influence of the herding behavior of market participants. Within the framework of this model, two types of economic agents are distinguished: investors and noise traders. It is assumed that among traders there are optimistic traders expecting price value to rise and pessimistic traders expecting it to decline. The stochastic nature of the price in this model is formed by the changes of noise traders expectations. Unlike other stochastic models of price dynamics the price obtained within the framework of this model is bounded, while its boundaries are determined by the parameter of the market sensitivity to the changes of traders expectations. Using the diffusion approximation for the Markov process describing the ratio of numbers of optimistic and pessimistic traders, we analyze this model. Depending on the input parameters, we study such aspects of this model as the possibility of reaching price boundaries, when absolutely all traders have optimistic or pessimistic expectations. The main objective of the work is to build a forecast for future price values, including their long term asypthotics, as well as to derive the formulas for determining the value of derivatives (such as european call option) and to investigate the possibility of their hedging.

Keywords
herding behavior, stochastic dynamics, option pricing.
Received
18.03.2019
Date of publication
05.06.2019
Number of purchasers
29
Views
551
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf 100 RUB / 1.0 SU

To download PDF you should sign in

Full text is available to subscribers only
Subscribe right now
Only article
100 RUB / 1.0 SU
Whole issue
720 RUB / 15.0 SU
All issues for 2019
2534 RUB / 30.0 SU
1

1. Введение

2 Агент-ориентированные модели представляют одно из развитых направлений моделирования различных экономических процессов, в том числе процессов, связанных с формированием равновесных значений цен на рынках. В числе указанных моделей особое место занимают модели, в которых экономические агенты имеют ограниченную рациональность, связанную с так называемым стадным поведением. При принятии решений они ориентируются уже не только на максимизацию своего дохода или полезности, но и на решения, принимаемые другими участниками рыночных отношений, а также на их ожидания и прогнозы. Чрезвычайно важным при этом становится описание самого механизма подобного взаимодействия агентов.
3 Одним из наиболее популярных подходов к описанию подобного взаимодействия служит модель Кирмана (Kirman, 1993), в которой автором проводится прямая аналогия между участниками торговли на фондовом рынке и членами муравьиной колонии. На базе указанной модели взаимодействия агентов в статье (Alfarano et al., 2008) предложена модель формирования равновесной цены на акцию, торгуемую на рынке. Помимо указанных моделей можно отметить модель Конта—Бушода (Cont, Bouchaud, 2000), в которой феномен стадного поведения используется как основной фактор, объясняющий существование тяжелых хвостов распределений доходностей акции, а также статью (Fölmer, Schweizer 1993), в которой аналогично рассматриваемой нами работе (Alfarano et al., 2008) выводится соотношение для стоимости акции, формируемой как результат установления равновесия, однако в роли ценового процесса в данной работе выступает процесс Орнштейна—Уленбека (Бородин, 2013).
4 Данная статья организована следующим образом. В разд. 2 кратко излагается модель Альфарано (Alfarano et al., 2008), описывающая динамику стоимости акции на рынке под влиянием стадного поведения его участников. Основываясь на представленных предположениях, приводятся возможные модели цены, формирующейся под влиянием спроса и предложения на данном рынке. Разд. 3 посвящен анализу базового процесса данной модели. Заменяя данный процесс его диффузионным приближением и следуя технике, изложенной в монографии (Бородин, 2013), выводятся формулы для вероятностных распределений данного процесса, а также дается классификация границ пространства состояний данного процесса. В разд. 4 представлены формулы для вычисления ожидаемых значений цены (в том числе в долгосрочной перспективе, при ) на рассматриваемом рынке, в зависимости о текущих, наблюдаемых цен. В разд. 5 рассматривается применение изложенной модели к вопросу вычисления цен производных финансовых инструментов. При использовании техники построения реплицирующего портфеля выводится уравнение для цены европейского колл-опциона.
5

2. Модель цены

6 В данной статье, следуя подходам, изложенным в статьях (Kirman, 1993; Alfarano et al., 2008), будем рассматривать рынок, представленный некоторым рисковым финансовым активом, например акцией. На указанном рынке выделяются две категории участников: инвесторы и шумовые трейдеры (далее — трейдеры). При этом число инвесторов считается заданным и равным , число шумовых трейдеров равно .
7 Поясним различия в данных категориях участников. Под инвесторами следует понимать экономических агентов, которые при принятии решений о покупке или продаже актива оценивают некоторые фундаментальные показатели компании, выпустившей на рынок ценную бумагу. Формально, данный класс участников рынка будет считать, что для рассматриваемого актива существует некоторая экономически обоснованная цена . В случае если текущее значение цены меньше чем , инвесторы предъявляют спрос на данную бумагу. Вторая группа участников рынка — шумовые трейдеры — при принятии решений ориентируется на новостной фон, ожидания других участников и другие показатели, относящиеся к так называемому техническому анализу. Данная группа подразделяется на две подгруппы: оптимистично и пессимистично настроенные шумовые трейдеры. Первые считают, что цена рассматриваемого рискового актива в ближайшем будущем будет расти, вторые — ожидают снижения цены. Число оптимистично настроенных шумовых трейдеров будем обозначать через Число пессимистично настроенных трейдеров равно .
8 Отметим, что свойство трейдера быть оптимистом или пессимистом не является перманентным и может меняться под влиянием как новой информации о цене актива, так и в ходе общения трейдеров между собой. Обозначим через число оптимистично настроенных трейдеров на момент Динамика рассматриваемой системы будет определяться случайными взаимодействиями шумовых трейдеров, при этом предполагается, что за малый период времени число оптимистично настроенных трейдеров может измениться и стать равным , или остаться неизменным. Вероятности указанных переходов будут задаваться формулами
9 (1)
10 где и — параметры модели, отвечающие за динамику числа оптимистично и пессимистично настроенных шумовых трейдеров.
11 Поясним смысл такого задания переходных вероятностей на примере . При наличии оптимистично настроенных шумовых трейдеров возможность увеличения их числа может быть реализована вхождением в их группу одного из оставшихся пессимистично настроенных трейдеров. Такой переход может произойти как за счет информационного воздействия, мощность которого моделируется параметром , так и за счет фактора стадного поведения, мощность которого определяется величиной , равной произведению числа оптимистов и параметра . Сводя данные факторы воедино, вероятность увеличения числа оптимистов зависит от числа шумовых трейдеров, не являющихся пока что оптимистично настроенными; мощности информационного воздействия, под влиянием которого возможна смена настроений на рынке; мощности фактора стадного поведения. Таким образом, вероятности, заданные системой (1), описывают динамику числа оптимистично настроенных шумовых трейдеров.
12 Теперь обратимся к механизму формирования цены на указанном рынке. Как было отмечено ранее, инвесторы предъявляют спрос, зависящий от отклонения текущей цены акции от ее фундаментального значения. Величина избыточного спроса со стороны инвесторов будет равна где — параметр, характеризующий средний объем торгов для одного инвестора. Со стороны шумовых трейдеров избыточный спрос будет задаваться формулой где — число оптимистично настроенных трейдеров на момент времени ; — параметр, характеризующий средний объем торгов для одного трейдера; — объем акций на покупку;  — объем акций на продажу. Для дальнейшего удобства введем следующее определение.
13 Определение 1. Процесс , , где — число оптимистично настроенных трейдеров, а — общее число трейдеров на рынке будем называть индексом настроения.
14 Множеством состояний процесса выступает интервал . Из равенства следует, что , т.е. все трейдеры на рынке в момент времени будут оптимистично настроенными и ожидают роста цены. Равенство означает, что все трейдеры на рынке в момент времени ожидают снижения цены. Ситуация соответствует варианту, когда число оптимистов равно числу пессимистов. В работе (Alfarano et al., 2008) доказывается, что указанный процесс может быть приближен при помощи диффузионного процесса являющегося решением стохастического дифференциального уравнения
15 (2)
16 где — стандартный винеровский процесс; — значение индекса настроения на начальный момент времени . Близость данных процессов понимается в том смысле, что плотности их переходных вероятностей совпадают с точностью до величин порядка . Предположим, что число шумовых трейдеров достаточно велико и выполняется условие благодаря которому в коэффициенте диффузии уравнения (2) слагаемое вносит малый вклад и может быть отброшено. Далее в работе мы будем пользоваться указанным приближением и полагать, что случайный процесс задан как решение стохастического дифференциального уравнения
17 (3)
18 где и . Используя введенное обозначение, величину избыточного спроса со стороны шумовых трейдеров можно записать в виде
19

20 Исходя из определения процесса следует, что при преобладании числа оптимистично настроенных трейдеров, ожидающих роста цены, будет выполняться неравенство , а вслед за ним и . Последнее означает, что со стороны шумовых трейдеров имеется положительный спрос на данный актив. Если же большинство шумовых трейдеров ожидают снижения цены, то величина избыточного спроса примет отрицательное значение, отражая тем самым желание большинства выставить имеющиеся у них бумаги на продажу. Под влиянием спроса со стороны данных групп участников рынка цена формируется в соответствии с вальрасовским механизмом установления ценового равновесия
21 (4)
22 Не уменьшая общности, будем считать, что . Обозначим , тогда уравнение (4), задающее динамику цены акции, запишется как
23 (5)
24 В (Alfarano et al., 2008) делается предположением о том, что процесс установления ценового равновесия происходит мгновенно, что эквивалентно предельному переходу и , где — некоторое число. При данном предположении цена акции будет рассчитываться по формуле
25 (6)
26 Отметим, что если не следовать данному допущению, как это было сделано, например, в (Kovalevsky, 2016), и предположить, что параметры и принимают некоторые конечные значения, уравнение динамики цены может быть получено следующим образом.
27 Введем и вычислим дифференциал
28

29 Интегрируя последнее выражение от до , получим
30

31 Возвращаясь к исходным переменным, запишем решение уравнения (5) как
32 (7)
33 Таким образом, задана модель, описывающая динамику стоимости акции в условиях стадного поведения участников рынка. В данной модели цена акции следует в соответствии с уравнением (6). При этом значение зависит лишь от текущего настроения участников рынка. При преобладании числа оптимистично настроенных шумовых трейдеров будет выполняться неравенство и, следовательно, цена будет не ниже своего фундаментального значения. В ситуации когда на рынке больше пессимистично настроенных трейдеров, ожидающих снижения цены, верным будет неравенство .
34 Если же параметры и принимают конечные значения, цена акции начинает зависеть от двух параметров: 1) отклонения начального значения цены от ее фундаментального значения , 2) значений показателя на всем промежутке времени . Благодаря тому что под интегралом в выражении (7) имеется экспонента , вклад прошлых значений индекса настроения в текущее значение цены с течением времени становится все меньше.
35 Далее мы исследуем вопрос построения прогнозов для будущих значений цен в рамках модели (6), (3) динамики цены акции в условиях стадного поведения участников рынка. В отличие от оригинального исследования (Alfarano et al., 2008), где вычисляются вероятностные характеристики (математическое ожидание, дисперсия) для процесса , в данной работе прогноз будет строиться непосредственно для будущих значений цен, рассчитываемых как некоторый функционал от траекторий процесса .
36

3. Анализ процесса индекса настроения

37 В предыдущем разделе было введено определение процесса индекса настроения [[[image31]]][[[image31]]]. Интервал , где и , выступает в качестве пространства состояний данного процесса. Поскольку данный интервал ограничен, интересным представляется ответ на вопрос, будут ли достижимыми для данного процесса точки и соответствующие ситуации, когда абсолютно все шумовые трейдеры на рынке ожидают снижения/роста цены рассматриваемого актива. Помимо вопроса достижимости границы в принципе, важным аспектом станет ожидаемое время для достижения границ, а именно — будет ли оно конечным или же бесконечным.
38 Исследуем влияние выбора параметров и на указанное поведение процесса . Следуя технике, изложенной в (Бородин, 2013), введем функции:
39 , .
40 Функция называется плотностью меры шкалы, шкалой диффузии, а соответствующая ей мера мерой шкалы.
41 Функция называется плотностью меры скорости, а мера, индуцированная ею, мерой скорости. Отсутствие нижнего индекса интегрирования в данных определениях означает, что требуется вычислить произвольную первообразную подынтегральный функции. Таким образом, введенные выше функции определены с точностью до некоторого постоянного слагаемого или множителя. Однако нас будут интересовать не конкретные значения данных функций, а возможность того, могут ли данные функции принимать значения, равные .
42 Введем функции и рассчитываемые на их основе величины, которые будут использованы при установлении характеристик процесса :
43

44

45

46 где — произвольная точка из интервала , выбор которой не принципиален для определения того, конечны или же бесконечны величины , , , . Указанные величины имеют следующую эвристическую интерпретацию (Karlin, 1981): измеряет время, необходимое для достижения диффузией, начинающейся во внутренней точке ; — время для достижения точки диффузией, начинающейся с границы . Аналогичную интерпретацию имеют величины , .
47 Пусть — момент первого достижения процессом уровня . Если уровень не достигается, полагаем . Известно, что граница является притягивающей (Бородин, 2013; Karlin, 1981), т.е. ( — вероятностная мера по процессу X, начавшемуся в точке x) для всех , если . При этом если граница l притягивающая, то математическое ожидание времени, за которое она будет достигнута, будет конечным тогда и только тогда, когда . Граница l называется достижимой, если , недостижимой если .
48 Граница l называется границей входа, если она не может быть достигнута из любой точки интервала . Но при этом можно рассматривать диффузии, начинающиеся на этой границе. Такие диффузии перемещаются внутрь интервала и никогда не возвращаются к входной границе. Необходимым и достаточным условием, для того чтобы l была границей входа, будут условия и . Если же процесс может как заходить на границу, так и выходить из нее, такая граница называется регулярной. Граница l регулярная тогда и только тогда, когда и .
49 Еще одним возможным пунктом классификации границ служат границы выхода: l будет границей выхода, если То есть для диффузии, начинающейся в точке l (или в точке x, приближающейся к l), невозможно достигнуть никакого другого внутреннего состояния z, независимо от того, как близко z к l. Граница будет выходом тогда и только тогда, когда и .
50 Граница, которая не может быть достигнута за конечное время и из которой диффузия не может начинаться, называется естественной (по Феллеру). Граница l естественная, тогда и только тогда, когда и . Все приведенные характеристики аналогично переносятся и на правую границу r.
51 Для рассматриваемого нами процесса X функция B равна , плотность меры шкалы , плотность меры скорости . Несложно показать, что при имеют место соотношения:
52

53 а при
54

55 Таким образом, для определенного выше процесса X, являющегося решением (3), имеет место следующее утверждение.
56 Утверждение 1. При точки будут регулярными, притягивающими и достижимыми границами для процесса . При точки становятся границами входа, не притягивающими и не достижимыми.
57 Полученное утверждение имеет следующую экономическую интерпретацию: при за конечное время процессом X может быть достигнуто одно из крайних состояний , что соответствует тому, что все шумовые трейдеры будут иметь абсолютно одинаковые ожидания относительно динамики цены рассматриваемого актива. При этом с положительной вероятностью данные состояния будут достигнуты быстрее, чем любые другие. Далее мы будем полагать, что выполнено условие благодаря которому границы не будут достижимыми процессом X. Ввиду того что мы рассматриваем случай достаточно большого числа шумовых трейдеров на рынке, данное предположение исключает возможность того, что абсолютно все они оптимистично или пессимистично настроенны.
58 Теперь обратимся к вопросу непосредственного вычисления переходных вероятностей процесса X. Воспользуемся подходом, изложенным в (Bhattacharya, Waymire, 2009, Ch. V, 8) для описания плотности переходных вероятностей процесса X. Пусть — плотность переходной вероятности процесса , :
59

60 Тогда можно вычислить при помощи выражения
61 (8)
62 где — неотрицательная функция, пропорциональная плотности стационарного распределения X,
63 (9)
64

65 — произвольная константа; и , — набор ортонормированных собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора являющегося производящим оператором процесса X и заданного в — пространстве функций, квадраты которых на отрезке суммируемы с весом . В данном пространстве скалярное произведение определяется как
66

67 Для функций и собственных значений , выполнено равенство
68 (10)
69 а также условие
70 (11)
71 где — символ Кронекера.
72 Вычислим , выбрав параметр ,
73

74 Таким образом, функция будет равна
75 (12)
76 параметр при этом мы положили равным . Заметим, что производящим оператором рассматриваемого случайного процесса X выступает следующий дифференциальный оператор
77 (13)
78 Собственные значения , данного оператора и собственные функции , , отвечающие им, удовлетворяют уравнению (10). Запишем последнее более подробно
79 (14)
80 Для решения (14) имеется следующая формула (см. (Abramowitz, 1965))
81 (15)
82 где — многочлен Якоби вида
83 (16)
84 Соответствующие данным собственным функциям собственные числа находятся по формуле
85 (17)
86 Для функций , и , заданных как (15) и (12), выполнено (Bhattacharya, Waymire, 2009) условие
87 (18)
88 Поэтому для выполнения тождества (11) переопределим как
89 (19)
90 Таким образом, доказано следующее утверждение.
91 Утверждение 2. Плотность переходных вероятностей
92 случайного процесса X, заданного как решение стохастического дифференциального уравнения (3), равна
93

94 где
95

96
97 Плотность стационарного распределения X, как упоминалось выше, пропорциональна функции (12) и равна
98 На рис. 1 приведены несколько собственных функций для оператора для случая , .
99 Для различных вариантов соотношений параметров и построим графики (2), (3) плотности переходной вероятности для и различных значениях t. На рис. 2 график соответствует рассматриваемому варианту, когда имеет место неравенство . Начальным состоянием для процесса на рис. 2 выступает точка . Видно, что при малых значениях вероятность сосредоточена в окрестности точки , а с увеличением времени плотность стремится к стационарной. Ситуация, когда , отражена на рис. 3, при этом начальным состоянием для процесса в данном случае будет точка . В отличие от рис. 1 здесь вероятностная плотность принимает существенно большие значения для точек .
100

4. Построение прогнозов цен

101 Рассмотрим возможность построения прогнозов цен в рамках представленной модели динамики цены акции под влиянием стадного поведения участников рынка. Построим прогноз цены в случае, когда равновесие на рынке устанавливается мгновенно и цена акции может быть описана уравнением (6). Данный случай интересен тем, что в нем цена рассматриваемого актива и процесс индекса настроения взаимнооднозначно связаны между собой, что позволяет выписать в явном виде формулы для вычисления прогнозных значений цены. В качестве прогноза цены на некоторый момент будущего мы будем использовать ее математическое ожидание, при условии, что ее текущее значение известно и равно :
102 (20)
103 Докажем следующее утверждение.
104 Утверждение 3. Прогнозное значение цены (20) может быть вычислено как
105 (21)
106 Доказательство. Воспользуемся тем, что функция согласно (Гихман, Скороход, 1965, глава VII, 5, теорема 1) является решением задачи Коши
107 (22)
108 где A — оператор, заданный равенством (13). Разложим в ряд Фурье по семейству собственных функций (19) оператора A данные задачи (22) и ее решение будем искать в виде ряда
109 (23)
110 Подставляя указанное представление функции в (22), получим, что функции , являются решениями уравнений где . Решение данного уравнения можно записать как
111 (24)
112 Таким образом, решение уравнения (22) для рассматриваемого нами случая имеет вид
113 (25)
114 Пользуясь данным результатом, получим, что прогнозное значение цены (20) может быть рассчитано по формуле
115

116 Повторяя данные рассуждения для , приходим к следующему следствию доказанного утверждения.
117 Следствие 1. Второй условный момент для процесса может быть вычислен как
118 (26)
119 Напомним, что выражение вида в формулах выше соответствует скалярному произведению в пространстве и может быть рассчитано по формуле
120

121 где функция определена формулой (12). С практической точки зрения для определения прогнозных значений цены и ее второго момента по формулам (21), (26) необходимо взять достаточное число членов соответствующего ряда, отвечающее требуемой точности прогноза.
122 Отметим, что полученное выражение (21) позволяет найти ожидаемое значение цены акции в долгосрочной перспективе, т.е. при .
123 Следствие 2. Для условного математического ожидания цены акции имеет место следующий предел при :
124 (27)
125 где — вырожденная гипергеометрическая функция.
126 Доказательство. Заметим, что поскольку и при , все члены ряда (21), кроме нулевого, при будут стремиться к 0. Таким образом,
127 (28) при этом в последнем равенстве у отсутствует аргумент, поскольку является константой
128

129 Обозначая правую часть равенства (27) как и вычисляя входящий в нее интеграл, имеем следующий долгосрочный прогноз цены:
130

131 где — вырожденная гипергеометрическая функция. Интересно отметить, что в данном выражении для долгосрочного прогноза цены отсутствует параметр . Это означает, что в долгосрочной перспективе цена полностью определяется параметрами модели и не зависит от ее текущего значения .
132 Пример прогноза цены, построенного по формуле (21) для параметров , , представлен на рис. 4. Параметр , задающий фундаментальное значение цены, выбран равным 1.
133 Дополнительно рассмотрим задачу построения прогноза цены для варианта, когда процесс установления равновесия происходит не мгновенно, т.е. параметр уравнения (5) принимает некоторое конечное значение. В этом случае цена акции может быть описана с помощью уравнения (7). Для данной модели под прогнозным значением цены будем понимать условное математическое ожидание
134 (29)
135 В отличие от предыдущего случая математическое ожидание для построения прогноза вычисляется при условии, что начальное значение процесса равно и текущее значение цены равно , поскольку в данном случае нет взаимнооднозначного соответствия между ценой и значением индекса настроения .
136 Введем обозначение для экспоненты от интеграла случайной величины, входящей в решение (7) уравнения динамики цены
137

138 а также для ее математического ожидания, при условии того, что значение случайного процесса на начальный момент времени равно
139 (30)
140 Пользуясь результатом, представленным в (Гихман, Скороход, 1965, глава VII, 5, теорема 2), можно показать, что функция , заданная равенством (30), удовлетворяет уравнению
141 (31)
142 и условию
143 (32)
144 Следуя (Ekström, 2011), граничные условия для численного решения данной задачи могут быть получены путем формальной подстановки и в (31):
145 (33)
146

147 Таким образом, численно решая задачу (31), (32), (33), мы можем определить прогнозную динамику цены акции как
148 Пример данного прогноза для случая, когда параметры заданы как , , , и , представлен на рис. 5. Начальное значение цены при этом выбрано равным .
149

5. Вычисление цен опционов

150 Исследуем вопрос, связанный с определением цены европейского колл-опциона со страйком, равным , и моментом исполнения в рамках оригинальной модели (6), (3) динамики цены акции. Функция выплат для данного контракта имеет вид
151 (34)
152 в соответствии с которым покупатель данного контракта в момент времени получает выплату в размере Пользуясь формулой Ито (Оксендаль, 2003), выпишем выражение для дифференциала процесса :
153

154 Поскольку [[[image5]]][[[image5]]] и связаны взаимно однозначно, подставляя в последнее выражение , получим
155 (35)
156 где
157
158 Воспользуемся техникой, описанной в (Бьорк, 2010), для построения хеджирующего портфеля, состоящего из некоторого числа рассматриваемых акций и некоторого объема вложений в безрисковый актив, стоимость которого меняется как , , где — безрисковая ставка. Управление данным портфелем будем осуществлять в соответствии со стратегией самофинансирования так, чтобы стоимость данного портфеля в момент времени была равной . Вследствие соображений безарбитражности, если стоимость портфеля совпадает со стоимостью рассматриваемого контракта в некоторый, заранее известный момент будущего, их стоимости в момент времени также должны совпадать.
159 Докажем следующее утверждение для европейского колл-опциона с моментом исполнения и функцией выплат (34) в рамках рассматриваемой модели динамики цены.
160 Утверждение 4. Стоимость хеджирующего портфеля на момент времени , равна , где функция, являющаяся решением уравнения
161 (36)
162 вместе с условием
163 (37)
164 При этом в указанный портфель входит единиц акции с ценой и денежных единиц, вложенных в безрисковый актив.
165 Доказательство. Обозначим стоимость указанного портфеля как и согласно его определению имеем
166 (38)
167 где — число акций в рассматриваемом портфеле, — объем безрисковых вложений. Поскольку управление данным портфелем осуществляется в рамках стратегии самофинансирования (Бьорк, 2010), то
168 (39)
169 Предположим, что стоимость портфеля может быть определена при помощи неизвестной функции от переменных как . Пользуясь формулой Ито, найдем выражение для дифференциала :
170 (40)
171 Приравнивая множители при дифференциалах в (39) и (40), получим
172

173

174 Сопоставляя эти два выражения, а также выражение для волатильности из (35), мы видим, что функция должна удовлетворять уравнению
175

176 вместе с начальным условием
177

178 выбор которого обусловлен тем, что по определению портфеля его стоимость в момент времени должна совпадать со стоимостью опциона.
179 Для практического применения доказанного утверждения и связанного с этим численного решения задачи Коши для функции заметим, что в рассматриваемой модели цена является ограниченной где и , поэтому для решения уравнения (36) на прямоугольнике , следуя (Ekström, 2011), зададим граничные условия, формально подставив и в (36)
180 (41)
181 Функция , служащая решением задачи (36), (37), (41), будет искомой функцией, позволяющей находить стоимость хеджирующего портфеля при заданных и .
182 Таким образом, стоимость европейского колл-опциона, покупатель которого в момент времени получает выплату в размере , если , и в противном случае, равна , где — текущее значение цены. С позиции продавца это утверждение также представляется интересным в том смысле, что рассчитывая цену по изложенному выше алгоритму и закладывая к ней некоторую дополнительную премию, продавец имеет возможность застраховать свои риски, связанные с предстоящей выплатой по заключенному контракту. Для этого ему необходимо сформировать портфель, состоящий из единиц акции и денежных единиц, вложенных в безрисковый актив. Управляя данным портфелем в соответствии с формулами для и , к моменту времени он получит стоимость портфеля, равную , которая необходима для выплаты покупателю данного контракта.
183 Приведем пример решения задачи по определению стоимости европейского колл-опциона. Параметры ценового процесса выберем, как и прежде, равными , и . Величину страйка положим равной , момент исполнения и безриcковую ставку . Решение задачи (36), (37), (41) для данного случая представлено на рис. 6. Видно, что с приближением времени к моменту , график стоимости опциона постепенно приближается к графику функции выплат .
184 Отметим, что волатильность цены акции, в значительной степени влияющая на стоимость опциона, определяется параметрами , и и является зависимой от значения цены . Для представленного выше примера расчета цены опциона график волатильности приведен на рис. 7. Для рассматриваемой нами модели цены акции на рынке со стадным поведением волатильность не является постоянной. Напротив, она достигает своего максимума в точке , а по приближению к границам ценового диапазона убывает до нуля.
185

6. Заключение

186 Мы рассмотрели модель, предложенную (Alfarano et al., 2008), описывающую цену акции и учитывающую наличие на рынке так называемых шумовых трейдеров, проявляющих стадное поведение при принятии решений о покупке или продаже данного актива.
187 Нами представлен подход к исследованию поведения цены акции, основанный на диффузионном приближении процесса, характеризующего соотношение оптимистично и пессимистично настроенных трейдеров. В роли указанного приближения выступает так называемый процесс Якоби. Проведено исследование поведения данного процесса в зависимости от входных параметров модели. В частности, доказано что при точки являются регулярными границами пространства состояний данного процесса, а при они являются границами входа. Далее, основываясь на спектральном методе, представлено выражение для плотности переходных вероятностей данного процесса и получено аналитическое выражение для математического ожидания будущих значений цены акции. Исследован вопрос вычисления цен на производные финансовые инструменты в рамках рассматриваемой модели, в частности, доказано, что модель (Alfarano et al., 2008) цены акции является полной, для нее возможно выписать формулы для нахождения стоимости европейского колл-опциона и построить для него хеджирующий портфель.
188 !Верстка! В числах зпт Рис. 1. Собственные функции и собственные значения , n =0, ..., 5, для параметров ,
189 !Верстка! В числах зпт + лат.буквы - курсив Рис. 2. Плотность переходной вероятности при с течением времени для ,
190 !Верстка! В числах зпт + лат.буквы - курсив Рис. 3. Плотность переходной вероятности при с течением времени для ,
191 !Верстка! В числах зпт + лат.буквы - курсив Рис. 4. Прогнозная динамика цены в зависимости от начальных значений цены Рис. 5. Прогнозная динамика цены в зависимости от начальных значений процесса
192 !Верстка! В числах зпт + лат.буквы - курсив Рис. 6. График зависимости стоимости европейского колл-опциона от цены акции для различных моментов времени
193 !Верстка! В числах зпт + лат.буквы - курсив Рис. 7. График волатильности в зависимости от значения цены акции

References

1. Abramowitz M., Stegun I. (eds) (1965). Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Vol. 55). New York: Dover Publications Inc.

2. Alfarano S., Lux T., Wagner F. (2008). Time Variation of Higher Moments in a Financial Market with Heterogeneous Agents: An Analytical Approach. Journal of Economic Dynamics and Control, 32, 1, 101—136.

3. Bhattacharya R.N., Waymire E.C. (2009). Stochastic Processes with Applications. In: “Society for Industrial and Applied Mathematics”. Berlin: Springer Berlin Heidelberg.

4. Bjork T. (2010). Arbitrage Theory in Continuous Time. Moscow: Lan'. [Bjork T. (2009). Arbitrage Theory in Continuous Time. New York: Oxford University Press.]

5. Borodin A.N. (2013). Random Processes. Saint-Petersburg: Lan' (In Russian).

6. Cont R., Bouchaud J.P. (2000). Herd Behavior and Aggregate Fluctuations in Financial Markets. Macroeconomic Dynamics, 4, 2, 170—196.

7. Delbaen F., Shirakawa H. (2002). An Interest Rate Model with upper and Lower Bounds. Asia-Pacific Financial Markets, 9, 3, 191—209.

8. Ekstrom E., Tysk J. (2011). Boundary Conditions for the Single-Factor Term Structure Equation. The Annals of Applied Probability, 21, 1, 332—350.

9. Follmer H., Schweizer M. (1993). A Microeconomic Approach to Diffusion Models for Stock Prices. Mathematical Finance, 3, 1, 1—23.

10. Gihman I.I., Skorohod A.V. (1979). The Theory of Stochastic Processes III. New York: Springer New York.

11. Karlin S., Taylor H.E. (1981). A Second Course in Stochastic Processes. New York: Academic Press.

12. Kirman A. (1993). Ants, Rationality, and Recruitment. The Quarterly Journal of Economics, 108, 1, 137—156.

13. Kovalevsky D.V. (2016). Modeling Herding Behavior on Financial Markets Affected by Exogenous Climate-Related Shocks. The 8th International Congress on Environmental Modelling and Software (iEMSs 2016), 10—14 July 2016, Toulouse, France. Available at: https://scholarsarchive.byu.edu/cgi/viewcontent.cgi?referer= httpsredir=1 article=1586 context=iemssconference (accessed: November 2017).

14. Oksendal B. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer Berlin Heidelberg.